繞開極限
——談兩個不等式在函數(shù)估值中的應用

馬必武

(福建省福鼎市第一中學 355200)

由于中學階段學生沒有系統(tǒng)地學習過極限理論，在函數(shù)與導數(shù)的有些題目中有些老師會用極限理論來說明函數(shù)圖象的逼近過程等，這會對學生造成不必要的負擔.同時在客觀題中用極限說明估且可以，但在解答題中就不行了.因此就要用到函數(shù)估值的方法，而不等式ex≥x+1和x-1≥lnx在函數(shù)估值中有很強的應用，現(xiàn)就舉例說明.

例1 (2017年全國Ⅰ卷理科第21題)已知函數(shù)

f(x)=ae2x+(a-2)ex-x，

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

圖1

解析(1)略.

其實要使f(x)>0，

即ae2x+(a-2)ex-x>0，

也就是ax(aex+a-2)>x.

①

例2 已知f(x)=lnx-ax+1，若f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

圖2

因此f(x)有兩個零點時:0

因此在有些函數(shù)的零點判斷中要說明函數(shù)值是正的或負的時不能用極限來說明就要考慮到利用不等式 和 來進行放縮，這樣就能找到 使得函數(shù)值是正的或負的.

參考文獻：

[1]許清波.導數(shù)與不等式[J].高中生之友,2006(Z3).