知“錯”就改 方能遠(yuǎn)行
——“相似三角形”解題錯因分析與答題指導(dǎo)

李桂松

“相似三角形”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是解決數(shù)學(xué)問題的有效工具.由于這部分內(nèi)容涉及知識點多、相似關(guān)系抽象、對應(yīng)關(guān)系復(fù)雜、比例運算煩瑣、綜合性強等原因，許多同學(xué)在解題過程中錯誤頻發(fā).筆者現(xiàn)列舉幾種常見的典型錯誤予以剖析，希望對同學(xué)們有所幫助.

一、審題不嚴(yán)，造成取舍失誤

例1 已知線段c是線段a、b的比例中項.若a=1，b=2，求c的值.

【錯解】因為線段c是線段a、b的比例中項，所以c2=1×2=2，解得c=± 2.

【錯因】這是由于審題不清、匆忙答題造成的.答題者忽略了題中的關(guān)鍵詞“線段”，將線段與數(shù)字混為一談，未能將不符合題意的負(fù)值舍去.

【答題指導(dǎo)】嚴(yán)謹(jǐn)審題是正確解題的前提條件.解題前同學(xué)們要仔細(xì)研讀，找出題中的關(guān)鍵詞，根據(jù)題意合理取舍，避免不必要的失誤.因為線段c的值為正，所以c=2.

二、關(guān)系錯亂，導(dǎo)致解題錯誤

例2 如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=e.則下列等式成立的是（ ）.

圖1

A.b2=ce B.b2=ac

C.bc=de D.bd=ae

【錯解】因為AB∥CD，所以∠CDB=∠DBA，又因為∠C=∠BDA=90°，所以△CBD∽△DBA，所以，易得bc=de，故選C.

【錯因】本題是相似三角形的條件和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)相似三角形的對應(yīng)關(guān)系.上述錯解中答題者未能找準(zhǔn)兩三角形對應(yīng)的角和邊，列出了錯誤的比例式，導(dǎo)致選錯.

【答題指導(dǎo)】相似三角形對應(yīng)邊成比例，而全等三角形對應(yīng)邊相等，因此相似三角形的對應(yīng)關(guān)系比全等三角形的對應(yīng)關(guān)系更抽象，解題時容易出現(xiàn)對應(yīng)關(guān)系錯亂的現(xiàn)象.本題是根據(jù)“兩角對應(yīng)相等”來說明兩個三角形相似的，所以通過對應(yīng)角的頂點來確定對應(yīng)關(guān)系不失為明智之舉.由∠CDB=∠DBA得頂點D與B對應(yīng)；由∠C=∠BDA=90°得頂點C與D對應(yīng)；所以第三對對應(yīng)點為剩下的點B與點A.這樣易得△CDB∽△DBA，所以比例式的得出便不再困難.

三、判斷失誤，導(dǎo)致錯用性質(zhì)

例3 如圖2，點D、E分別是△ABC邊AB、AC的中點，BE、CD相交于點O.若△ABC的面積為6，則△COE的面積為______.

圖2

【錯因】答題者在△COE與△CDA不具備相似條件的情況下，使用了“相似三角形的面積比等于相似比的平方”.這屬于無視定理使用條件，錯誤發(fā)生在所難免.

【答題指導(dǎo)】在解答相似三角形面積方面的問題時，同學(xué)們首先想到的是“相似三角形的面積比等于相似比的平方”.這是合理的思維，但一定要在具備相似條件的情況下運用.當(dāng)不具備相似條件時，應(yīng)轉(zhuǎn)變思路尋求其他方法，“同高不同底，面積為底比”就是值得嘗試的方法.如圖3，連接DE，易得DE∥BC且，所以△DOE∽△COB，所以，根據(jù)三角形面積公式易得，即，由點E是AC的中點得6=3，所以S△COE=1.

圖3

四、理解不透，引起結(jié)果漏解

例4 如圖4，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm.點P以2cm/s的速度從點B出發(fā)向點A運動；同時，點Q以1cm/s的速度從點A出發(fā)向點D運動，當(dāng)其中一個點到達終點，另一個點也停止運動.請問幾秒時△APQ與△BCP相似？

圖4

【錯解】設(shè)運動時間為t秒，則BP=2t，AP=8-2t，AQ=t.因為△APQ與△BCP相似，所以，解得，所以 時△APQ與△BCP相似.

【錯因】由于答題者沒有正確理解“相似”與“∽”的區(qū)別，將“△APQ與△BCP相似”的對應(yīng)關(guān)系單一化處理，導(dǎo)致答案漏解.

【答題指導(dǎo)】正確理解“相似”與“∽”的區(qū)別是避免漏解的前提條件.“△APQ∽△BCP”有確定的對應(yīng)關(guān)系，而“△APQ與△BCP相似”中的對應(yīng)關(guān)系不確定，需要分類討論.許多同學(xué)在解答類似問題時，思維容易受到題目中已有圖形的影響，就圖答題，出現(xiàn)漏解現(xiàn)象.因此，同學(xué)們解題時既要借助已有圖形理清題意，又要超越已有圖形，發(fā)散思維，窮盡所有可能.當(dāng)△APQ∽△BCP時當(dāng)△APQ∽△BPC時，有解得 t=-3± 33.又因為 0＜t≤4，所以或（ 33-3）s時，△APQ與△BCP相似.

錯必有因，凡遇出錯，我們不能總是以“粗心”為借口，只有找到錯誤的深層原因并加以糾正，才能避免同樣的錯誤重復(fù)發(fā)生.知“錯”善改，方得始終.愿同學(xué)們善待錯誤，在糾“錯”中一路前行！