一道2016年北京大學生命科學冬令營數(shù)學試題的研究

廣東省佛山市樂從中學(528315) 林國紅

本文分析了2016年北京大學生命科學冬令營數(shù)學試題的第13題,給出幾種解法,同時進一步探究了此問題.特意成文,與讀者分享.

一、試題

設直角梯形的高為2,其兩條對角線交點為P,以它的兩底中點的連線為直徑的圓與此梯形的直腰相交于點E和F,則P到E和F這兩點的距離之和為( )

二、解法呈現(xiàn)

解法一如圖1,在直角梯形ABCD中,設邊AD,BC的中點為M,N,易得AC,BD,MN交于點P.J,H分別為LN,LM 的中點,由,得PO=KO,即∠OEP=∠ONK,延長EP,EO分別交圓于G,Q,有 EG=LN=AB,且 ∠POG= ∠EOL= ∠FOP,故 △FOP = △GOP,所以EP+PF=EG=AB=2.故選B.

圖1

圖2

解法二如圖2,在直角梯形ABCD中,AB//CD,∠BAD= ∠ADC=90°.AD=2,AB=2a,CD=2b.M,N分別為線段AB,CD的中點,對角線AC與BD交于點P.以MN為直徑的圓與線段AD交于E,F兩點,與線段CD交于N,G兩點,連接MG.延長FP,交圓于點K,連接MK.設直線ME與NF交于點Q,直線MF與NE交于點H,作QR⊥AD于R.易知,M,P,N三點共線.由,所以直線MF,NE,QP交于一點H,而H是△QMN的垂心,故 ∠EFM= ∠ENM= ∠PFH,因而弧 ME=弧MK,從而有PE=PK.因為弧FK=弧ME+弧MK+弧EF=弧ME+弧EF+弧FG=弧MG,所以PE+PF=PK+PF=FK=MG=AD=2,故選B.

圖3

解法三如圖3,AB//CD,∠BAD= ∠ADC=90°,AD=2.M,N 分別為線段AB,CD的中點,對角線AC與BD交于點P.以MN為直徑的圓與線段AD交于E,F兩點,與線段CD交于N,G兩點,連接MG.延長FP,交圓于點K,連接MK.連接ME與NF.因為又因為 ∠MEP+ ∠NEP=90°,∠MEA+ ∠NED=90°,所以 ∠MEP= ∠MEA,∠NEP= ∠NED.同理,得∠NFP= ∠NFD,∠MFP= ∠MFA,故弧 ME= 弧MK,從而有ME=MK,PE=PK.又因為弧KF=弧MG,所以PE+PF=PK+PF=FK=MG=AD=2,故選B.

三、探究引伸

通過進一步的探究,發(fā)現(xiàn)此題與橢圓的性質有關.

引理1如圖4(1),橢圓兩頂點為A,B,橢圓上任一點P(A,B除外)的切線與過A,B且垂直于AB的兩直線交于D,C,則

圖4(1)

圖4(2)

引理1簡證作伸縮變換將橢圓還原為圓,如圖4(2),還原后由于切線長相等,顯然有,而變換前后兩邊的比值不變,故還原前等式也成立.

利用同一法可證“引理1”的逆命題,即如下命題成立.

命題1直角梯形ABCD,AB為直腰,P為CD上一點,且滿足,則以A,B為頂點且過P的橢圓與CD切于P.

引理2如圖4(3),P為橢圓上不是長軸頂點上任一點,過點P的切線與過長軸頂點與長軸垂直的直線相交于S,T,則以線段ST為直徑的圓過這個橢圓的兩個焦點.

圖4(3)

圖4(4)

引理2證明如圖4(3),設橢圓方程為,橢圓上除長軸外一點P(x,y),則有00即.因為切線ST的方程為所以由,可得由,可得.故,所以有

即∠SF2T=90°.同理可得∠SF1T=90°,所以命題得證.

回到原題,如圖4(4).設以A,B為頂點且過P的橢圓為Γ,由C,D是中點,易知,故由命題1知Γ與CD切于P,再由引理2可知E,F是Γ的兩個焦點,從而有PE+PF=AB=2,故選B.