橡膠氣球大小與內(nèi)外壓強(qiáng)差關(guān)系

吳 昕，王雪彬

(南京市金陵中學(xué)，江蘇 南京 210005)

從物理角度來看：肥皂泡在陽光的照射下，肥皂泡的里外表面反射的光發(fā)生干涉引起顏色變化[1]，而色澤的變幻莫測(cè)與重力下的液體的分布改變以及表面液體揮發(fā)狀態(tài)有關(guān)． 吹肥皂泡要用力，在肥皂泡的形成過程中做功，根據(jù)功能轉(zhuǎn)化原理，肥皂泡的形成過程有能量的積累[2],肥皂泡積累的能量是表面能，肥皂泡的膜面上存在著支撐肥皂泡的表面張力． 肥皂泡因?yàn)楹茈y控制和測(cè)量，因此用氣球來作為研究對(duì)象． 為了更好地了解實(shí)際的氣球內(nèi)外的壓力差和半徑之間關(guān)系，本文進(jìn)行了相關(guān)的實(shí)驗(yàn)和理論定量分析．

1 橡膠氣球連通實(shí)驗(yàn)

因?yàn)楸砻鎻埩Φ淖饔?，液體球面凹面一側(cè)的壓強(qiáng)應(yīng)大于凸面一側(cè)的壓強(qiáng)．在此情況下，液面兩側(cè)的壓強(qiáng)差Δp與表面張力系數(shù)α成正比，與曲率半徑R成反比，即

Δp=2α/R.

(1)

(1)式是球面膜的拉普拉斯定律[2]． 對(duì)于肥皂泡來說，有內(nèi)外2個(gè)液體-空氣界面，都滿足凹面一側(cè)的壓強(qiáng)總是大于凸面一側(cè)的壓強(qiáng)，因此，肥皂泡內(nèi)外的壓強(qiáng)差是單個(gè)膜面壓強(qiáng)差的2倍，即

Δp=p2-p0=4α/R.

(2)

比較好的演示實(shí)驗(yàn)是一大一小2個(gè)氣球，用連通器連在一起，一般想應(yīng)該是2個(gè)球變成一樣大，但實(shí)際并非如此． 圖1中2個(gè)氣球，紅色大一些的氣球直徑約為16.6 cm，藍(lán)色小一些的氣球直徑約為13.8 cm，把它們用硬管和軟管連起來，打開中間的夾子，可以發(fā)現(xiàn)，紅色的氣球變大最終直徑約為19.3 cm，藍(lán)色的氣球變小最終直徑約為5.6 cm．

(a)連通前

(b)連通后圖1 氣球連通器的實(shí)驗(yàn)

該實(shí)驗(yàn)大致驗(yàn)證了球面膜的拉普拉斯定律，但是，藍(lán)色球也并未完全縮到自然尺寸2.4 cm(該氣球正常狀態(tài)下平鋪時(shí)中間的長(zhǎng)度約為7.5 cm，因此計(jì)算出常壓下周長(zhǎng)約為15 cm，計(jì)算出氣球此時(shí)直徑約為2.4 cm)． 而且，并不是所有的實(shí)驗(yàn)都出現(xiàn)大球變大小球變小的情況，在球的直徑較大的情況下，有時(shí)沒有發(fā)現(xiàn)明顯的球半徑的變化，甚至有時(shí)出現(xiàn)大球變小、小球變大的情況．

2 橡膠氣球?qū)嶋H內(nèi)外壓力差的測(cè)量

為了量化得到氣球內(nèi)外的壓強(qiáng)差Δp和直徑d之間的關(guān)系，設(shè)計(jì)的定量測(cè)量實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示．將吹好的氣球連在軟管做成的連通器一端，軟管內(nèi)注入一定量的滴有墨水的水，方便測(cè)量左右軟管中的水柱高度差Δh，得到氣球和外界大氣的壓強(qiáng)差Δp． 1 cm的水柱大約相當(dāng)于100 Pa．

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

通過與氣球連接的三通的一端放氣，使得氣球直徑逐漸減小，在這個(gè)過程中同時(shí)測(cè)量氣球的直徑和連通器兩側(cè)的水柱高度差，得到連通器左右液面高度差隨氣球直徑的變化關(guān)系，測(cè)量數(shù)據(jù)如圖3所示．

