一組類比三角不等式的統(tǒng)一證明

天津水運高級技工學(xué)校

黃兆麟 (郵編：300456)

貴刊文[1]給出并證明了如下六個含余弦函數(shù)的三角不等式:

在△ABC中,設(shè)A,B,C所對的三邊為a,b,c,則有

①

②

③

acosA+bcosB+ccosC

④

a2cosA+b2cosB+c2cosC

⑤

⑥

本文給出能揭示此六個不等式本質(zhì)屬性的統(tǒng)一簡證,供讀者欣賞.

定理在任意△ABC中,若A≥B≥C,k∈(0,1]且當正實數(shù)x,y,z滿足

(*)

而當正實數(shù)x,y,z滿足

(**)

證首先證明不等式(*).

又設(shè)不等式(*)左右之差為M1，那么當x≥y≥z時就有

以上證明過程用到了一個熟知的不等式(可由凸函數(shù)的琴生不等式直接證得)

同理可證定理中的不等式(**)也成立.(由讀者自行完成)

至此知定理成立.下面利用定理分別證明文[1]中的六個不等式①～⑥.

證(1) 由不等式①的全對稱性,不妨設(shè)A≥B≥C,

證(2) 由不等式②的全對稱性,不妨設(shè)A≥B≥C,

證(4) 由不等式④的全對稱性,不妨設(shè)A≥B≥C,

那么此時可取k=1且取x=a,y=b,z=c,應(yīng)用不等式(*)立得不等式(4′)成立.

(4′)

即不等式(4)成立.以上證明過程表明,不等式(4′)強于不等式(4).

證(5) 由不等式⑤的全對稱性,不妨設(shè)A≥B≥C,

那么此時可取k=1且取x=a2,y=b2,z=c2,應(yīng)用不等式(*)立得不等式⑤成立.

從而知不等式(3)也成立.

證(6) 由不等式⑥的全對稱性,不妨設(shè)A≥B≥C,

1 楊續(xù)亮,蘇岳祥.一個三角不等式的類比與證明[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2017(5):76-78