一種基于C#實現(xiàn)的生產(chǎn)多批次數(shù)量值的選值算法?

劉益申 管文建

（上海天臣防偽技術(shù)股份有限公司互聯(lián)網(wǎng)事業(yè)部 上海 200433）

1 引言

現(xiàn)在廣大商家在售賣自己的產(chǎn)品時，通常會采取購買有獎的促銷方式，即消費者在購買商品后可獲得額外獎品，有獎促銷行為已經(jīng)成為現(xiàn)代商業(yè)營銷的一種重要手段［1］。過去傳統(tǒng)的兌獎方案是將實體兌獎卡放入商品包裝內(nèi)，消費者在購買商品后，獲取包裝內(nèi)的兌獎卡，憑兌獎卡找商家進行相應(yīng)兌獎。隨著互聯(lián)網(wǎng)和移動互聯(lián)網(wǎng)的興起，公開號為CN202472742U的實用新型專利設(shè)計了一種網(wǎng)絡(luò)驗證兌獎信息系統(tǒng)［1］，公開號為CN103150806A的發(fā)明專利發(fā)明了一種網(wǎng)絡(luò)的發(fā)票自助兌獎方法［2］，很多商家也開始使用類似的新型電子兌獎方案，即消費者在購買商品后，根據(jù)商品包裝內(nèi)的電子兌獎碼，通過網(wǎng)絡(luò)進入商家的網(wǎng)上兌獎平臺，通過輸入兌獎碼來進行兌獎。比起傳統(tǒng)的實體兌獎卡兌獎方案，電子兌獎方案使消費者不受時間、地域的限制，隨時進行兌獎［3］，免去實體兌獎卡的制作成本，另外將整個兌獎流程交由商家后臺的計算機程序來管理，使傳統(tǒng)的兌獎方案數(shù)字化，使兌獎卡與商品實現(xiàn)數(shù)字關(guān)聯(lián)，并可根據(jù)市場銷售情況動態(tài)設(shè)置獎項內(nèi)容，最大有利于市場營銷。

然而電子兌獎方案也存在一定風(fēng)險，即僅僅通過網(wǎng)上的兌獎平臺輸入兌獎碼來確認消費者是否中獎是不夠安全的，通常兌獎碼由若干位數(shù)字和字母構(gòu)成，由于位數(shù)固定，那么兌獎碼所有的排列情況也是確定的，這樣在商家的網(wǎng)上兌獎平臺上，存在某些人不購買商品卻通過猜測恰好輸入正確兌獎碼從而假冒兌獎的情況，毫無疑問，這樣的行為不僅損害了本該中獎的消費者利益，也給商家?guī)韲乐氐慕?jīng)濟損失。公開號為CN101894343A的發(fā)明專利也指出當(dāng)前公開的電子兌獎方案不能完全杜絕假冒兌獎的缺陷［4］，該發(fā)明專利雖然提出了一種通過事先采集消費者指紋和增設(shè)兌獎密碼來進行兌獎驗證的方法，但該方法實施過于繁瑣復(fù)雜，極大增加了消費者的購物流程和驗證兌獎系統(tǒng)的復(fù)雜度，實用性不高。

本文針對電子兌獎方案存在的風(fēng)險，提出一種簡單易實現(xiàn)的方案，即在商家生產(chǎn)商品時應(yīng)使用多批次生產(chǎn)，并設(shè)計了批次數(shù)量值的選值算法，最后使用了C#語言和Math.Net開源數(shù)學(xué)庫實現(xiàn)了該算法，可在絕大多數(shù)情況下計算出較優(yōu)的批次數(shù)量值范圍，供商家來參考。

