馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布的教學(xué)設(shè)計

宋月 馮海林

摘 要 馬爾可夫鏈?zhǔn)且活愂种匾碾S機過程，是專業(yè)型碩士課程隨機過程的重要內(nèi)容。但是學(xué)生對其的應(yīng)用知之甚少，本文主要探討專業(yè)型碩士課程馬爾可夫鏈平穩(wěn)分布及其應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計，提高學(xué)生解決實際問題的能力。

關(guān)鍵詞 馬爾可夫鏈 平穩(wěn)分布

中圖分類號：G420文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

馬爾可夫鏈?zhǔn)恰峨S機過程》中的重要內(nèi)容，它是馬爾可夫在1906年提出的滿足一定條件即無記憶性的隨機變量序列，前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)家辛欽對這種模型給出了高度的評價，認(rèn)為該模型有很現(xiàn)實的哲學(xué)意義。而馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布又是馬爾可夫鏈的精華所在，幾乎馬爾可夫鏈這一章的所有內(nèi)容：馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率、狀態(tài)分類以及極限理論都是為平穩(wěn)分布做準(zhǔn)備的。平穩(wěn)分布的概念學(xué)生不難理解，也能夠判斷馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布的存在性以及求出相應(yīng)的平穩(wěn)分布，但是對平穩(wěn)分布的應(yīng)用了解甚少，因而更談不上應(yīng)用馬爾可夫鏈這個工具來解決實際問題了。本文主要探討專業(yè)型碩士課程馬爾可夫鏈平穩(wěn)分布及其應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計，提高學(xué)生解決實際問題的能力。

2平穩(wěn)分布的應(yīng)用

例2：（在管理中的應(yīng)用）假設(shè)現(xiàn)在有一個鋼琴商店，在銷售某款鋼琴時采用如下的庫存策略：當(dāng)一天結(jié)束時，如果存貨降到或者更少，就要訂購足夠的產(chǎn)品使得存貨的數(shù)量回到。為了簡單起見，假定補充的貨物發(fā)生在第二天的開始。用表示第天結(jié)束時商店的存貨量，為第天的需求量。由庫存策略知道，如果，則不需要訂貨，第二天的存貨量以架的鋼琴開始銷售，如果需求量，則當(dāng)天結(jié)束時;如果需求量，則當(dāng)天結(jié)束時。如果，則第二天的存貨量以架的鋼琴開始，對可以類似分析。假定采用，的庫存控制策略，況且需求量的分布列為

是不是馬爾科夫鏈，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣是多少？

由問題顯然可知是齊次馬爾科夫鏈，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為

另外，如果，假設(shè)每一架鋼琴，當(dāng)它被售出時可以獲得1200元的利潤，否則每天需花費200元的存貯費用，那么長期來看，這種庫存策略平均每天的利潤是多少？為了獲得最大利潤，應(yīng)該如何選擇s？

當(dāng)，s的選擇只有2，1，0三種情況，分別計算就可以獲得最佳的s。假設(shè)采用2，3庫存策略，即當(dāng)庫存小于等于2架鋼琴時補貨，使得第二天開始時有三架鋼琴的庫存。在這種情況下總是以3架鋼琴開始一天的銷售，此時轉(zhuǎn)移概率矩陣每行都相等，為

這三種策略中1，3策略時最優(yōu)的。

引導(dǎo)學(xué)生思考：如果S和s均未知，可以思考如何確定最優(yōu)的庫存策略呢？

進(jìn)一步指出：利用馬爾可夫模型也可以建立市場占有率和期望利潤的預(yù)測模型;馬爾可夫模型可以應(yīng)用到預(yù)測單支股票的收益、整個證券市場的股指、證券組合的綜合價格與預(yù)期收益;匯率預(yù)測和期權(quán)定價方面，馬爾可夫鏈也大有作為。

馬爾可夫鏈在醫(yī)學(xué)衛(wèi)生領(lǐng)域的應(yīng)用起步較晚，但在近些年取得了較大的進(jìn)展。運用馬爾可夫模型可以預(yù)測疾病的發(fā)病規(guī)律;利用馬爾可夫鏈模型，在逐年分析以往疫情的歷史資料的基礎(chǔ)上，可以預(yù)測今后五年的疫情發(fā)生情況;馬爾可夫理論還可以在藥品生產(chǎn)、炭疽病、黑熱病發(fā)病趨勢預(yù)測上得到有效的應(yīng)用。

例3：（在醫(yī)學(xué)方面的應(yīng)用）統(tǒng)計了某市1980年至1995年腎綜合征出血熱（HFRS）的發(fā)病率分別為（單位：1/10萬）：2.95、6.28、10.28、7.01、7.36、13.78、33.93、35.87、33.40、28.38、30.50、33.79、39.70、30.39、39.70、33.59.嘗試用馬爾可夫鏈模型對疾病發(fā)病情況隨時間序列的變化規(guī)律進(jìn)行分析和研究，預(yù)測疾病的發(fā)展變化趨勢，為預(yù)防和控制疾病提供依據(jù)。

首先根據(jù)資料將發(fā)病率劃分為四個狀態(tài)，統(tǒng)計各數(shù)據(jù)的狀態(tài)歸屬及各狀態(tài)出現(xiàn)的頻率（初始概率），得表1和表2。

由表1可得各狀態(tài)的轉(zhuǎn)移頻率即狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的估計值，從而得模型的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣：

可以做假設(shè)：（1）HFRS下一年的發(fā)病率只與當(dāng)年發(fā)病率有關(guān)，而與過去的發(fā)病率無關(guān);（2）任意時期的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣不變，此時馬爾科夫鏈具有平穩(wěn)分布，因而可用初始分布（4/16，2/16，1/16，9/16），可以用轉(zhuǎn)移概率矩陣為P的馬氏鏈模型來預(yù)測HFRS發(fā)病率未來的情況。

