數(shù)學學習任務(wù)整體設(shè)計的意義與路徑

章 飛

（江蘇第二師范學院課程與教學研究所，江蘇 南京 210013）

在關(guān)注學生全面發(fā)展、注重核心素養(yǎng)養(yǎng)成的當下，很多學者重視單元教學設(shè)計，希望不再局限于具體課時中細節(jié)性知識技能的學習，而能整體上進行內(nèi)容設(shè)計。但作為一線教師如何開展整體設(shè)計，其意義、可行性以及具體實施策略，還有待進一步研討。為此，筆者以數(shù)學學科為例，談?wù)勛约簜€人的一些思考。

一、學習任務(wù)整體設(shè)計的意義

（一）學習內(nèi)容本就是一個整體

學習內(nèi)容本就是一個整體，因此，本就應(yīng)該整體設(shè)計。事實上，學科知識已經(jīng)通過相互關(guān)系而聯(lián)結(jié)形成一個系統(tǒng)。課程標準中內(nèi)容安排也具有鮮明的整體性。[1]教科書本身也是整體設(shè)計的產(chǎn)物，學習是學習者自身知識的一個生長過程。教科書作為學生學習的一個重要素材，自然需要貼合學生的學習歷程。因此，基于教學的需要，教科書設(shè)計者只能依據(jù)學科知識發(fā)展的歷史和當前學生的認知狀況，將作為整體的學科知識分解成若干有序的部分，從而便于學生學習。因此，從外在形式上看，教科書上呈現(xiàn)的知識看似是一個個獨立的部分；但實際上，教科書設(shè)計者在設(shè)計教科書時就已經(jīng)十分重視整體設(shè)計了。筆者所在的課程標準實驗教科書編寫團隊，在教科書編寫中討論最多的就是整體設(shè)計。如，同一個重要的知識如何循序漸進地展開，從而在不同的章節(jié)有不同的定位；如，某一單元內(nèi)部知識相互之間是什么關(guān)系，順序如何安排更為自然流暢等。也就是說，教科書設(shè)計時已經(jīng)關(guān)注了整體設(shè)計，教科書中知識是按照某種邏輯鏈條連接在一起的，但由于教科書容量限制等原因，難能完全在教科書中外顯出各部分之間的聯(lián)系，因而，這樣的整體性成為內(nèi)隱的，學習者因為意識和能力的限制，沒有感受到整體性。高明的教學者應(yīng)引領(lǐng)學生感知前后知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，使之成為一個有機的整體。

（二）學習者有感知整體的內(nèi)在愿望和可能性

學習者有感知全局的內(nèi)在愿望和心理需要。也許老師們有一種疑惑，“相對于局部而言，整體不是更為復雜嗎，感知整體的難度不是更大嗎？”自然一次性深入地感知到整體的方方面面，相較于感知局部的某些性質(zhì)，難度更大。但這里所謂整體感知，并不是一次性將事物感知到位，而是指在對整體有一個概貌性了解的基礎(chǔ)上，再行具體研究局部性的問題，即先有“森林”再見樹木。[2]即使在解決一個個局部問題的時候，也要具有全局的視野，在全局視野的指導下了解感知事物的路線圖，時時明白當下的位置。生活中比較一下兒童俯視紙面走出迷宮與埋頭實物迷宮中誤打誤撞的難易，也不難理解這一點。實際上，著名心理學家奧蘇泊爾從理論上已經(jīng)論述了這一點。他認為，當人們在接觸一個完全不熟悉的知識領(lǐng)域時，從已知的較一般的整體中分化細節(jié)，要比從已知的細節(jié)中概括整體容易一些。[3]再者，實踐中也有不少成功的實踐案例。例如，十年前符永平老師探索了章前導學課《一元二次方程》，帶領(lǐng)學生共同建構(gòu)了一元二次方程這一章的整體結(jié)構(gòu)，并聚焦第一課時解決了一元二次方程的有關(guān)概念。[4]再如，筆者在高中立體幾何體積單元的教學中，首先引領(lǐng)學生類比面積的學習脈絡(luò)自主建構(gòu)了高中體積單元的學習脈絡(luò)圖，以后各個課時直接根據(jù)該圖明確當天研究的節(jié)點，思考如何將現(xiàn)在的問題轉(zhuǎn)化為圖中先前研究過的問題。[5]

