高中教材中的函數(shù)與曲線的旋轉(zhuǎn)變換

廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630) 羅碎海

高中學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性與反函數(shù)時(shí)知道了函數(shù)圖象的對(duì)稱變換(點(diǎn)對(duì)稱與線對(duì)稱),在學(xué)習(xí)三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象時(shí)知道了函數(shù)圖象的平移變換與伸縮變換,由此解決了解析幾何中曲線的對(duì)稱、平移、伸縮變換等問題.有人提出課本為什么沒有旋轉(zhuǎn)變換,知識(shí)很不系統(tǒng).其實(shí)旋轉(zhuǎn)變換在課本習(xí)題中出現(xiàn)過,而且高中課本中滲透了三種思路方法處理旋轉(zhuǎn)問題,師生必須重視這個(gè)知識(shí)點(diǎn).

1.課本第一次出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)變換

高中數(shù)學(xué)必修4是通過習(xí)題借助向量的旋轉(zhuǎn)給出了坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換的公式,它為我們處理曲線旋轉(zhuǎn)問題提供了思路(向量法)與公式.

例1(原題再現(xiàn):必修4-P113-B3)已知對(duì)任意平面向量,把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量,叫做把點(diǎn) B 繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P.

即

2.旋轉(zhuǎn)變換

(1)旋轉(zhuǎn)變換定義:在平面內(nèi),一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到另一個(gè)圖形的變化叫做旋轉(zhuǎn).這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角,如果一個(gè)圖形上的點(diǎn)A經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)A′,那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度為旋轉(zhuǎn)的三要素.

(2)旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)

圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞著某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng),有以下性質(zhì):

①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.

②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等,即旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變.

④旋轉(zhuǎn)中心是唯一不動(dòng)的點(diǎn).

⑤對(duì)應(yīng)邊所在直線所構(gòu)成的角為旋轉(zhuǎn)角度.

從10?000個(gè)人中抽取1%等于要抽取100個(gè)人，為10?000個(gè)人制作10?000個(gè)簽顯然不太現(xiàn)實(shí)，即使制作出來了也很難進(jìn)行均勻攪拌，隨機(jī)數(shù)法的工作量也比較大．10?000個(gè)人做編號(hào)是必要的，否則無從抽取，問題是編號(hào)后如何抽取？學(xué)生所能想到的多半是根據(jù)編號(hào)的某種特征進(jìn)行抽取，例如號(hào)碼的奇偶性等．但由于每個(gè)人的編號(hào)已經(jīng)確定了，根據(jù)編號(hào)的奇偶性抽樣并非真正的隨機(jī)抽樣，而是一種有選擇的抽樣．

3.用旋轉(zhuǎn)變換化簡(jiǎn)圓錐曲線方程

例1分析解答(1)由已知可得,將點(diǎn),繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得

(2)設(shè)平面上曲線C上的點(diǎn)P(x,y),則其繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)P′在曲線x2?y2=3上,代入,即

例2將曲線繞坐標(biāo)系原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)多大角可使曲線方程中消去交叉項(xiàng)(即xy項(xiàng))?

圖1

解析已知曲線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角,即所求曲線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角得到已知曲線.設(shè)所求曲線D上的任一點(diǎn)為Q(x,y),則其繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ后得到點(diǎn)Q′(xcosθ?y sinθ,xsinθ+y cosθ)在曲線上.代入得xy項(xiàng)的系數(shù)為

4.課本中另兩個(gè)處理旋轉(zhuǎn)變換的方法

(1)利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換

在選修2-2中學(xué)到了復(fù)數(shù),但復(fù)數(shù)的三角形式課本未講,由于學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的乘法與極坐標(biāo)系,復(fù)數(shù)三角形式及其乘法就是很自然結(jié)果.記點(diǎn)Z1對(duì)應(yīng)向量為,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為z1=r1(cosθ1+isinθ1);點(diǎn) Z2對(duì)應(yīng)向量為,對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為z2=r2(cosθ2+isinθ2),則復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則如下:即兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘等于模相乘、輻角相加.當(dāng)r2=1時(shí),復(fù)數(shù)相乘z1z2的幾何意義就是:z1z2仍是一個(gè)復(fù)數(shù),是將z1對(duì)應(yīng)向量為繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ2得到的端點(diǎn)Z所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換.

例3將曲線繞坐標(biāo)系原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角,求旋轉(zhuǎn)后的曲線方程.

分析設(shè)所求結(jié)果曲線上點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為z=x+yi,已知曲線上點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為z1=x1+y1i,輻角為的單位復(fù)數(shù)為.由題意可知,即

可得

(x1,y1)滿足,代入,化簡(jiǎn)得4x2+y2=3.

(2)應(yīng)用極坐標(biāo)處理旋轉(zhuǎn)問題

教材選修4-4極坐標(biāo)系一節(jié)學(xué)習(xí)了點(diǎn)的極坐標(biāo)與曲線的極坐標(biāo)方程,用此知識(shí)就可解決曲線的旋轉(zhuǎn)問題.

例4將橢圓x2+4y2=3繞中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)π 3角,求所得的方程.

分析橢圓x2+4y2=3的中心在坐標(biāo)系原點(diǎn),化為極坐標(biāo)方程為 ρ2(cos2θ+4sin2θ)=3,即

化簡(jiǎn)得

對(duì)于以上問題,主要理解其基本思想方法,不必把公式作為重點(diǎn).旋轉(zhuǎn)問題的三種方法比較,感到極坐標(biāo)方法只有對(duì)繞極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的問題有利,而且方程比較陌生;復(fù)數(shù)方法是課本沒有我們引申的方法;相對(duì)向量的方法是比較好的方法,它可以處理繞任意一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)問題,而且課本有專門的習(xí)題,足見它的重要性.課本的任何問題都不能忽視,它是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)提高的基礎(chǔ).