一個圓錐曲線定點問題的實驗探究

上海市松江二中(201600) 張忠旺

題目已知橢圓E:的離心率為,點A、B分別是橢圓的左右頂點,C是橢圓的上頂點,△ABC的面積為2.

(I)求橢圓E的方程;

(II)設P為第四象限內一點且在橢圓E上,直線PA與y軸交于點M,直線PC與x軸交于點N,求證:四邊形ACNM的面積為定值;

(III)如圖1,若Q是直線l:x=1上一動點,連接AQ交橢圓E于G,連接BQ交橢圓E于點H,連接GH,試探討直線GH是否過定點,若過定點,求出該定點的坐標;若不過定點,請說明理由.

圖1

探究1對于任意一條垂直于x軸的直線,橢圓是否都有類似的性質呢?

利用《幾何畫板》實驗:取直線l:x=m上一動點P,過橢圓的左頂點A與P的直線交橢圓于G,過橢圓的右頂點B與P的直線交橢圓于H,當P在直線l上運動時,直線GH過定點.

圖2

命題1設橢圓的左右頂點分別為A、B,P是直線l:x=m(m/=0,±a)上一動點,連接AP交橢(圓E)于G,連接BP交橢圓E于點H,則直線

GH過定點.

證明設P(m,n),設G(x1,y1),H(x2,y2),AP:y=

故直線GH過定點

特別,當直線l為橢圓的準線時,直線GH恒過橢圓的焦點.

探究2通過《幾何畫板》實驗發(fā)現(xiàn),過點P與GB垂直的直線過x軸上的定點.

命題2設橢圓的離心率為e,左右頂點分別為A、B,P是直線l:x=m上一動點,連接AP交橢圓E于G,則過點P與GB垂直的直線過定點.

圖3

可仿命題1直接證明.

探究3通過《幾何畫板》實驗發(fā)現(xiàn),直線AH與GB的交點Q在直線x=m上,且以PQ為直徑的圓過定點.

命題3設橢圓E :的左右頂點分別為A、B,P是直線l:x=m(m/=0,±a)上一動點,連接AP交橢圓E于G,連接BP交橢圓E于點H,則直線GB與AH的交點Q在直線( l上,且當 |m|＞) a時,以 PQ為直徑的圓過定點

圖4

證明設P(m,n),設G(x1,y1),H(x2,y2),由命題1證明知

故GB與AH的交點在直線x=m上.又

PQ為直徑的圓的方程為

探究4對于拋物線和雙曲線是否有類似的性質呢?

當橢圓的右焦點趨向于無窮遠時,橢圓就變成了拋物線,此時橢圓中過右頂點的直線BQ就演變成平行于x軸的直線.利用《幾何畫板》實驗:取直線l:x=m上一動點Q,過拋物線頂點A與Q的直線交拋物線于G,過Q與拋物線的軸平行的直線交拋物線于H,當Q在直線l上運動時,直線GH過定點;直線OH與過G平行于x軸的直線的交點Q在直線x=m上,當m＜0時,以線段PQ為直徑的圓過定點.

命題4設拋物線y2=2px(p＞0),P是直線l:x=m(m/=0)上一動點,連接OP交拋物線于G,過P作x軸的平行線交拋物線于H,則

(1)直線GH 過定點(?m,0);

(2)直線OH與過G平行于x軸的直線的交點Q在直線x=m上;

命題5設雙曲線的左右頂點分別為A、B,P是直線l:x=m(m/=0,±a)上一動點,連接AP交雙曲線于G,連接BP交雙曲線于點H,則

(1)直線GH過定點

(3)直線GB與AH的交點P在直線x=m上;