（三）整體感知也是重要的學習任務(wù)

教學的目的是“不教而教”，教會學生自主地學習，成為優(yōu)秀的學習者。優(yōu)秀的學習者，都善于思考“為什么學”“學什么”“怎么學”“不同內(nèi)容之間什么關(guān)系、什么順序”等本質(zhì)性問題，而在這些本質(zhì)性思考中形成對問題的整體把握。即使他們埋首于具體問題的解決中，也會不時跳出具體的問題，登高而望，從而了解當今的進展、未來的目標以及前路可能遇到的困難。學科大家往往是整體感知的高手，做著開疆辟土的工作。而生活中，優(yōu)秀的領(lǐng)導者，相比常人，更具開闊的視野、全局的思維，善于“站在全局謀局部”?？傊?，整體認知成為優(yōu)秀學習者的重要思維品質(zhì)。而這種思維品質(zhì)的養(yǎng)成，除了個體因素之外，教育教學也功不可沒。因此，學科教學中也應(yīng)注意滲透、外化這樣的全局思維，將整體感知作為重要的學習任務(wù)。

（四）核心素養(yǎng)的養(yǎng)成呼吁整體感知

近年來，世界各國都十分重視核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。2014年3月，《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》明確提出制定學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系的要求。2016年，北京師范大學舉行了中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)研究成果發(fā)布會，從文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展和社會參與三個方面，對學生發(fā)展的核心素養(yǎng)做出了描述。雖然關(guān)于核心素養(yǎng)的名稱以及具體內(nèi)容，還存在一定的爭議，但教育需要關(guān)注對于學生未來發(fā)展起著重要作用的關(guān)鍵性能力，這樣的認識是一致的。在這樣的背景下，圍繞核心素養(yǎng)的養(yǎng)成和關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，要求教學不再僅僅局限于具體課時中細節(jié)性知識技能的培養(yǎng)，需要上位地思考外化于知識的學生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。這一要求的提出，要求教學工作者從整體上思考教學內(nèi)容，適度進行課程的重整，如不同學科課程的重整，同一學科課程內(nèi)部的重整。正是在這樣的背景下，單元教學的整體設(shè)計成為研究的熱點，組織了全國性的基于核心素養(yǎng)的單元教學設(shè)計專題研討[6]，也有部分學校進行了相應(yīng)的教改實踐。總之，核心素養(yǎng)的養(yǎng)成呼吁整體感知。

二、學習任務(wù)整體設(shè)計的現(xiàn)實選擇

學習任務(wù)整體設(shè)計，在有條件的學校，固然可以在專家的指導下，通過團隊的分工合作開展學科課程之間或者學科課程內(nèi)部的重整工作，在這樣的過程中，促進學生整體意識的提升，同時也提高一線教師的課程設(shè)計能力。但對多數(shù)學校的教師而言，由于專家資源匱乏，兼之教師課程理解與開發(fā)能力的不足，自主進行課程重整并不現(xiàn)實。另外，缺乏專家指導的課程重整，質(zhì)量難能保證，易于造成教科書資源的浪費甚至形成教學資源使用的亂象，危害國家課程的目標達成。畢竟教科書是依據(jù)國家課程標準經(jīng)過專業(yè)人士審定過的教學資源，具有很好的規(guī)范性、科學性。因此，對絕大多數(shù)一線教師而言，可行的做法是：深入研究課程標準和教科書，嘗試挖掘并適時地外顯教科書內(nèi)隱的整體意識，使得學習者恒有全局感，但同時又基本保障教學課時的獨立，做到能力目標與技能要求的恰當分解，讓學習者常存獲得感。當然，在自身課程設(shè)計能力得到很大提升之后，也可以適度進行課程的重整工作，特別是沒有教科書可以參考的階段（如復習階段）。因此，對普通教師而言，學習任務(wù)整體設(shè)計的現(xiàn)實路徑如下：

（一）在教科書內(nèi)隱體系的揭示中，讓學習者恒有全局感

正如前面所分析的，教科書設(shè)計中已經(jīng)注重了整體設(shè)計，作為教師，需要深入揭示教科書內(nèi)隱的整體設(shè)計，在基本遵循教科書體系的基礎(chǔ)上，適時外顯整體設(shè)計思路，使得學生兼具獲得感和全局感。當然，基于學習任務(wù)的不同，外顯教科書整體設(shè)計思路的方法可能是多樣的。