2 使用多批次生產(chǎn)來降低猜中兌獎碼的概率

首先假設(shè)電子兌獎碼由d位（d＞0）數(shù)字（0～9）或者英文字母組合構(gòu)成（英文字母不區(qū)分大小寫，由于英文字母I和O和數(shù)字的1和0外形十分相似，為了避免給消費者帶來混淆，將不包含字母I和O），因此兌獎碼的每一位有10種數(shù)字和24種英文字母選擇，共34種選擇，根據(jù)這種兌獎碼的長度和場合數(shù)計算中的“相乘法則”［5］，d位兌獎碼共有34d種組合。然后假設(shè)商家一次性共生產(chǎn)了n（n＞0）件商品，每件商品都含有唯一的兌獎碼，所以共有n個正確的兌獎碼。另外假設(shè)商家采用的是購買即中獎的促銷方式，即只要消費者在網(wǎng)上兌獎平臺輸入正確的兌獎碼，就視為成功中獎。在這種情況下，猜測1次就猜對兌獎碼的概率為P1，這種猜測符合古典概型［6］的定義：

這個概率隨著n值遞增，當(dāng)n值較大時，概率也會較大，考慮到很多商家的產(chǎn)品產(chǎn)量非常大，因此這種帶給商家的風(fēng)險不可小視。

然而商家在生產(chǎn)商品時使用多批次生產(chǎn)時，即將生產(chǎn)的商品并非一次性投入市場而是將商品分批次投入市場可以降低這種風(fēng)險?，F(xiàn)在來計算采取多批次生產(chǎn)后，某個時刻猜測一次就成功猜測出商品兌獎碼的概率。雖然無法確定猜中的兌獎碼來源于哪個批次，但這個猜中的商品兌獎碼一定來源于所有批次中的一個批次，基于這個簡單的事實，利用全概率公式［6］，設(shè)商家共分為m個（2≤m≤n）批次生產(chǎn)，每個批次的商品投入市場的時間相同，每個批次的商品數(shù)量為可得某個時刻猜測1次就猜中兌獎碼的概率為

可見P2和n成正比，和d以及m成反比，P2與式（1）中的P1相比后，可以得出：

因此采用多批次生產(chǎn)可降低猜測1次就猜中商品兌獎碼的概率m倍。

3 多批次生產(chǎn)對海量猜測兌獎碼的影響

很多時候，某些人會安裝一些計算機腳本程序，這些腳本程序會自動海量嘗試猜測兌獎碼，并可能得到大量正確的商品兌獎碼。這種行為給商家?guī)淼奈：Ω蟆Ｄ敲炊嗯紊a(chǎn)是否也能降低這種危害，是很值得考慮的。

設(shè)計算機腳本每次嘗試都是獨立的，那么現(xiàn)在來計算一下恰好猜中n個兌獎碼出現(xiàn)的概率。在概率學(xué)中，如果在一次試驗中只關(guān)心某個事件是否發(fā)生，那么稱這個試驗為貝努利試驗，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為貝努利概型［6］。另外，在n重貝努利實驗中，設(shè)隨機變量X表示n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，可以得出X的概率函數(shù)為［6］

稱這個隨機變量X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記做X～B（n，p），其中0＜p＜1。當(dāng)n值較大，n×p值適中時，通常當(dāng)n≥10，p≤0.01時，這個時候可以利用泊松定理［6］來使用泊松分布來近似模擬二項分布，設(shè) λ=np ，0＜p＜1，k≥ 1：

稱這個隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布［6］，記作X～P（λ），其中，λ＞0。

為了更方便并直觀的比較采用多批次生產(chǎn)前后的猜中多個兌獎碼的概率區(qū)別，將使用Octave來模擬繪制兩者的分布圖像。Octave作為一款免費軟件，語法和Matlab十分相似，主要用于數(shù)值計算［7］。這里假設(shè)商家共生產(chǎn)了20000000件商品，兌獎碼為6位長度，通過計算機腳本程序嘗試猜測兌獎碼1000次，根據(jù)式（1），猜測1次猜中兌獎碼的概率np=1000×0.0129=12.9。如果商家采用10個生產(chǎn)批次，采用10個生產(chǎn)批次后，根據(jù)式（3），猜測1次猜中兌獎碼的概率np=1000×0.00129=1.29。這里由于 n≥10，p≤0.01，因此可使用泊松分布來觀察猜中n個兌獎碼的概率分布，使用Oc?tave來模擬該分布的情況如圖1。

