這樣的錯誤，你有過嗎？
——一類漏解問題的剖析

唐華金

在平時學(xué)習(xí)過程中，我們或多或少會犯一些令人后悔的錯誤，有的是因?yàn)樗季S上的漏洞，也有的是因?yàn)椤按中摹保芏嗤瑢W(xué)考試過后都很自責(zé).怎樣減少甚至杜絕那些令人惋惜的錯誤的發(fā)生？老師建議大家首先要找出錯誤的背后原因，努力從自身內(nèi)部增強(qiáng)“免疫力”，提高戰(zhàn)斗力！下面通過幾道典型例題進(jìn)行分析，希望大家對照之后認(rèn)真反思.

例1 已知△ABC∽△DEF，若△ABC的邊長分別為5cm，6cm，7cm，而4cm是△DEF中一邊的長度，則△DEF的另外兩邊的長度是________.

【典型錯例】考慮到△ABC∽△DEF，所以其三邊對應(yīng)成比例，設(shè)△DEF的另外兩邊的長分別為x、y，則，解之得

【錯因分析】看到條件“4cm是△DEF中一邊的長度”，自問一下，它是哪一條邊的長度？仔細(xì)一想，4cm的這條邊可能是△DEF三條邊中的任意一條，所以無法確定它與誰對應(yīng)，需要分情況討論.①當(dāng)4cm與5cm對應(yīng)時；②當(dāng)4cm與6cm對應(yīng)時解得：；③當(dāng)4cm與7cm對應(yīng)時解得綜上所述：另外兩邊的長度是老師提醒大家：“當(dāng)題目中的某個條件沒有確定時，一定要注意分類討論.”

例2 如圖1，M是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一定點(diǎn)，過M作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線共有（ ）.

圖1

A.4條 B.3條 C.2條 D.1條

【典型錯例】由于△ABC是直角三角形，所以截得的三角形應(yīng)該也是直角三角形.如圖2，考慮到兩直線平行，同位角相等，所以過點(diǎn)M分別作AB、AC的平行線，交AC、AB于點(diǎn)D、E，則截得的△DMC、△EBM均與△ABC相似.

圖2

【錯因分析】如圖3，若過點(diǎn)M作FM⊥BC，交AC于F，則截得的△CFM也與△ABC相似.很多同學(xué)只考慮了平行截取，沒有考慮到這種情況.事實(shí)上，只要過點(diǎn)M作直線與另一邊相交，所截得的三角形與原三角形一定有一個公共角，再作出一個直角就可以了.在分類思想的指引下，過點(diǎn)M分別作三邊的垂線即可截得，所以這樣的直線共有3條.老師提醒大家：“找與已知三角形相似的三角形要能抓住關(guān)鍵的角.”

圖3

例3 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（4，0）、B（8，2）、C（6，4），已知△A1B1C1的兩個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，3）、（2，5），若△ABC與△A1B1C1位似，則△A1B1C1的第三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為____.

圖4

【典型錯例】如圖5，將點(diǎn)A和坐標(biāo)為（1，3）的點(diǎn)作為對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C和坐標(biāo)為（2，5）的點(diǎn)作為對應(yīng)點(diǎn)，并分別以兩組對應(yīng)點(diǎn)作直線，確定其交點(diǎn)（-2，6）為位似中心，并求得△ABC與△A1B1C1的相似比為2∶1，連接DB即可確定第三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）.

圖5

【錯因分析】只考慮了位似中心在兩個三角形同側(cè)的情況，而未考慮位似中心在兩個三角形之間的情況.如圖6，當(dāng)位似中心在兩三角形之間時，將點(diǎn)A和坐標(biāo)為（2，5）的點(diǎn)作為對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C和坐標(biāo)為（1，3）的點(diǎn)作為對應(yīng)點(diǎn)，并分別以兩組對應(yīng)點(diǎn)作直線，確定其交點(diǎn)為位似中心，并求得△ABC與△A1B1C1的位似比仍為2∶1，同樣的方法求得△A1B1C1的第三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）（也可結(jié)合一次函數(shù)的相關(guān)知識求解），所以第三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）或（0，4）.老師提醒大家：“遇到位似問題一定要考慮位似中心的位置，看是否有兩種情況.”

圖6

例4 在△ABC中，AD是邊BC上的高，AD=2，DB=2，CD=23，求∠BAC的度數(shù).

【典型錯例】如圖7，△ABC的高AD將其分成兩個特殊的三角形：等腰直角三角形ADB和含30°的直角三角形 ACD，∠BAC=∠BAD+∠CAD=105°.

圖7

【錯因分析】錯例中只考慮了三角形的高在其內(nèi)部時的情況，未考慮三角形的高在其外部時的情況，導(dǎo)致漏解.如圖8，當(dāng)△ABC的高AD在其外部時（垂足落在CB延長線上），∠BAC=∠CAD-∠BAD=60°-45°=15°，所以∠BAC的度數(shù)為 105°或 15°.老師提醒大家：“題目無圖要當(dāng)心，都是無圖惹的禍！”

圖8

我們在做任何題目時都不能掉以輕心，平時要多總結(jié)，多反思，查處每一次漏解的原因，養(yǎng)成認(rèn)真審題、全面思題、嚴(yán)謹(jǐn)做題的好習(xí)慣！