圓的知識考查

成曉明

圓的知識是初中數(shù)學(xué)知識中的一個重要組成部分，也是中考必考知識點(diǎn).縱觀各地中考試卷中對圓的知識的考查，主要體現(xiàn)在以下三個方面：一是重視圓的核心基礎(chǔ)知識的考查，二是重視圓中數(shù)學(xué)思想方法的考查，三是重視圓與其他知識的整合考查.現(xiàn)結(jié)合具體考題進(jìn)行分析點(diǎn)評，希望能對同學(xué)們系統(tǒng)復(fù)習(xí)有所幫助.

一、圓的核心基礎(chǔ)知識

例1 （2017·南通）如圖1，圓錐的底面半徑為2，母線長為6，則側(cè)面積為_____.

圖1

【解答】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式有：πrl=π×2×6=12π.

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓錐側(cè)面積公式S錐側(cè)=πrl.

例2 （2017·南通）已知∠AOB，作圖.步驟1：在OB上任取一點(diǎn)M，以點(diǎn)M為圓心，MO長為半徑畫半圓，分別交OA、OB于點(diǎn)P、Q；步驟2：過點(diǎn)M作PQ的垂線交于點(diǎn)?C；步驟3：畫射線OC.則下列判斷：①；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正確的個數(shù)為（ ）.

圖2

A.1 B.2 C.3 D.4

【解答】∵OQ為直徑，∴OA⊥PQ.

∵M(jìn)C⊥PQ，

∴OC平分∠AOB，結(jié)論①④正確.

∵∠AOB的度數(shù)未知，∠POQ和∠PQO互余，

∴∠POQ不一定等于∠PQO，

∴OP不一定等于PQ，結(jié)論③錯誤.

綜上所述：正確的結(jié)論有①②④.故選C.

【點(diǎn)評】本題考查了尺規(guī)作圖、圓周角定理以及垂徑定理等知識，熟練運(yùn)用這些知識進(jìn)行分析、判斷是正確解題的關(guān)鍵.

例3 （2017·徐州）如圖3，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，線段OA與弦BC垂直，垂足為D，AB=BC=2，則∠AOB=______°.

圖3

【解答】∵OA⊥BC，BC=2，

∴∠A=30°.

∵AB切⊙O于點(diǎn)B，

∴∠ABO=90°，

∴∠AOB=60°.

【點(diǎn)評】本題主要考查圓的切線性質(zhì)、垂徑定理和特殊角的三角函數(shù)值.

二、圓中數(shù)學(xué)思想方法

圓中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法眾多，如分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程思想等，尤其是分類討論的數(shù)學(xué)思想和方程思想的應(yīng)用最為廣泛.

例4 （2012·廣元）平面上有⊙O及一點(diǎn)P，P到⊙O上一點(diǎn)的距離最長為6cm，最短為2cm，則⊙O的半徑為_______cm.

【解答】當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，則直徑=6+2=8，所以半徑是4cm；

當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，直徑=6-2=4，所以半徑是2cm.

綜上：⊙O的半徑為4或2cm.

【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵是要對點(diǎn)和圓的位置關(guān)系分點(diǎn)在圓內(nèi)和點(diǎn)在圓外兩種情況考慮.

例5 （2013·蘭州）如圖4是一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水面AB寬為8cm，水面最深地方的高度為2cm，則該輸水管的半徑為________cm.

圖4

圖5

【解答】如圖4所示：過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，連接OA，

∵OD⊥AB，

設(shè)OA=r，則OD=r-2，

在Rt△AOD中，r2=（r-2）2+42，解得r=5.

【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意過圓心作弦的垂線是常用輔助線，利用方程是解決此題的關(guān)鍵.

例6 （2017·鹽城）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點(diǎn)D，AE平分∠BAC交邊BC于點(diǎn)E，經(jīng)過點(diǎn)A、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上，⊙F與y軸相交于另一點(diǎn)G.（1）求證：BC是⊙F的切線；（2）若點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半徑；（3）試探究線段AG、AD、CD三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接EF，

∵AE平分∠BAC，

∴∠FAE=∠CAE，

∵FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA，

∴∠FEA=∠EAC，

∴FE∥AC，

∴∠FEB=∠C=90°，

即BC是⊙F的切線.

（2）連接FD，設(shè)⊙F的半徑為r，

（3）AG=AD+2CD.證明：

王莉娜[15]認(rèn)為，雖然碑學(xué)觀念在“揚(yáng)州八怪”那里還沒有形成完整的體系，無論在筆法上，還是在理論上均沒有臻于成熟與完善，但事實(shí)證明“揚(yáng)州八怪”已經(jīng)受到碑學(xué)的深刻影響。在“揚(yáng)州八怪”書風(fēng)中，特別是以“拙”、“古”、“厚”為突出特征并體現(xiàn)于諸位書家的藝術(shù)風(fēng)格中的事實(shí)，表明了其特點(diǎn)均源于碑學(xué)，他們不計(jì)較技法的完美與精細(xì)，重要的是追求精神與神采，表現(xiàn)出“大巧若拙”之美。打破了清以來帖學(xué)衰弱的僵化模式，從而最終成就了“揚(yáng)州八怪”這股丑拙的書風(fēng)。

作FR⊥AD于R，則∠FRC=90°，

又∠FEC=∠C=90°，

∴四邊形RCEF是矩形，

∴EF=RC=RD+CD，

∵FR⊥AD，

∴AR=RD，

【點(diǎn)評】本題考查切線的判定、垂徑定理的應(yīng)用、矩形的判定和性質(zhì)等知識，掌握切線的判定定理和領(lǐng)悟方程思想是解題的關(guān)鍵.

三、圓與其他知識的整合

將圓的知識與三角形的全等、相似、四邊形、解直角三角形、函數(shù)等知識的有機(jī)整合是中考命題的熱點(diǎn)，這類題很好地考查同學(xué)們的綜合解題能力.

例7 （2017·無錫）如圖6，菱形ABCD的邊AB=20，面積為320，∠BAD＜90°，⊙O與邊AB，AD都相切，AO=10，則⊙O的半徑長等于________.

圖6

【解答】如圖6，作DH⊥AB于H，連接BD，延長AO交BD于E.

∵菱形ABCD的邊AB=20，面積為320，

∴AB·DH=320，∴DH=16，

在Rt△ADH中，

∴HB=AB-AH=8，

在Rt△BDH中，

設(shè)⊙O與AB相切于F，連接OF.

∵AD=AB，OA平分∠DAB，

∴AE⊥BD，

∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，

∴∠OAF=∠BDH，

∵∠AFO=∠DHB=90°，

∴△AOF∽△DBH，

【點(diǎn)評】本題綜合考查了切線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意合理添加輔助線.