圖1 2種不同的生產(chǎn)方式下的概率函數(shù)值

從圖1可以看出，雖然采用多批次生產(chǎn)時，猜中兌獎碼的數(shù)量大于5的概率更低，但猜中兌獎碼的數(shù)量小于5的概率明顯更高，由此可見采用多批次生產(chǎn)后，可降低猜測1次猜中兌獎碼的概率，但在使用計算機腳本程序海量嘗試時，可能存在猜中某些數(shù)量兌獎碼的概率反而會更高的現(xiàn)象，因此一個合適的批次數(shù)量值選值是非常重要的。

4 批次數(shù)量值的選值算法設(shè)計

現(xiàn)在設(shè)商家共生產(chǎn)了C（C＞0）件商品，使用計算機腳本程序至多嘗試nx（nx≥1）次，未采用多批次生產(chǎn)時的猜測1次猜中兌獎碼的概率為 p1（0＜p1＜1），猜中 k（1≤ k≤ nx）個兌獎碼的概率為 P1，采用多批次生產(chǎn)后，分為m（2≤m≤C）個批次，猜測1次猜中兌獎碼的概率為 p2（0＜p2＜1），猜中k（1≤k≤nx）個兌獎碼的概率為 P2，根據(jù)式（3），p2=p1/m。如果商家采用多批次生產(chǎn)，現(xiàn)在需要選擇一個合適的m值，即這個m值能夠始終使P2≤P1。

由于有效的批次數(shù)量值m≥2并且小于等于產(chǎn)量總值，直觀地，可以遍歷每個可能的批次數(shù)量值，計算在該批次數(shù)量值下，P2≤P1是否成立。如果成立，那么這就是一個合適的批次數(shù)量值。但這樣的做法耗時較多，效率較低，特別是當(dāng)商家的產(chǎn)量總值較大的時候，需要遍歷的數(shù)目也會非常大。為了提高算法的效率，可做如下優(yōu)化：

結(jié)論1 無論是使用二項分布還是泊松分布計算概率函數(shù)值，如果要使 P2≤P1，那么顯然P2(k=1)≤P1(k=1)也必然成立。另外如果能在使用計算機腳本程序嘗試nx的情況下使P2(k=1)≤P1(k=1)，那么當(dāng)嘗試次數(shù)小于nx時（使用 n=nx-t來 表 示 ，1 ≤ t≤ nx-1） ，P2(k=1)≤P1(k=1)仍然成立。

證明如下：

對于二項分布：

∴當(dāng)n=nx-t時，P2(k=1)≤P1(k=1)

現(xiàn)在觀察P(k=1)的單調(diào)情況，根據(jù)n和 p1的值，可分為兩種情況：

1）當(dāng)0＜n＜10或者 p1＞0.1時，使用二項分布的概率函數(shù)值更好。

無論是否采取多批次生產(chǎn)，恰好猜中1個兌獎碼的概率為

此時對P(p)求導(dǎo)：

結(jié)論2 當(dāng)k=1時，P(p0=)是P（p）上的一個最大值，并且在np＜1時遞增，在np＞1時遞減。

根據(jù)這個結(jié)論2和結(jié)論1，可以首先計算nxp1的值，如果小于1，那么為了使采用多批次生產(chǎn)后能 使 P2(k=1)≤P1(k=1)，只 需 nxp2≤nxp1，即可使m=2，3，4，…，C，即批次數(shù)量值從2到總產(chǎn)量值C都可以滿足條件。

結(jié)論3 現(xiàn)在考慮猜中的兌獎碼個數(shù)為k（2≤k≤ nx）時，當(dāng)滿足 P2(k=1)≤P1(k=1)時，是否仍然能使P2≤P1。結(jié)論是肯定的，證明如下：

