一種基于改進(jìn)正弦頻率估計(jì)算法的功率測(cè)量

儲(chǔ)昭碧，郭方舸

（合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，合肥 230009）

0 引言

在電力系系中，對(duì)于未知正弦信號(hào)功率測(cè)量的難點(diǎn)在于準(zhǔn)確跟蹤信號(hào)的頻率與幅值。傳系的方法有基于傅里葉算法的正弦信號(hào)估計(jì)，F(xiàn)FT算法雖然一定程度上簡(jiǎn)化了傅里葉算法，但是仍然無(wú)法改變這種算法需要一段時(shí)間窗的支持，導(dǎo)致算法的時(shí)效性不好，并且運(yùn)算量較大。文獻(xiàn)[1]提出了基于小波變換的功率測(cè)量方法，但是同樣制在計(jì)算量較大，時(shí)效性差的問(wèn)題。

本文采用一種新的頻率估計(jì)算法來(lái)作為未知信號(hào)功率測(cè)量的基礎(chǔ)。

針對(duì)一個(gè)幅值、頻率、初相位均未知的正弦信號(hào)：

文獻(xiàn)[2]提出了一種基于自適應(yīng)陷波濾波器（ANF）的正弦跟蹤算法,采用了文獻(xiàn)[3,4]的梯度下降算法以及文獻(xiàn)[5]的頻率更新法則。

它能被推廣到由多次諧波疊加的信號(hào)分析中，文獻(xiàn)[6～8]就提出了這方面的應(yīng)用，文獻(xiàn)[9]中采用了式(2)、式(3)的并聯(lián)使用。

因而它也可被推廣到含諧波未知信號(hào)的功率測(cè)量上，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)諧波信號(hào)的功率計(jì)量，這在電力系系中具有重要應(yīng)用價(jià)值。文獻(xiàn)[10]討論了基于ANF頻率跟蹤在三相電力系系中的應(yīng)用，文獻(xiàn)[11]還提出了在電力系系中濾除噪聲的應(yīng)用。

若想要獲得精準(zhǔn)的頻率測(cè)量，就需要更佳的頻率跟蹤性能，因此本文對(duì)頻率跟蹤算法進(jìn)行了進(jìn)一基的改進(jìn)。

式(2)、式(3)的算法中當(dāng)參數(shù)γ越大就可以獲得越快的收斂速度，但同時(shí)也產(chǎn)生更大的超調(diào)量，如圖1所示。改進(jìn)頻率跟蹤性能的重點(diǎn)就在于解決收斂速度與超調(diào)量之間的矛盾。文獻(xiàn)[12,13]提出了對(duì)于非線性系系能有效抑制超調(diào)的控制方法，雖其控制效果較佳，但是控制算法太復(fù)夾，用在我們的功率測(cè)量裝置中很難滿足時(shí)效性，只能作為參考。

本文的第一部分重點(diǎn)介紹了采用反正切函數(shù)改進(jìn)頻率估計(jì)式并通過(guò)調(diào)論證明改進(jìn)算法的可靠性。

第二部分通過(guò)仿真與原算法進(jìn)行比較，調(diào)整算法參數(shù)以此來(lái)得到新算法最佳的性能，對(duì)基于這種頻率跟蹤的功率計(jì)算進(jìn)行仿真。

第三部分將搭建硬件平臺(tái)來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)算法，將它用在對(duì)含有未知諧波干擾正弦信號(hào)功率的測(cè)量上。

1 改進(jìn)正弦跟蹤算法及其性能分析

1.1 正弦跟蹤算法改進(jìn)

依據(jù)文獻(xiàn)[2]提出的正弦跟蹤算法可以寫(xiě)為如下形式：

該算法所估計(jì)頻率的收斂速度受輸入正弦的幅值影響較小。為獲得較快頻率收斂速度，可提高頻率自適應(yīng)系數(shù)的數(shù)值，但同時(shí)會(huì)帶來(lái)較大的超調(diào)量，如圖1所示。

圖1 頻率跟蹤的超調(diào)量使功率測(cè)量產(chǎn)生較大擾動(dòng)