1.基于先前經(jīng)驗的類比，自主建構(gòu)新知學習系統(tǒng)

學習活動中，很多知識與先前學習的知識具有類似的學習內(nèi)容和結(jié)構(gòu)，因此，學生完全可能基于先前學習經(jīng)驗回顧的基礎(chǔ)上自主建構(gòu)新的學習系統(tǒng)，進而在感知了整個知識系統(tǒng)的基礎(chǔ)上聚焦于其中某些起始性問題展開學習。例如，在學習《一元二次方程》這一章之前，學生已經(jīng)學習過一元一次方程、二元一次方程組、分式方程等相關(guān)內(nèi)容，這些章節(jié)內(nèi)容基本都是按照“概念—解法—應(yīng)用”的順序展開的，概念中“元”“次”的概念也具有前后一致性，學習解法時，也都是遵循從簡單到復雜的順序，采用逐步化歸的方法解決問題，這些都為學生自主建構(gòu)一元二次方程這一章的知識奠定了很好的基礎(chǔ)，因此完全可以引領(lǐng)學生自主建構(gòu)知識系統(tǒng)。類似的，分式、二次函數(shù)等章均可以采用這樣的方式。當然，根據(jù)學生的學力狀況，一定的引導也是必需的，但這樣的引導應(yīng)是通用的、普適的、指向知識建構(gòu)能力發(fā)展的。例如，可以依次提出這樣幾個問題：（1）看到章名“一元二次方程”，你想到什么？（2）以前學習過哪些方程？在相關(guān)方程學習的章節(jié)中，大致學習了哪些內(nèi)容？大致順序是什么？（3）你能估計出本章的學習內(nèi)容和順序嗎？請畫出相應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖，并與同伴交流；（4）今天開始我們自然就需要細化一元二次方程學習的具體內(nèi)容，就從其中第一個學習內(nèi)容“概念”開始吧，你認為什么是一元二次方程，能借助以前學習一元一次方程、二元一次方程的經(jīng)驗給出相應(yīng)的概念和具體的例子嗎？……后面若干課時中，都可以以這節(jié)課上生成的章結(jié)構(gòu)圖為線索，再逐步細化各個環(huán)節(jié)的內(nèi)容。

這種類比并不局限于整章的類比，在具體節(jié)、課時的設(shè)計中，同樣可以關(guān)注類比，自主建構(gòu)本節(jié)、本課時的學習系統(tǒng)。此外，類比后學生建構(gòu)的章、節(jié)、課時的具體順序，也未必完全與教科書一致，可能出現(xiàn)偏差，需要認真分析偏差的合理性，在此基礎(chǔ)上思考是否順應(yīng)學生的思路進行教學調(diào)整。例如，在類比全等三角形判定定理的基礎(chǔ)上，探索相似三角形的判定定理時，學生得到的往往并不是一個判定定理，而可能是幾個判定定理，而且順序也未必和教科書中一樣，也就是說，學生可能已經(jīng)獲得了關(guān)于相似有關(guān)定理的整體結(jié)構(gòu)，但為了確認這些定理，自然還需要一個一個地證明，這可能就構(gòu)成了幾個課時的任務(wù)。到底先從哪一個開始呢？實際上，沒有一定之規(guī)。作為靜態(tài)的教科書，為了方便表述，只能選擇某個順序。但作為動態(tài)的教學，可以引導學生不妨按照教科書中的順序展開，也可以順應(yīng)學生的思路展開，但不管采用哪個順序，學生都經(jīng)歷了整體感知基礎(chǔ)上的細化研究過程，形成全局感。

2.基于現(xiàn)實問題的解決，逐步生成新知學習系統(tǒng)

有些學習內(nèi)容，先前并沒有多少類似的經(jīng)驗，類比建構(gòu)知識系統(tǒng)的可能性很小。面對這些全新的學習內(nèi)容，建議選擇某個現(xiàn)實的問題情境，在現(xiàn)實問題的解決過程中，自然地暴露出研究對象的各個方面，再適當?shù)卮┽樢€，不難整體感知本章的學習結(jié)構(gòu)。