綜上，可以得出當(dāng)nxp1≤1時，批次數(shù)量值范圍為[2 ，C ]上的所有整數(shù)。

現(xiàn)在考慮當(dāng)nxp1＞1時的情況，根據(jù)結(jié)論2，當(dāng)k=1時，P(k=1)在 np＞1的時候是遞減的，而p2＜p1，所以如果 nxp2仍然大于1，那么 P22(k=1)將會大于P1(k=1)，這是不符合要求的。因此符合要求的nxp2必然小于1。根據(jù)結(jié)論2，P(k=1)在np＜1的時候是遞增的，p最小值為，所以當(dāng)批次數(shù)量值取總產(chǎn)量值C時，P2(k=1)是最小的。

如果此時的P2(k=1)＞P1(k=1)，那么說明在這個嘗試次數(shù)nx下，合適的批次數(shù)量值并不存在，這樣就繼續(xù)考慮嘗試次數(shù)為nx-1的情況下，合適的批次數(shù)量值是否存在。

如果此時的P2(k=1)=P1(k=1)，那么說明批次數(shù)量值取總產(chǎn)量值C是唯一合適的批次數(shù)量值。

如果此時的P2(k=1)＜P1(k=1)，則說明合適的批次數(shù)量值存在，并可能存在多個，所以這時需要找到一個最小的能使P2(k=1)≤P1(k=1)的值m1，根據(jù)結(jié)論3，說明m1是個合適的批次數(shù)量值。又因為之前得出符合要求的nxp2必然小于1并且根據(jù)結(jié)論2，P(k=1)在np＜1的時候是遞增的，比m1更大的批次值必能使 p2更小也能使P(k=1)更小，所以最終的批次數(shù)量值范圍為[m1，C ]上的所有整數(shù)。

通過這些結(jié)論，在nxp1＞1的情況下，可以預(yù)先判斷出合適的批次數(shù)量值是否存在或者只存在唯一合適的批次數(shù)量值，省去了依次遍歷每個可能的批次數(shù)量值，提高了算法的時間效率。

綜上這就是當(dāng)0＜n＜10或者 p1＞0.1時，使用二項分布的批次數(shù)量值選值的主要流程。

2）當(dāng)n≥10并且 p1≤0.1時，設(shè) λ=np（λ＞0），二項概率可使用泊松分布的概率函數(shù)值來近似，泊松分布在n值較大時的計算相比二項分布更加簡單，可以減少一定的計算量。

無論是否采取多批次生產(chǎn)，恰好猜中1個兌獎碼的概率為

此時對 P(λ)求導(dǎo)：

由此可知，唯一的駐點λ0=1，即np=1。當(dāng)λ＜λ0時（即 np＜1時），P′(λ)＞0，而當(dāng)p＞ λ0時（即 np＞1時），P′(p)＜0 ，由此可說明［8］：

結(jié)論4 當(dāng)k=1時，P(λ0=1)是 P(λ)上的一個最大值，并且在np＜1時遞增，在np＞1時遞減。

根據(jù)這個結(jié)論4和結(jié)論6，可以首先計算nxp1的值，如果小于1，那么為了使采用多批次生產(chǎn)后能 使 P2(k=1)≤P1(k=1)，只 需 nxp2≤nxp1，即可使m=2，3，4，…，C，即批次數(shù)量值從2到總產(chǎn)量值C都可以滿足條件。

結(jié)論5 現(xiàn)在考慮當(dāng)猜中的兌獎碼個數(shù)為k（2≤k≤nx）時，當(dāng)滿足 P2(k=1)≤P1(k=1)時，是否仍然能使P2≤P1。結(jié)論是肯定的。

證明如下：

綜上，可以得出當(dāng)nxp1≤1時，批次數(shù)量值范圍為[2 ， C ]上的所有整數(shù)。

現(xiàn)在考慮當(dāng)nxp1＞1時的情況，將結(jié)論4、結(jié)論5和使用二項分布的結(jié)論2、結(jié)論3進行類比，可以發(fā)現(xiàn)接下來的流程和使用二項分布完全一致。這里不再贅述。