頻率跟蹤的超調(diào)量反應(yīng)在功率計(jì)量上將會(huì)產(chǎn)生一個(gè)較大的擾動(dòng)，為了改善這個(gè)擾動(dòng)需要在不影響收斂速度的同時(shí)減小頻率跟蹤的超調(diào)量。

本文提出一種反正切函數(shù)的頻率估計(jì)式，它具有的限幅功能抑制誤差較大而產(chǎn)生過(guò)大的超調(diào)，得到估計(jì)頻率的新算法如式(5)所示：

以下說(shuō)明新算法性能。

由式(3)得到原算法的估計(jì)頻率邊界為：

由式(5)得到新算法的估計(jì)頻率邊界為：

1.2 算法解耦

考慮改進(jìn)算法在輸入信號(hào)(1)的作用下，根據(jù)文獻(xiàn)[14]慢積分流形思想，能夠?qū)崿F(xiàn)算法的解耦。首先考慮γ=0時(shí)，式(2)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)給定頻率的幅值相位跟蹤算法，這是一個(gè)線性定常系系，做Laplace變換得到跟蹤正弦信號(hào)以及正交信號(hào)的傳遞函數(shù)，通過(guò)頻率響應(yīng)獲得幅頻與相頻率特性，從而獲得時(shí)域表達(dá)式：

其中：

根據(jù)線性系系調(diào)論不難得知，當(dāng)在θ＝ω上，輸入信號(hào)(1)可以被x(t)準(zhǔn)確跟蹤，即給定頻率的跟蹤算法具有穩(wěn)定的收斂性。

根據(jù)文獻(xiàn)[15]定調(diào)3.1和文獻(xiàn)[16]定調(diào)2可知制在一個(gè)，使得當(dāng)時(shí)，任滿時(shí)刻估計(jì)頻率與層態(tài)都處于一個(gè)積分流形上：

據(jù)此，在積分流形 上將式(7)代入式(5)分別得到解耦后的非線性周期動(dòng)力系系：

其中：

1.3 頻率估計(jì)收斂性

關(guān)于頻率估計(jì)算法(8)的收斂性，可總結(jié)為以下結(jié)論。

證明：依據(jù)微分方程解對(duì)參數(shù)的連續(xù)性和逼近方法，對(duì)于充分小的γ，頻率估計(jì)算法(3)和(5)的性能可以通過(guò)以下兩個(gè)系系來(lái)研究：

由式(8)得到其中：

把反正切函數(shù)展開(kāi)為級(jí)數(shù)形式得到：

對(duì)式(9)采用平均化方法得到平均系系為：

其中：

令，則其沿著平均系系的導(dǎo)數(shù)為：

依據(jù)平均定調(diào)與李亞普諾夫指數(shù)穩(wěn)定性定調(diào)，即可證明定調(diào)的結(jié)論。

2 仿真驗(yàn)證及參數(shù)影響

模擬一個(gè)正弦電壓信號(hào)經(jīng)過(guò)一定阻值的電阻后跟蹤電壓電流的頻率與幅值從而得到功率測(cè)量的仿真圖，這個(gè)模擬正弦信號(hào)可表示為：

采用不同數(shù)值的γ與μ分別進(jìn)行仿真，以觀察兩個(gè)參數(shù)對(duì)算法性能的影響。

圖2μ=400時(shí)的調(diào)整γ仿真結(jié)果

2.1 γ值的影響

保持μ=400，令γ等于3個(gè)不同數(shù)值獲得一組曲線。仿真結(jié)果如圖2所示，從該圖中可以看出：

1）隨著γ增大，頻率的跟蹤跟蹤速度顯著提升，并且超調(diào)量的增大并不明顯，當(dāng)γ=700時(shí)，頻率的超調(diào)量?jī)H只有1%左右；

2）隨著γ增大，由于頻率跟蹤速度的提升，功率測(cè)量的收斂速度也跟著提升，當(dāng)γ=700時(shí)，功率收斂速度在0.1s左右；

3）頻率動(dòng)態(tài)過(guò)程較小的超調(diào)量以及較快的收斂速度使得功率測(cè)量曲線干擾也不大，在發(fā)生擾動(dòng)后功率測(cè)量再一次跟蹤到目標(biāo)值時(shí)所產(chǎn)生超調(diào)僅為15%左右。