例如，《數(shù)據(jù)分析》這一章，主要研究兩個問題：數(shù)據(jù)的平均水平和數(shù)據(jù)的波動狀況，實際上，這是刻畫數(shù)據(jù)的兩個不同視角，對于每個視角又有不同的統(tǒng)計量，如刻畫數(shù)據(jù)平均水平的統(tǒng)計量一般有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等，因此，教科書又細分成好幾節(jié)。教學中，如果直接從第一課時《平均數(shù)》開始教學，學生就難能獲得對數(shù)據(jù)的整體感。為此，教學中建議，首先呈現(xiàn)一個原始的現(xiàn)實問題，在這樣的問題中直觀地展現(xiàn)幾組不同的數(shù)據(jù)，要求學生根據(jù)現(xiàn)實需要做出選擇，這時學生根據(jù)數(shù)據(jù)的圖形直觀，可以感受到某組數(shù)據(jù)“高”一些，某組數(shù)據(jù)“低”一些，有的數(shù)據(jù)“擺動”劇烈，有的數(shù)據(jù)相對“平緩”，這就引出了刻畫數(shù)據(jù)的兩個視角：平均水平和波動水平，實際問題也需要研究這兩個水平，這樣自然搭建了本章的知識系統(tǒng)，下面聚焦于其中某個方面（如平均水平）就順理成章了。

再如，《變量之間的關(guān)系》分為三節(jié)，分別聚焦于變量之間關(guān)系的三種不同的表示方式：表格、關(guān)系式和圖像。但對初一學生而言，這是一個新事物，學生不了解為什么有這三種表示方式、相互之間什么關(guān)系。因此，可以選擇一個情境，其中蘊含著很多變量，學生從這個背景中發(fā)現(xiàn)很多變量和常量，思考：哪些量之間有關(guān)系？關(guān)系大致會是怎樣？如何表示？在如何表示的思考中，學生不難從中發(fā)現(xiàn)，相對較為簡單的，可以用代數(shù)式表示；相對復雜一些的，學生暫時還不能嚴格地描述，但根據(jù)實際情境可能感受到一些變化的趨勢之類的，有一些直覺，具體如何驗證這樣的直覺呢，這時自然就會用具體的數(shù)值代入，通過具體數(shù)值加以體會，這就是表格法；當然，將表格數(shù)據(jù)直觀地反映到圖上就形成了圖像法。這樣，從一個情境問題出發(fā)，通過一系列的問題串，層層引導，讓學生感受到變量之間關(guān)系的豐富性，同時自然地生成了變量之間關(guān)系的三種表示方法以及三種表示方式之間的關(guān)系，形成了全章的結(jié)構(gòu)。

3.基于本質(zhì)問題的追問，探究知識系統(tǒng)的內(nèi)在緣由

上述兩種方式，系統(tǒng)建構(gòu)都比較自然，學生自主建構(gòu)也好，教師引導建構(gòu)也罷，相對難度較小。當然，也有一些內(nèi)容的學習順序，并非那么自然，對學生而言，在沒有外人幫助的情況下，未必能夠建構(gòu)合理的順序，這時就需要教師層層深入的誘導，以揭示知識系統(tǒng)建構(gòu)的內(nèi)在原因。例如，整式的乘除這一章節(jié)，學生看到章名，自然想到先學習乘法后學習除法，但教科書在學習乘法之前還有同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方等內(nèi)容。實際上，這些都是整式乘法的基礎(chǔ)知識，但作為學生，不免疑惑，為什么要學習這些內(nèi)容呢？為此不妨暴露學生的疑慮，揭示出系統(tǒng)建構(gòu)的原因。具體的誘導過程大致如下：（1）上學期我們學習了整式的加減運算，今天開始學習整式的乘除，當然先從簡單的乘法運算開始了，不妨先寫幾個整式，并試著寫出它們相乘的形式；（2）這么多乘積的形式，你認為哪些比較簡單，哪些比較復雜，試著分分類好嗎；（3）看來，最簡單的就是單項式乘以單項式了，上面的單項式乘以單項式中，你認為應(yīng)該怎樣計算，遇到什么問題？（4）實際上，單項式乘以單項式，可能遇到等問題，這些乘法中兩個對象的底數(shù)相同，這就是所謂同底數(shù)冪的乘法?；谏鲜鼋涣鳎瑢W生不難理解教科書的結(jié)構(gòu)（如圖1）及內(nèi)在道理。