綜上這就是當(dāng)n≥10并且p1≤0.1時，使用泊松分布的批次數(shù)量值選值的主要流程。

5 基于C#和Math.Net庫實現(xiàn)多批次生產(chǎn)的批次數(shù)量值選值算法

根據(jù)第3節(jié)的批次數(shù)量值選值的流程，現(xiàn)在使用C#語言和Math.Net庫通過計算機程序來實現(xiàn)該批次數(shù)量值的選值算法。Math.Net是.Net平臺上一款開源的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具箱，主要分為幾個子項目，其中的Math.Net Numerics的核心功能是數(shù)值計算，主要是提供日?？茖W(xué)工程計算相關(guān)的算法，包括一些特殊函數(shù)，線性代數(shù)，概率論，隨機函數(shù)，微積分，插值，最優(yōu)化等相關(guān)計算功能［9］。另外程序?qū)⒒赪PF 技術(shù)，WPF（Windows Presentation Foundation）是基于。Net的新一代界面開發(fā)平臺［10］，商家用戶可以方便地在界面上進行相關(guān)輸入操作，輸入生產(chǎn)總產(chǎn)量、兌獎碼長度、猜測嘗試最大次數(shù)之后，可得出相應(yīng)的批次數(shù)量值范圍，商家可根據(jù)實際的生產(chǎn)情況綜合考慮，決定最后的批次數(shù)量值。

調(diào)用Math.net其中的Binomial和Poisson類，可以非常方便地進行相應(yīng)的二項分布和泊松分布的概率函數(shù)值計算。

調(diào)用Poisson類：

Poisson newPoi=new Poisson（oldLambda/currentTryBatch?Number）；

double newP=newPoi.Probability（1）；

調(diào)用Binomial類：

Binomial newBin=new Binomial（oldp/currentTryBatchNum?ber，n）；

double newP=newBin.Probability（1）；

另外根據(jù)第3節(jié)的論述，在查找一個最小的能使 P2(k=1)≤P1(k=1)的批次值m1的過程中，根據(jù)第3節(jié)的結(jié)論2和結(jié)論4，P(k=1)在np＜1時是遞增的，也就是有序的，而在有序數(shù)列中二分查找最為常用［11］，因此可以使用二分查找，可以極大提升查找的效率。代碼如下：

///＜summary＞

///二分查找法確定最小的批次數(shù)量值使P（k=1）小于原來

///＜/summary＞

///＜param name=“oldP1”＞p，即未采用多批次生產(chǎn)，猜中兌獎碼的概率＜/param＞

///＜param name=“oldLambda”＞np，n為嘗試次數(shù)＜/param＞

///＜param name=“startNum”＞當(dāng)前查找的批次數(shù)量值的下界＜/param＞

///＜param name=“endNum”＞當(dāng)前查找的批次數(shù)量值的上界＜/param＞

///＜returns＞＜/returns＞

private int PoiSelectFirstCorrectBatchNumber（double oldP1，double oldLambda，int startNum，int endNum）

｛

int currentTryBatchNumber=（startNum+endNum）/2；//確定用于比較的折半點

Poisson newPoi=new Poisson（oldLambda/currentTry?BatchNumber）；

double newP=newPoi.Probability（1）；//計算泊松分布的概率函數(shù)值P（k=1），即當(dāng)np=oldLambda時猜中一個兌獎碼的概率

Poisson newPoiCheck=new Poisson（oldLambda/（currentTryBatchNumber-1））；

double newPCheck=newPoiCheck.Probability（1）；

if（newP ＜=oldP1）//使用 currentTryBatchNumber作為批次數(shù)量值，P（k=1）是否小于原來

｛

if（newPCheck ＞ oldP1）//使 用 currentTryBatch?Number-1作為批次數(shù)量值，P（k=1）是否大于原來

｛

return currentTryBatchNumber；//說 明 current?TryBatchNumber是一個符合要求的最小的批次數(shù)量值，返回