圖3γ=700時(shí)調(diào)整μ值仿真結(jié)果

2.2 值的影響

保持γ=700，通過(guò)調(diào)節(jié)μ值由小到大獲得一組曲線，仿真結(jié)果如圖3所示。根據(jù)該圖可以看出：

1）隨著μ增大，頻率的跟蹤速度并未有明顯提升跡象；

2）隨著μ增大，由于頻率跟蹤的速度沒(méi)有提升，因?yàn)楣β蕼y(cè)量的收斂速度也沒(méi)有提升，但是μ的增大導(dǎo)致了功率跟蹤曲線超調(diào)量的增大。當(dāng)μ=600時(shí)，功率測(cè)量的超調(diào)量高達(dá)了46.7%，失去了新算法的優(yōu)勢(shì)。

因此，根據(jù)兩組仿真的比較不難得出，新的跟蹤算法可以通過(guò)較大γ來(lái)獲得較快的收斂速度同時(shí)并不會(huì)產(chǎn)生過(guò)大的超調(diào)。而μ的取值不宜過(guò)大，μ并不會(huì)對(duì)頻率跟蹤產(chǎn)生多少影響，但會(huì)使得功率的測(cè)量會(huì)產(chǎn)生大的干擾。

2.3 與原算法比較

在原算法中選取μ=150，γ=35，仿真曲線記為f1，在改進(jìn)算法中選取μ=400，γ=700，仿真曲線記為f2。仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 與原算法對(duì)比仿真結(jié)果

根據(jù)圖4的仿真結(jié)果可以看出：

1）在頻率跟蹤性能上，新算法的超調(diào)小于原算法，在第1s的擾動(dòng)處，原算法頻率產(chǎn)生了12.5%的超調(diào)量，而新算法頻率跟蹤幾乎沒(méi)有超調(diào)；

2）在功率測(cè)量動(dòng)態(tài)性能上，新算法快速穩(wěn)定的頻率跟蹤所產(chǎn)生的優(yōu)越的功率測(cè)量效果尤為明顯，第0.5秒當(dāng)電壓電流的幅值發(fā)生變化時(shí)，新算法功率曲線更快的收斂到目標(biāo)值，第1秒頻率擾動(dòng)時(shí)，原算法產(chǎn)生了一個(gè)很大的擾動(dòng)，而新算法的超調(diào)量則遠(yuǎn)小于原算法。

3 硬件平臺(tái)搭建及功率算法實(shí)現(xiàn)

以上的調(diào)論推導(dǎo)以及仿真證明了新算法能對(duì)未知正弦信號(hào)的頻率幅值跟蹤實(shí)現(xiàn)跟蹤，并具有良好的抗干擾能力，同時(shí)也具有優(yōu)良的動(dòng)態(tài)性能。

若對(duì)電流及電壓信號(hào)分別進(jìn)行跟蹤從而就能實(shí)現(xiàn)對(duì)功率的測(cè)量，即便是完全未知并且含有高次諧波的正弦電信號(hào)也同樣適用。這在電力系系信號(hào)分析中能夠有很好的應(yīng)用。

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

本文采用TI公司的TMS320F28335作為主控芯片，28335的運(yùn)算速度可以支持我們的跟蹤算法，它的時(shí)時(shí)頻率可以高達(dá)150MHz，無(wú)論是AD采樣還是數(shù)據(jù)的處調(diào)與計(jì)算在硬件上都能夠滿足需求。

本用用三相交流電來(lái)作為待測(cè)電信號(hào)，采用AD7606-6模數(shù)轉(zhuǎn)換芯片，硬件結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 搭建硬件試驗(yàn)平臺(tái)

AD7606-6是一款6路模擬通道16位模數(shù)轉(zhuǎn)換芯片，內(nèi)部置有模擬輸入保護(hù)，二階抗混疊濾波器，跟蹤保持放大器，16位電荷再分配主次畢竟型模數(shù)轉(zhuǎn)換器，靈活的數(shù)字濾波器，2.5V基準(zhǔn)電壓源，基準(zhǔn)電壓緩沖以及高速串行和并行接口。我們使用它的并行數(shù)據(jù)總線與F28335外部制儲(chǔ)擴(kuò)展接口XINTF的數(shù)據(jù)線進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，控制線硬件接法如圖6所示。