圖3 不同氣球測(cè)量得到的壓強(qiáng)差Δp與直徑d關(guān)系

氣球1～3的材質(zhì)相同，為質(zhì)量稍好的氣球，它們的結(jié)果比較一致；而氣球4則質(zhì)量較差． 通過圖3可以看到氣球內(nèi)外氣壓差Δp從氣球開始處于未拉升的正常狀態(tài)，隨著半徑變大即充氣內(nèi)外強(qiáng)力差急劇增大(此范圍在實(shí)驗(yàn)中非常難測(cè)量，因?yàn)楹苄〉闹睆阶兓瘯?huì)造成很大的壓強(qiáng)差升高)． 當(dāng)直徑增加到一定范圍后壓強(qiáng)差又會(huì)逐漸減小，在這一中間范圍(對(duì)于氣球1～3大致為7～17 cm)大致滿足球面膜的拉普拉斯定律，而質(zhì)量較差的氣球4在該區(qū)域內(nèi)隨著直徑增加壓強(qiáng)減小得不明顯． 圖1氣球連通器實(shí)驗(yàn)中所用的質(zhì)量較好的紅色氣球直徑約為16.6 cm，藍(lán)氣球直徑約為13.8 cm，剛好大致滿足球面膜的拉普拉斯定律的直徑范圍內(nèi)，因此出現(xiàn)了大球變大、小球變小的現(xiàn)象． 但是如果球直徑繼續(xù)增加，不再滿足球面膜的拉普拉斯定律，即隨著氣球的增加，內(nèi)外壓強(qiáng)差會(huì)增加，因此對(duì)于氣球連通器實(shí)驗(yàn)，當(dāng)大球吹得更大到達(dá)20 cm以上，不一定出現(xiàn)大球變大小球變小的現(xiàn)象，最終的狀態(tài)會(huì)更加復(fù)雜．

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果討論與模擬

上述實(shí)驗(yàn)，相對(duì)簡(jiǎn)單，有些問題沒有考慮，比如：氣球其實(shí)是個(gè)橢球，但在測(cè)量氣球的直徑過程中，只測(cè)量了氣球橫向的直徑，作為標(biāo)準(zhǔn)的球；氣球在吹氣口那段無法從理論模型放到結(jié)果中去，但通常這一部分的橡膠會(huì)隨著氣球的增大，少量地進(jìn)入到氣球的總體薄膜里面去；氣球的材質(zhì)是橡膠，拉和縮的性質(zhì)不一定可逆，在這個(gè)過程中可能吹氣到某個(gè)直徑或者放氣到某個(gè)直徑對(duì)應(yīng)的內(nèi)外壓強(qiáng)差不同，當(dāng)然因?yàn)橄鹉z疲勞等原因，第二次測(cè)量和第一次也可能不同． 但上述問題不妨礙本實(shí)驗(yàn)作為定性而非準(zhǔn)確定量的實(shí)驗(yàn)研究氣球的吹氣問題[3-4]．

假設(shè)橡膠氣球是各向同性的球形薄膜，即不考慮氣球的不規(guī)則性或者氣球扎口部分的影響． 考慮到形變的氣球的某個(gè)過球心的圓切面，球面橡膠形變的彈力提供橡膠薄膜的“表面張力”． 假設(shè)均勻橡膠氣球的單位長(zhǎng)度的彈力密度為T，該彈力和液面膜的表面張力系數(shù)α量綱相同，在某個(gè)(如圖4所示)截面，膜面1周對(duì)應(yīng)的彈力密度在該平面的分量為Tsinθ，根據(jù)截面的壓力與彈力平衡關(guān)系，可以得到：

Tsinθ·2πRsinθ=ΔR·π(Rsinθ)2，

(2)

即

2T=Δp·R.

