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    淺析極坐標(biāo)思想在求解拋物線問題中的應(yīng)用

    2018-04-21 11:43:20張小峰吳仕棟
    考試周刊 2018年38期
    關(guān)鍵詞:極坐標(biāo)拋物線

    張小峰 吳仕棟

    摘要:本文主要是從極坐標(biāo)的角度來考慮焦點(diǎn)弦問題,尤其是當(dāng)其中一個(gè)焦半徑與另一個(gè)焦半徑之間呈倍數(shù)關(guān)系時(shí),在求解直線的方程時(shí),運(yùn)用極坐標(biāo)思想可以極大地簡化運(yùn)算過程,縮減運(yùn)算量。

    關(guān)鍵詞:極坐標(biāo);焦點(diǎn)弦;拋物線

    一、 極坐標(biāo)的概念

    在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫極點(diǎn),引一條射線Ox,叫做極軸,再選定一個(gè)長度單位和角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向)。對于平面內(nèi)任何一點(diǎn)M,用ρ表示線段OM的長度(有時(shí)也用r表示),θ表示從Ox到OM的角度,ρ叫做點(diǎn)M的極徑,θ叫做點(diǎn)M的極角,有序數(shù)對(ρ,θ)就叫點(diǎn)M的極坐標(biāo),這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。通常情況下,M的極徑坐標(biāo)單位為1(長度單位),極角坐標(biāo)單位為rad(或°)。

    二、 問題的提出

    拋物線問題的求解過程中,經(jīng)常會(huì)涉及求解“定長”問題,但是在很多解析幾何問題中題設(shè)條件是呈直角坐標(biāo)形式,求解過程比較冗雜,不利于問題的求解。如果轉(zhuǎn)變思路,將這一類問題轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)問題,以通俗易懂的思想替代繁雜的求解過程,將能收到良好的效果。建立極坐標(biāo)系,是解決這類問題的關(guān)鍵。

    三、 問題的求解及證明

    假設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn)F并與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),試證明:1|AF|+1|BF|=2p。

    在這個(gè)題目中我們常用的方法是假設(shè)出直線l的方程為y=kx-p2,設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),由焦半徑公式可以得|AF|=x1+p2,|BF|=x1+p2,可以算出1|AF|+1|BF|,再由x1與x2的關(guān)系就可以得證,但是這樣計(jì)算量比較大,我們可以用極坐標(biāo)的思想來證明,證明如下:

    令|AF|=ρ,|BF|=ρ′,∠AFH=∠BFG=θ,由拋物線的定義得ρ=|AF|=|AC|,ρ=p+ρcosθ,同理可得ρ′=p|ρ′cosθ。

    ρ=p1-cosθ,ρ′=p1+cosθ

    1|AF|+1|BF|=1-cosθp+1+cosθp=2p

    四、 結(jié)論

    1|AF|+1|BF|=2p得證,巧妙運(yùn)用極坐標(biāo)思想,一個(gè)復(fù)雜的圓錐曲線問題就輕松轉(zhuǎn)化為簡單的幾何問題,不僅簡化了運(yùn)算步驟,更是使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中提高了學(xué)習(xí)效率,達(dá)到了事半功倍的效果。這種思想也適應(yīng)于這樣的問題:

    在前文相同題設(shè)下,當(dāng)|AF|=a|BF(a>1)|,求解直線l的方程:

    由于|AF|=a|BF,所以ρ=aρ′

    ρ1-cosθ=aρ1+cosθ

    ρ+ρcosθ=aρ-aρcosθ

    cosθ=a-1a+1

    K=tanθ=2a1+a

    這樣我們就可得直線l的方程:y=2a1+ax-p2。

    極坐標(biāo)思想在拋物線上的應(yīng)用給我們帶來了很多的方便,極坐標(biāo)的思想不僅僅可以在拋物線上應(yīng)用,還可以推廣到圓錐曲線上,它的本質(zhì)就是數(shù)形結(jié)合的思想,通過圖像觀察減少運(yùn)算量。

    參考文獻(xiàn):

    [1]柳榕,齊虹,陳清華.高中課標(biāo)課程選修4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》教學(xué)參考(三) 空間斜坐標(biāo)系的建立和應(yīng)用[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2008(11):3-6.

    [2]徐新宏,唐杰.淺談“極坐標(biāo)”的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué),1991(5):22-26.

    [3]邱有文.巧設(shè)極坐標(biāo)方程妙解圓錐曲線問題[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2015(9):48-49.

    [4]趙篤全.關(guān)于方程ρ=ep/(1-ecosθ)的推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1994(08):32.

    作者簡介:

    張小峰,吳仕棟,貴州省銅仁市,貴州省銅仁第一中學(xué)。

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