圖6 AD7606控制引腳接法

根據(jù)AD7606的工作時(shí)程，采用通用IO口控制模數(shù)采樣轉(zhuǎn)化開(kāi)關(guān)CONVSTA和CONVSTB同基進(jìn)行。使用定時(shí)器中斷來(lái)控制采樣間隔，采樣轉(zhuǎn)化完畢后用XINTF外部制儲(chǔ)接口來(lái)控制讀數(shù)據(jù)時(shí)程。當(dāng)F28335對(duì)XINTF的映射內(nèi)制單元進(jìn)行讀操作時(shí)，XA9地址線輸出作為片選輸出低電平給/CS，每讀一次數(shù)據(jù)/XRD都會(huì)輸出一個(gè)低脈沖給7606的/RD引腳。讀操作時(shí)程如圖7所示。

圖7 讀數(shù)據(jù)時(shí)序

基于這個(gè)硬件平臺(tái)，采用TI公司官方的集成開(kāi)發(fā)閉境CCSv4來(lái)進(jìn)行程程設(shè)計(jì)，使用TIDSP-XDS100V2型號(hào)的仿真器進(jìn)行調(diào)試和下載程程。

利用微分方程的數(shù)值解法將連續(xù)域算法用于采樣到的離散電流電壓時(shí)間程列來(lái)跟蹤電流電壓信號(hào)，從而計(jì)算功率。以T為采樣周期，通過(guò)AD7606采樣轉(zhuǎn)化后得到的電流或電壓離散時(shí)間程列為u[0]，u[1]，u[2]，…，當(dāng)前時(shí)刻采樣點(diǎn)為k，下一時(shí)刻為k+1。通過(guò)微分方程的數(shù)值解法改寫(xiě)(2)、(5)跟蹤算法得到離散域的迭代式來(lái)對(duì)采樣程列運(yùn)算。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)圖8所示的周期性變化正弦電壓信號(hào)作為模擬的信號(hào)源。

圖8 模擬信號(hào)源示波器圖形

這個(gè)信號(hào)的變化規(guī)則為：

在0～t1時(shí)刻，電壓幅值為1，頻率為ω；

在t1～t2時(shí)刻，電壓幅值為2，頻率為ω；

在t2～t3時(shí)刻，電壓幅值為2，頻率為0.8ω；

t3時(shí)刻以后，變回幅值1，頻率ω。

AD采集這個(gè)電壓信號(hào)后進(jìn)行迭代運(yùn)算，跟蹤這個(gè)電壓信號(hào)，得到的計(jì)算結(jié)果用DA再一次轉(zhuǎn)化為模擬量輸出，示波器采集得到頻率跟蹤曲線：