解方程，，得模型的極限概率分布（穩(wěn)態(tài)分布）：（0，0，1/9，8/9）。

分析預(yù)測：由于95年處于狀態(tài)4，比較轉(zhuǎn)移概率矩陣的第4行的四個數(shù)字知最大，所以預(yù)測96年仍處于狀態(tài)4，即發(fā)病率大于30/10萬。同樣，從二、三、四步轉(zhuǎn)移矩陣知，依然是狀態(tài)4轉(zhuǎn)入狀態(tài)4的概率最大，所以預(yù)測1996年至1999年該市的HFRS發(fā)病率將持續(xù)在大于30/10萬（高發(fā)區(qū)）水平，這提醒我們應(yīng)該對此高度重視，采取相應(yīng)對策。從平穩(wěn)分布可知，長期來看HRFS發(fā)病率將保持在高發(fā)區(qū)水平，這應(yīng)該是不符合實際情況的。究其原因，主要是隨著各方面采取的控制措施，轉(zhuǎn)移概率矩陣保持不變是不太可能的。因此本例用馬爾科夫鏈作的分析只適合于短期的情況。

馬爾可夫鏈模型還可以在人力資源管理中分析企業(yè)內(nèi)部人力資源的流動趨勢和概率，如升遷、轉(zhuǎn)職、調(diào)配或離職等方面的情況，以便為內(nèi)部的人力資源的調(diào)配提供依據(jù)。當(dāng)然能使用馬爾可夫鏈進(jìn)行分析的一個前提是：過去的內(nèi)部人事變動的模式和概率與未來的趨勢大體相一致。

例4：（人力資源管理中的應(yīng)用）現(xiàn)有某四星級飯店2009-2013年各層員工流動數(shù)據(jù)如表3所示：

2014年年初該四星級飯店總監(jiān)、經(jīng)理、主管、領(lǐng)班、基層人數(shù)分別為4、9、24、36、167人。我們關(guān)心的是該飯店未來1到5年人員結(jié)構(gòu)狀態(tài)的變動情況。

由表3可知，可以認(rèn)為飯店在2009-2013年內(nèi)部人事變動的模式和概率大體是一致的，假定未來五年的人員變動模式和前幾年一致。此時可以用馬爾科夫鏈來描述飯店人員變動的狀況，表3的數(shù)據(jù)就可以作為馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣。若用表示2004年的飯店人員年齡結(jié)構(gòu)，則2015年各階層人數(shù)為

也就是經(jīng)過1年，在2014年年末飯店的總監(jiān)、經(jīng)理、主管、領(lǐng)班、基層人數(shù)分別為4、10、23、50、92人，流失員工61人。飯店為了保持在籍員工總數(shù)不變，故本年度應(yīng)該新招聘61名基層員工，若用表示員工流失和招聘情況，則，因此2014年末（2015年年初）員工結(jié)構(gòu)為。類似可獲得未來幾年初飯店員工結(jié)構(gòu)和當(dāng)年員工流失以及招聘情況：

從計算結(jié)果可以看出，總監(jiān)級別的人數(shù)在未來幾年內(nèi)保持不變，說明經(jīng)理級別的員工上升到總監(jiān)級別是非常不容易的，因此現(xiàn)任總監(jiān)因故離崗或不能繼續(xù)擔(dān)任本職工作時，人力資源管理者需要立即采取措施應(yīng)對。人力資源部門平時應(yīng)注意挖掘和發(fā)現(xiàn)具有總監(jiān)潛力的員工并注意對其的培養(yǎng)。能夠勝任經(jīng)理級別和主管級別的 員工人數(shù)每年都有所增加，因此人力資源管理部門在做人力資源規(guī)劃時，對于這兩類級別的員工缺乏時可以采取內(nèi)部招聘的方式。能夠勝任領(lǐng)班級別的員工人數(shù)增幅較大，人力資源部門應(yīng)加大對領(lǐng)班界別的考核力度?；鶎訂T工流失率較高，這種情況不利于飯店的穩(wěn)定，因此必須采取措施，給予員工優(yōu)厚的福利待遇和良好的工作環(huán)境以及必要的培訓(xùn)機會。

從這些例子中可以看出，應(yīng)用平穩(wěn)分布可以獲得感興趣的指標(biāo)并做出相應(yīng)的決策;還可以利用馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布做預(yù)測，盡管背景千差萬別，但方法基本相似，具體說來可以分成以下四步：（1）結(jié)合實際問題劃分系統(tǒng)狀態(tài);（2）通過數(shù)據(jù)以及以往的數(shù)據(jù)資料確定狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率;（3）求系統(tǒng)的平穩(wěn)分布;（4）應(yīng)用平穩(wěn)分布計算感興趣的指標(biāo)從而做出相應(yīng)的決策，或者應(yīng)用平穩(wěn)分布進(jìn)行預(yù)測。實際應(yīng)用的難度在于系統(tǒng)狀態(tài)的劃分和轉(zhuǎn)移概率的確定，這兩步也決定了預(yù)測的精度如何，因此為了獲得較高精度的預(yù)測，需要針對實際問題詳細(xì)分析。

最后指出馬爾科夫鏈可以預(yù)測的領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)、金融、管理銷售、教育、體育、氣象水文、病蟲害、生物、衛(wèi)生醫(yī)藥、網(wǎng)頁搜索、通信、控制等。要預(yù)測得精準(zhǔn)，馬爾可夫鏈經(jīng)常與其他各種方法相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生看相關(guān)文獻(xiàn)并寫出自己的馬爾科夫鏈的應(yīng)用論文。

參考文獻(xiàn)

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