｝

else

｛

endNum=currentTryBatchNumber-1；//說明可以找到比currentTryBatchNumber更小的符合要求的批次數(shù)量值

PoiSelectFirstCorrectBatchNumber（oldP1， old?Lambda，startNum，endNum）；//繼續(xù)查找

｝

｝

else

｛

startNum=currentTryBatchNumber+1；//該 cur?rentTryBatchNumber不符合要求，過小

PoiSelectFirstCorrectBatchNumber（oldP1，oldLamb?da，startNum，endNum）；//繼續(xù)查找

｝

return 0；

｝

整個程序的流程如下（使用二項分布和泊松分布的流程一致，這里的流程不再作出）：

圖2 批次數(shù)量值選值算法流程圖

該批次數(shù)量值的選值算法主要優(yōu)勢在于：

1）較好的時間復(fù)雜度。二項分布的計算有時相當(dāng)麻煩，計算量相當(dāng)大［12］。在最大嘗試次數(shù)和猜中兌獎碼的概率符合相應(yīng)條件的情況下，使用泊松分布來近似二項分布的概率函數(shù)值以簡化計算，對嘗試次數(shù)和猜中兌獎碼的概率的乘積進行預(yù)先判斷，時間復(fù)雜度最高不超過O（N2），最短只需O（1）。在查找最小符合要求的批次數(shù)量值時使用了二分查找，也大大優(yōu)化了算法的時間效率。

2）較好的空間復(fù)雜度。如果合適的批次數(shù)量值存在，根據(jù)第3節(jié)的論述，最后的批次值為C或[2 ， C ]或[m1，C ]，對于 [2 ， C ]或[m1，C ]，只用一個最小的批次數(shù)量值2或者m1存儲結(jié)果，實質(zhì)表示從2或者m1到總產(chǎn)量值C的一個范圍，極大減少了內(nèi)存占用。

該批次數(shù)量值的選值算法主要局限性在于：

1）程序要求商家用戶輸入嘗試猜測次數(shù)的最大值nx，理想情況下，計算得出的批次數(shù)量值可使當(dāng)嘗試猜測兌獎碼次數(shù)分別為1，2，3，…，nx時，猜中k（1≤k≤nx）個兌獎碼的概率降低。但根據(jù)圖2，在嘗試猜測兌獎碼次數(shù)分別為 nx，nx-1，nx-2，…，nx-i（0≤i≤nx-1）時，符合要求的批次數(shù)量值可能不存在，得出的批次數(shù)量值只能滿足部分嘗試次數(shù)下，猜中k個兌獎碼的概率降低。

表1為程序運行的部分結(jié)果。

表1 批次數(shù)量值選值算法程序的部分運行結(jié)果

6 結(jié)語

本文指出了現(xiàn)在電子兌獎方案中存在某些人猜測兌獎碼假冒兌獎的風(fēng)險，計算了采用多批次生產(chǎn)后，某個時刻猜中兌獎碼的概率，并指出了該概率和兌獎碼長度、生產(chǎn)總產(chǎn)量和生產(chǎn)批次數(shù)量之間的關(guān)系。

另外，本文指出了多批次生產(chǎn)也并非毫無缺點，批次數(shù)量的取值問題是很重要的。某些批次數(shù)量值可能導(dǎo)致某些人利用計算機腳本程序進行海量嘗試兌獎碼時，猜中某些個數(shù)的兌獎碼的概率反而提高了，并利用了一款免費的數(shù)學(xué)軟件Octave通過繪圖說明了該問題。

對此，本文進一步提出了一種計算合適批次數(shù)量值范圍的算法，算法根據(jù)二項和泊松分布來計算相關(guān)的概率函數(shù)值，并利用了二分查找、二項分布和泊松分布相關(guān)的單調(diào)特性優(yōu)化了算法，使算法具有較好地時間和空間復(fù)雜度，并且最后使用C#編程語言和。Net平臺的一款開源數(shù)學(xué)工具Math.Net實現(xiàn)了該批次數(shù)量值選值算法，該算法能夠在商家決定生產(chǎn)批次數(shù)量時提供一個批次數(shù)量值的區(qū)間范圍，雖然算法存在一定局限性并且仍然無法完全杜絕某些人通過猜測兌獎碼假冒兌獎的情況，但可以大大降低這種情況的發(fā)生，切實為商家減少經(jīng)濟損失。

［1］ 鄧 路 沙.一 種 驗 證 兌 獎 信 息 系 統(tǒng)［P］.中 國 ，CN202472742U，2010-10-03.DENG Lusha.Verification award converting information system［P］.China，CN202472742U，2010-10-03.