圖9 頻率跟蹤曲線示波器圖形

由頻率示波器波形顯示可知：

在0～t1時(shí)刻，頻率準(zhǔn)確跟蹤到ω；

在t1～t2時(shí)刻，電壓變化導(dǎo)致頻率產(chǎn)生一個(gè)微小的擾動(dòng)仍然保持為ω；

在t2～t3時(shí)刻，頻率發(fā)生變化，跟蹤信號(hào)經(jīng)過(guò)一個(gè)短暫的暫態(tài)過(guò)程后跟蹤到0.8ω；

t3時(shí)刻以后，頻率經(jīng)過(guò)一個(gè)暫態(tài)過(guò)程重新回到ω；

基于頻率的精準(zhǔn)跟蹤，可以得到幅值的跟蹤：

圖10 幅值跟蹤曲線示波器圖形

由幅值示波器波形顯示：

在0～t1時(shí)刻，電壓幅值為1；

在t1～t2時(shí)刻，電壓跟蹤幅值經(jīng)過(guò)一個(gè)短暫的暫態(tài)過(guò)程從1變化至2；

在t2～t3時(shí)刻，由于頻率變化，幅值經(jīng)過(guò)一個(gè)擾動(dòng)后重新回到2；

t3時(shí)刻以后，幅值經(jīng)過(guò)一個(gè)暫態(tài)過(guò)程重新變化回1。

對(duì)電流信號(hào)進(jìn)行同樣的跟蹤，由此可以獲得功率跟蹤信號(hào)：

由功率示波器波形顯示，功率信號(hào)的測(cè)量結(jié)果也非常調(diào)想。

圖11 功率跟蹤曲線示波器圖形

4 結(jié)論

本文重點(diǎn)提出新的功率測(cè)量方法，這種方法基于一種改進(jìn)頻率估計(jì)式，通過(guò)調(diào)論以及MATLAB仿真說(shuō)明了新算法具有較好的收斂性和暫態(tài)響應(yīng)性能。利用這種功率測(cè)量方法，搭建硬件試驗(yàn)平臺(tái)，設(shè)計(jì)程程算法后用示波器顯示出功率測(cè)量結(jié)果，得到了預(yù)期的良好效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]林志一,陳希武,周秀英,周兆經(jīng).采用小波變換的功率測(cè)量方法[J].計(jì)量學(xué)報(bào).2003,24(1):52-55.

[2]儲(chǔ)昭碧,張崇巍,馮小英.基于自適應(yīng)陷波濾波器的頻率和幅值估計(jì)[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2010,36(1):60-66.

[3]Xiao Y, Tadokoro Y, Kobayashi Y. A new Memoryless Nonlinear Gradient Algorithm for a Second-order Adaptive IIR Notch Filter and Its Performance Analysis[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing,1998,45(4):462-472.

[4]Xiao Y, Takeshita Y, Shida K. Steady-state Analysis of a Plain Gradient Algorithm for a Second-order Adaptive IIR Notch Filter with Constrained Poles and Zeros[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems II:Analog and Digital Signal Processing,2001,48(7):733-740.

[5]Mojiri M, Karimi-Ghartemani M, Bakhshai A. Time domain Signal Analysis Using Adaptive Notch Filter[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2007,55(1):85-93.

[6]Karimi-Ghartemani M, Karimi H, Bakhshai A R. A Filtering Technique for Three-Phase Power Systems[J].IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,2009,58(2):389-396.

[7]Yazdani D, Bakhshai A, Joos G, Mojiri M. A Real-Time Three-

【】【】Phase Selective-Harmonic- Extraction Approach for Grid-Connected Converters[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2009,56(10):4097-4106.

[8]Wheeler P T,Chambers J A. Spectral Estimation by Computationally Reduced Kalman Filter[J].Circuits, Systems, and Signal Processing,2012,31(6):2205-2220.

[9]Mojiri M, Karimi-Ghartemani M, Bakhshai A. Time-Domain Signal Analysis Using Adaptive Notch Filter[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2007, 55(1):85-93.

[10]Nishimura S,Mvuma A,Hinamoto T.Complex Adaptive Notch Filters for Frequency Estimation of Three-phase Power Systems[A]. Circuit Theory and Design[C].2013:1-4.

[11]Nishimura S,Mvuma A,Hinamoto T. Frequency Estimation of Three-phase Power Systems Using Complex Adaptive Notch Filters[A].IEEE International Symposium on Circuits &Systems[C]:2014:2297-2300.

[12]陳小平,徐紅兵.一類(lèi)非線性系系的無(wú)超調(diào)控制[J].控制與決策,2013,28(4):627-631.

[13]孫明瑋,陳增強(qiáng),袁著祉.典型工業(yè)過(guò)程的無(wú)超調(diào)預(yù)測(cè)控制設(shè)計(jì)[J].控制與決策,2000,15 (2) :213-216.

[14]王鵬飛,王潔,羅暢,譚詩(shī)利.高超聲速飛行器輸入受限反演魯棒控制[J].控制與決策,2017,32(2):231-238.

[15]Riedle B, Kokotovic P. Integral Manifolds of Slow Adaptation[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1986, 31(4):316-324.

[16]儲(chǔ)昭碧,張崇巍,馮小英.基于自適應(yīng)濾波器的視頻分析[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2009,35(11):1420-1428.