緊致類空子流形Schrodinger算子的第一特征值

張燕朋

黎曼空間形 Mn+1(c)中具有常平均曲率的超曲面是變分意義下面積函數(shù)的臨界點(diǎn)。J.L.M.Barbosa等［1］研究了黎曼流形中具有常平均曲率超曲面的穩(wěn)定性，但沒(méi)有考慮具有常數(shù)量曲率的超曲面是否也具有類似的穩(wěn)定性。H.Alencar等［2］研究了黎曼流形中具有常數(shù)量曲率的超曲面的穩(wěn)定性。WU CX［3］利用Schrodinger算子研究了單位球中緊致極小浸入子流形，獲得了該類空子流形的一些譜特征值。 A.A.Barros等［4］對(duì)文獻(xiàn)［3］中的結(jié)論進(jìn)行了推廣，在歐氏球 Sn+p中具有平行平均曲率向量的緊致子流形上引入Schrodinger算子L = Δ + V （ V 是依賴于n、p和h的量），得出了關(guān)于算子L的第一特征值 μ1的一個(gè)間隙定理，證明了結(jié)論μ1=0或μ1≤-(1+H2)。該間隙定理同樣適用于球、Chfford 環(huán)和 Veronese 曲面。 J.L.M.Barbosa 等［5］和LIU X M等［6］分別研究了Lorentz流形中具有常平均曲率或常數(shù)量曲率的類空超曲面的穩(wěn)定性。目前，關(guān)于de Sitter空間 Spn+p(c)中具有常平均曲率或常數(shù)量曲率的類空子流形方面的研究已開展得比較普遍，但關(guān)于類空子流形譜方面的研究還比較有限。在本文中，筆者引入兩個(gè)Schrodinger算子和并通過(guò)對(duì)和LR的第一特征值的估計(jì)獲得了該類空子流形的一些譜特征值。

由于類空子流形具有特殊的性質(zhì)， LH和 LR的定義與文獻(xiàn)［4］中Schrodinger算子的定義是不相同的，在類空子流形下， LH和 LR的第一特征值具有特殊形式。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè) Spn+p(c)是常截面曲率為 c ( c ＞0)、指標(biāo)為p的n + p維de Sitter空間， Mn是浸入 Spn+p(c)中的n維黎曼子流形。選取適當(dāng)?shù)木植總卫杪?guī)范正交標(biāo)架場(chǎng) e1, e2,L ,en+p使得 e1, e2,L ,en切于M。在以下敘述和證明中，做如下約定：1 ≤ A, B, C , D ≤ n+ p;1≤i, j, k, l ≤ n ; n + 1 ≤ α ,β≤n + p。

設(shè) { ωA}和 {ωAB}分別為 { eA}的對(duì)偶形式和聯(lián)絡(luò)1-形式，則有如下 Spn+p(c)的結(jié)構(gòu)方程：

在 Mn上 限 制 ωα=0，則 由Cartan引 理 可 得因此，可以得到 Mn的結(jié)構(gòu)方程

設(shè) Rijkl、 Rik、 Rαβij和 R分別表示 Mn的曲率張量分量、Ricci曲率張量分量、法曲率張量分量和標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量曲率，則有

設(shè) Mn的第二基本形式平均曲率向量平均曲率H=第二基本形式模長(zhǎng)平方的一階和二階協(xié)變導(dǎo)數(shù)分量分別為和 hαijkl，且

Codazzi方程和Ricci恒等式分別為

定義 hαij的 Laplacian運(yùn)算 為 Δ結(jié)合式（4）和式（5）可知，對(duì)任意的 α ，有

選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)架場(chǎng)，使得 H =Hen+1,則有nH=且對(duì)任意的

