考慮空間利用和溫度均勻性的烤盤形狀分析

盧勁鍇 秦川 夏子婷

摘 要：烤箱是現(xiàn)代家庭廚房中不可或缺的家用電器之一，如何設(shè)計一款既能充分利用烤箱內(nèi)面積、又能盡可能避免烤糊蛋糕的烤箱及配套的烤盤具有重要意義。本文針對烤盤形狀進行研究，主要解決了不同形狀烤盤上溫度分布的計算問題，考慮了在烤盤個數(shù)最大和溫度分布均勻性最大的條件下的分別對應的烤盤形狀。而后綜合考慮烤盤個數(shù)與溫度分布均勻性，給出了烤盤綜合得分的計算方法，提出了最優(yōu)烤盤形狀的設(shè)計方案。我們綜合考慮以上兩個目標，通過a-方法確定權(quán)數(shù)p為0.238。我們定義二者加權(quán)后的數(shù)值為烤盤綜合得分。在假定烤箱形狀和大小（S=0.2，W/L=0.8）和烤盤面積（A=0.02）后，我們得到最優(yōu)烤盤的形狀為寬長比為0.87的矩形的最優(yōu)圓角矩形。

關(guān)鍵詞：偏微分方程；有限元；熱傳導

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.08.184

1 烤盤形狀的描述

我們設(shè)計的烤盤形狀為矩形和圓角矩形。圓角矩形可以經(jīng)過原矩形由以下變換得到：令原矩形外接圓半徑為r1，內(nèi)切于矩形寬的圓的半徑為r2。以矩形的形心為圓心，以r（r1≤r≤r2）為半徑做一個圓，該圓與矩形相交的形狀即為圓角矩形。此模型涵蓋了從扁長矩形到圓形的所有過渡形狀。

2 熱傳導模型的建立

由傅里葉定律得：

（1）

則在Ω域經(jīng)過一段時間內(nèi)所產(chǎn)生的熱量變化為：

（2）

由傅里葉定律知，溫度的傳到速率正比與溫度梯度，則通過閉合曲面進入歐米伽的熱量為：

（3）

其中：F表示熱源強度，單位時間單位體積內(nèi)放出的熱量：

（4）

根據(jù)熱量守恒定理：

令，

即得到標準形式的三維偏微分方程

（5）

在熱傳導過程達到穩(wěn)態(tài)時，溫度不在改變，故：

根據(jù)牛頓冷卻定律，我們得到邊界條件：

（6）

3 模型的求解——有限元

我們采用有限元法（FEM）來計算熱平衡方程的數(shù)值解。借助PDE偏微分方程工具箱，我們將網(wǎng)格劃分為小三角形來初始化網(wǎng)格。通過變分方法，使得每一個節(jié)點的誤差函數(shù)達到最小值并產(chǎn)生穩(wěn)定解，因此我們得到每個節(jié)點上的溫度值。在烤盤為矩形時，烤盤四角溫度偏高，中心溫度最低，邊緣溫度變化明顯?，F(xiàn)保持面積不變，將烤盤形狀由矩形變?yōu)閳A形，可以得出，圓形烤盤邊緣溫度分布均勻。

4 目標規(guī)劃——求解最優(yōu)烤盤形狀

4.1 空間利用——烤盤個數(shù)N

烤箱的寬長比、面積為一個固定的值時，最大烤盤數(shù)N隨烤盤（面積為A）的寬長比變化而變化。由于原角矩形為矩形（包括正方形）做切圓角變換得到的，因此圓角矩形的最大烤盤數(shù)與其原矩形的最大烤盤數(shù)相等。即得到以下關(guān)系式：

（7）

4.2 溫度均勻性σ

在某一個寬長比下，我們忽略了切圓角所改變的面積，仍然假定此時圓角矩形的面積與矩形面積相等，為A。而溫度分布的不均勻性隨切割圓的半徑變化而改變。我們定義溫度不均勻系數(shù)σ來衡量溫度分布的不均勻性，即：

（8）

4.3 多目標求解

為了得到結(jié)果，我們以市面上的一種銷量較大的烤箱作為參考，取烤箱寬長比為0.8，即寬為40cm，長為50cm。由于最后我們還將對烤箱的寬長比做討論，因此這并不妨礙此模型的普遍性。用a-方法來確定權(quán)重p 為0.238。

由以上約束條件和目標函數(shù)，我們得到最終的基于線性加權(quán)法的多目標規(guī)劃模型：

（9）

求解得到寬長比為0.87的矩形所對應的最優(yōu)圓角矩形為最優(yōu)解。

5 結(jié)論

我們通過改變寬長比和權(quán)重，得到每種情況下最優(yōu)形狀烤盤的得分的矩陣，做出等高線圖如圖1。

其中，橫坐標為權(quán)重p（0≤p≤1），縱坐標為烤箱W/L（0.2

在給定權(quán)重p和W/L的前提下，我們就能通過查表得到最優(yōu)烤盤形狀——既保證布朗尼的烘烤均勻，又不浪費烤箱空間。例如：當烤箱空間容納量和烤盤溫度分布均勻度同等重要時，即p等于0.5，那么同時烤箱的寬度是長度的一半，即W/L等于0.5時，查表可知，最合適的烤盤形狀應該是一個寬長比為0.8的最優(yōu)圓角矩形。

作者簡介：盧勁鍇（1997-），男，山東青島人，研究方向：巖土工程。