［2］牛玉山，王培元，段清泉.一種發(fā)票自助兌獎的方法［P］.中國，CN103150806A，2013-06-12.NIU Yushan，WANG Peiyuan，DUAN Qingquan.Method of invoice self-service cashing ［P］. China，CN103150806A，2013-06-12.

［3］唐西林，郭海艮.一種基于彩票內(nèi)容保護的電子彩票方案 的 改 進［J］.計 算 機 應(yīng) 用 研 究 ，2009，26（4）：1506-1508.TANG Xilin，GUO Haigen.Improvement of electronic lot?tery scheme based on protecting content of lotteries［J］.Application Research of Computers，2009，26（4）：1506-1508.

［4］周娟，曾輝，柴亞輝，等.一種有效安全驗證的彩票銷售兌獎方法［P］.中國，CN101894343A，2010-11-24.ZHOU Juan，ZENG Hui，CHAI Yahui，et al.Effective and safe verification-based lottery ticket sale and prize ex?change method ［P］. China， CN101894343A，2010-11-24.

［5］小林道正.概率·統(tǒng)計［M］.盧煒俊，譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)文獻出版社，2014：4-5.Kobayashi Masae.Probability·Statistics［M］.Translated by LU Weijun.Shanghai：Shanghai Scientific&Technical Publishers，2014：4-5.

［6］同濟大學(xué)概率統(tǒng)計教研組.概率統(tǒng)計（第三版）［M］.上海：同濟大學(xué)出版社，2004：24-94.Teaching and research group of probability and statistics at Tongji University.Probability and statistics（Third edi?tion）［M］.Shanghai：Tongji University Press，2004：24-94.

［7］Neeraj Sharma，Matthias K.Gobbert.A Comparative Evalu?ation of Matlab，Octave，F(xiàn)reemat，And Scilab For Re?search and Teaching ［R］.Technical Report HP?CF-2010-7.

［8］同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.微積分（第二版上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2003：151-153.Department of applied mathematics at Tongji University.Calculus（Second edition，Volume one）［M］.Beijing：High?er Education Press，2003：151-153.

［9］數(shù)據(jù)之巔.開源Math.NET基礎(chǔ)數(shù)學(xué)類庫使用（01）綜合介 紹 ［EB/OL］. http：//www.cnblogs.com/asxinyu/p/4264638.html.Peak of Math.The general introduction of using open-source basic mathematics library Math.Net（01）［EB/OL］.http：//www.cnblogs.com/asxinyu/p/4264638.html.

［10］王媛嬌，孫愷.基于WPF技術(shù)的行情分析軟件設(shè)計與實現(xiàn)［J］.電子設(shè)計工程，2014，22（18）：20-22.WANG Yuanjiao，SUN Kai.Design and implementation of market quotations analysis system based on WPF［J］.Electronic Design Engineering，2014，22（18）：20-22.

［11］鄒國霞，何南.一種改進的二分查找算法［J］.軟件導(dǎo)刊，2010，9（3）：53-55.ZOU Guoxia，HE Nan.An improved binary-search algo?rithm［J］.Software Guide，2010，9（3）：53-55.

［12］汪紅.用普阿松分布逼近二項分布的誤差估計［J］.綿陽師范學(xué)院學(xué)報，1997，（Z1）：16-18.WANG Hong.The error estimate of using Possion distri?bution to approximate Binomial distribution［J］.Journal of Mianyang Normal University，1997，（Z1）：16-18.