若用 Hα表示矩陣，則有

其中 α ≠ n +1。

若Φα表示矩陣 [Φiαj]，則有

α≠ n + 1 ，且對(duì)任意的 α ，有

因此，有

并且

當(dāng) Mn具有平行單位平均曲率向量時(shí)，利用式（1）、式（3）、式（6）和式（7）直接計(jì)算，可得

上式中的 N ( g)表示為以下含義：對(duì)于任一矩陣A，記N ( A) = tr(A AT),其中 AT表示矩陣 A 的轉(zhuǎn)置矩陣。

為了便于主要結(jié)論的證明，給出 W 算子的定義及幾個(gè)相關(guān)的引理。

定義1［7］：設(shè)是 Mn上的 Codazzi張量場(chǎng)，定義Φ 的 W 算子為

引理1［8］：設(shè)A和B是 Rn→Rn的對(duì)稱線性映射，且滿足 A B = BA 和 tr A = t r B =0，則有

引理2：設(shè) Mn是de Sitter空間(c)中具有常標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量曲率 R ( R ＜ c)的類空子流形，則有

引理3：設(shè) Mn是de Sitter空間 Spn+p(c)中具有平行單位平均曲率向量及常標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量曲率 R ( R ＜ c)的類空子流形，則有

再根據(jù)式（8）、式（9）和式（10）可以得出

對(duì)Φα和Φn+1應(yīng)用引理1，可得

兩邊對(duì)α 求和，可得

并且有

聯(lián)立式（18）、式（19）和式（20）式可以得出結(jié)論。

引理4：設(shè) Mn是de Sitter空間(c)中具有平行單位平均曲率向量及常標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量曲率 R ( R ＜ c)的類空子流形，則有

證明：由 Mn是具有平行平均曲率向量可知H是常數(shù)，從而有

結(jié)合式（10）可得

又由

及式（15）、式（16）、式（17）、式（23）和式（24）可知

聯(lián)立式（19）、式（20）和式（25）即可得出引理結(jié)論。

引理5：設(shè) Mn是de Sitter空間 Spn+p(c)中的n維類空子流形，則有

證明：固定 eα，設(shè) Φα是 Φ 的第 α 個(gè)分量，選擇標(biāo)準(zhǔn)正交基 {}使其作為Φα對(duì)應(yīng)于特征值 λiα的特征函數(shù)，則有

由Cauchy-Schwarz不等式可得

對(duì)于任意的 α ， 有 t r(Φα) = 0。 對(duì)于固定的指標(biāo)i，有。由Cauchy-Schwarz不等式可以得出

結(jié)合式（26）可得

由式（26）和式（27）可知

故有

2 主要結(jié)論及其證明

定理1： Mn是de Sitter空間 Spn+p(c)中具有平行平均曲率向量的n維緊致定向類空子流形，假設(shè) Mn不是全臍的及 λ1LH是Schrodinger算子 LH的第一特值，則有

證明：由于 Mn是定向的，不妨假設(shè) H ≥0。對(duì)于任意的 ε ＞0，考慮光滑函數(shù)由于 Mn不是全臍的，故有現(xiàn)在把fε作 為測(cè)試函數(shù)來(lái)估計(jì)， 由于

故由引理4和引理5可得

由于 fε是 測(cè)試函數(shù)，故由極大值極小值原理及式（30）可知

當(dāng) ε →0時(shí)，上式可化為

定理2： Mn是de Sitter空間 Spn+p(c)中具有平行單位平均曲率向量及常標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量曲率 R ( ＜ c)的n維緊致定向類空子流形，設(shè) λ1LR是Schrodinger算子 LR的第一特征值，則

證明：由 R ＜ c可知 W 算子是橢圓算子，由n2H2= S + n ( n - 1 ) - ( c - R ) ＞ 0 可知 H ≠0。由 于 Mn是定向的，故可假設(shè) H ＞0。令 f =H，并將其作為測(cè)試函數(shù)估計(jì) λ1LR。由引理4和引理5可得

故有

由極小值極大值原理及式（32）可知

參考文獻(xiàn)：

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