類似地，可以引領(lǐng)學生思考，為什么先學習分式的基本性質(zhì)、分式的乘除，再學習分式的加減。再如，二次函數(shù)的圖像，教科書一般設(shè)計了4—5個課時，為什么設(shè)計這幾個課時，為什么是這樣的順序，都可以設(shè)法引導學生思考。

當然，這樣的揭示，最好在學習之前，通過問題引領(lǐng)，讓學生首先建立整體感、全局感。如果班級學生學力確實不允許，至少應(yīng)在學習之后，引領(lǐng)學生思考為什么學習這些內(nèi)容，為什么選擇這個順序，從而讓學生感知到學習系統(tǒng)構(gòu)成的過程。

（二）在知識體系的重組中，讓學生形成全局感

圖1

教科書是面向全國所有同齡學生設(shè)計的，難能完全貼合自己班級學生的實際。作為優(yōu)秀教師，自然應(yīng)該根據(jù)自己學生的特點，創(chuàng)造性地使用教科書，甚至也可以打亂教科書體系，重整知識系統(tǒng)。這方面，最為典型的是，全國著名數(shù)學特級教師孫維剛的結(jié)構(gòu)教學法。當然，作為普通教師未必有這樣的課程駕馭能力、課程開發(fā)能力。但應(yīng)有這樣的意識，在自己的能力范圍內(nèi)盡可能進行知識系統(tǒng)的重構(gòu)，將一些相近的內(nèi)容進行適當?shù)恼吓c重構(gòu)。例如，為了保證普通學生相關(guān)知識技能的達成，初中數(shù)學教科書中方程的有關(guān)知識，被分成一元一次方程、二元一次方程、分式方程以及一元二次方程等不同的章節(jié)，每一部分都按照概念、解法、應(yīng)用這樣的順序展開，但學習過這四章之后的復習階段，再完全按照章節(jié)順序進行復習，可能就顯得重復了，同時也難能揭示其中更為上位的能力要求。實際上，不管哪一類方程，其學習的目的都是解決現(xiàn)實問題。在解決現(xiàn)實問題中，離不開列方程和解方程兩個技能，而列方程中內(nèi)蘊著建模能力，解方程中除了關(guān)注解方程的技能外更需關(guān)注內(nèi)蘊的化歸思想，為此，可以從另一個維度進行知識統(tǒng)整，如可以分為模型建構(gòu)、方程求解兩個部分進行系統(tǒng)再建構(gòu)，模型建構(gòu)關(guān)注現(xiàn)實問題的抽象以及數(shù)學模型的建構(gòu)，方程求解關(guān)注蘊含其中的化歸思想的揭示，實際上，這樣的教學更為聚焦于學科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力。

總之，全人教育的發(fā)展要求呼吁學習任務(wù)的整體設(shè)計，多數(shù)一線教師的現(xiàn)實選擇是外顯教科書內(nèi)隱的體系。由于學科、年齡、學生等多方面的差異，具體做法自是各異的。本文僅僅拋磚引玉，給出了一些思路與案例，與同行共研。

參考文獻：

[1]李曉東.把握主題，整體設(shè)計——例說初中數(shù)學單元教學設(shè)計的基本策略[J].數(shù)學教學研究，2016（10）：18-26.

[2]薛紅霞，趙學昌，趙國鮮，等.“整體學習”思想下的單元教學設(shè)計——以“3.3直線的交點坐標與距離公式”為例[J].中小學數(shù)學（高中版），2013（Z1）：6-13.

[3]賈豁然.信息技術(shù)環(huán)境下中學生數(shù)學概念學習的教學策略設(shè)計[D].長春：東北師范大學，2006：5-6.

[4]符永平.“一元二次方程章頭圖導學”課例與互動點評[J].中學數(shù)學教學參考，2008（11）：16-39.

[5]馬復，章飛.初中數(shù)學教學法[M].長春：東北師范大學出版社，2004：106-108.

[6]張肇豐.基于核心素養(yǎng)的單元教學設(shè)計[J].上海教育科研，2016（2）：18-21.