(3)

圖4 標(biāo)準(zhǔn)球形氣球內(nèi)外壓強(qiáng)差的計(jì)算

(3)式的推導(dǎo)和球面膜的拉普拉斯定律推導(dǎo)過程[2]基本相同，結(jié)果在形式上也完全相同． 但是實(shí)際上，橡膠氣球薄膜是彈性較大的固體材料，和液體球的表面有很大的區(qū)別． 液體的表面張力不牽涉到內(nèi)部液體的貢獻(xiàn)，僅由液體和空氣接觸的介面?zhèn)€數(shù)有關(guān)，因此作為單位長(zhǎng)度的表面張力——表面張力系數(shù)和構(gòu)成表面的液體厚度理論上沒有關(guān)系． 而對(duì)于固體彈性薄膜來說，應(yīng)力σ——分布在單位截面上的彈性力——才是材料受力更基本的量度，而應(yīng)力和單位長(zhǎng)度彈力密度T之間剛好相差厚度δ，即T=σδ． 在氣球直徑變大的過程中，因?yàn)闅馇蚺蛎浵鹉z膜厚度變小，與液體表面張力系數(shù)對(duì)應(yīng)的T在橡膠氣球中同時(shí)受到應(yīng)力和厚度的影響，變化關(guān)系會(huì)非常復(fù)雜. 因此實(shí)際測(cè)量的橡膠氣球內(nèi)外壓強(qiáng)差和球面(液)膜的拉普拉斯定律不一致是可以理解的．

σ=E(λ-1).

(4)

(5)

(a)

(b)圖5 應(yīng)力和氣球壓力差隨約化半徑的關(guān)系

因此可以斷定，氣球的橡膠一定不滿足胡克定律，即橡膠不是普通的固體材料，應(yīng)變可以達(dá)到自身體積的百倍，楊氏模量數(shù)值也非常小即它很容易發(fā)生形變． 考慮到橡膠是高分子材料，那么熵彈性可以作為形變應(yīng)力的主要來源． 在只考慮熵的貢獻(xiàn)和彈性，不考慮黏性和構(gòu)象能，并在其體積保持不變的情況下，可以基于網(wǎng)鏈交聯(lián)的理論[6]得到其應(yīng)力和約化形變的關(guān)系

(6)

當(dāng)形變量較大時(shí)，1/λ2基本可以忽略，因此和(4)式的結(jié)果類似． 而實(shí)際測(cè)量的橡膠材料得到的應(yīng)力和約化形變的關(guān)系非常復(fù)雜，如圖5(a)的紅色虛線所示，偏離理論關(guān)系的原因可能是大的形變下有無效的松鏈以及應(yīng)力誘導(dǎo)結(jié)晶的存在[6]，使得材料偏離理想網(wǎng)絡(luò)的模型． 基于橡膠材料的應(yīng)力和約化形變的關(guān)系，可以得到圖5(b)紅色虛線所示的壓強(qiáng)差和約化半徑的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)該曲線和實(shí)驗(yàn)的結(jié)果非常吻合，因此隨著半徑增大，氣球內(nèi)外壓強(qiáng)差后面又升高的情況是由大形變下氣球橡膠材料的性質(zhì)所決定． 而質(zhì)量較差的氣球4，小半徑范圍內(nèi)半徑增加壓強(qiáng)差減小的情況不明顯，應(yīng)該和橡膠質(zhì)量較差有關(guān)．

4 結(jié)束語

球面液膜的拉普拉斯定律指出，在理想情況下液體氣泡內(nèi)外壓強(qiáng)差應(yīng)該和它的半徑成反比． 但是對(duì)于橡膠氣球，實(shí)驗(yàn)表明氣球內(nèi)外壓強(qiáng)差隨著半徑的變化非常復(fù)雜，先隨著半徑增加迅速增加，再慢慢降低，再到逐漸增加． 在氣球中，表面張力是由氣球橡膠模的形變產(chǎn)生，所以和液體膜有很大差別，通過對(duì)材料形變和彈力的關(guān)系的理解，定量理解了氣球的內(nèi)外壓強(qiáng)差隨直徑變化這一復(fù)雜的關(guān)系．

致謝：感謝金陵中學(xué)“準(zhǔn)博士培養(yǎng)站”項(xiàng)目的支持和南京大學(xué)楊歡教授提供的幫助！

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