基于無偏灰色馬爾科夫模型的客流量預(yù)測(cè)

馬彪

(鐵道警察學(xué)院 軌道交通安全保衛(wèi)系，河南 鄭州　450053)

近年來，中國的城市軌道交通發(fā)展非常迅速，逐步成為市區(qū)人們?nèi)粘３鲂械氖走x交通工具。截至2016年底，已獲得國務(wù)院城市軌道交通建設(shè)項(xiàng)目批復(fù)的城市有58個(gè)，其中已經(jīng)開通運(yùn)營地鐵的城市31個(gè)，預(yù)計(jì)到2020年將達(dá)到45個(gè)，未來5～10 a，我國城市軌道交通建設(shè)將進(jìn)入高峰時(shí)期。對(duì)未來客流量的預(yù)測(cè)是影響軌道交通項(xiàng)目規(guī)劃的一個(gè)重要指標(biāo)，它為項(xiàng)目的決策與判斷提供數(shù)據(jù)支持，同時(shí)也是后期運(yùn)營中列車編組、行車密度和運(yùn)行交路制定的重要參考依據(jù)。此外，隨著各城市軌道交通的不斷開通運(yùn)營，公共安全問題也漸漸成為社會(huì)的熱點(diǎn)話題，由于地鐵處于地下密閉空間，具有聯(lián)動(dòng)性強(qiáng)、客流量大、救援困難等特點(diǎn)，一旦發(fā)生公共安全問題極易造成人員擁擠踩踏，后果不堪設(shè)想。雖然已開通城市軌道交通的城市都已組建了專門安保力量，但都面臨警力不足問題。精確的客流預(yù)測(cè)能為公安機(jī)關(guān)科學(xué)靈活地用警布警提供科學(xué)依據(jù)，實(shí)現(xiàn)警力資源優(yōu)化配置，確保城市軌道交通運(yùn)營安全。

目前關(guān)于客流預(yù)測(cè)的方法和算法有很多種，國外有關(guān)學(xué)者在此方面做了大量研究，文獻(xiàn)[1]提出目標(biāo)導(dǎo)向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型，對(duì)公路短時(shí)客流進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到較好的預(yù)測(cè)效果。文獻(xiàn)[2]結(jié)合貝葉斯規(guī)則和條件概率理論對(duì)不同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化，將優(yōu)化后的模型應(yīng)用到高速公路短時(shí)客流預(yù)測(cè)，表明優(yōu)化后的模型比單個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果更準(zhǔn)確。目前國內(nèi)在客流預(yù)測(cè)方面正處于發(fā)展時(shí)期，文獻(xiàn)[3]利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)分解后的低頻信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)，精度有所提高。文獻(xiàn)[4-7]運(yùn)用灰色理論對(duì)城市軌道交通客流、鐵路客流及鐵路貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)研究。文獻(xiàn)[8]在GM(1,1)模型的基礎(chǔ)上改進(jìn)了馬爾科夫算法對(duì)城市軌道交通客流的周期時(shí)變特點(diǎn)進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[9-10]運(yùn)用灰色馬爾科夫模型對(duì)鐵路貨運(yùn)量和機(jī)場(chǎng)危險(xiǎn)品數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)。文獻(xiàn)[11-15]對(duì)城市軌道交通客流預(yù)測(cè)技術(shù)、方法和模型進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[16-18]對(duì)城市軌道交通客流特征進(jìn)行分析研究。

綜合客流預(yù)測(cè)的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀可以發(fā)現(xiàn)：很多研究者都是針對(duì)長期客流預(yù)測(cè)進(jìn)行研究，而對(duì)于短期客流預(yù)測(cè)，由于受更多因素的隨機(jī)影響，呈現(xiàn)出更強(qiáng)的非線性和波動(dòng)性，規(guī)律性很難把握，預(yù)測(cè)難度遠(yuǎn)超長期客流。本文以鄭州地鐵1#線為研究對(duì)象，重點(diǎn)對(duì)城市軌道交通短時(shí)客流的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行研究，以得到更加符合實(shí)際情況的城市軌道交通短期客流預(yù)測(cè)結(jié)果。

1　灰色GM(1，1)模型與無偏灰色GM(1，1)模型

1.1　灰色GM(1，1)模型

灰色理論是通過少量的、不完整的信息，建立灰色預(yù)測(cè)模型，對(duì)事物發(fā)展趨勢(shì)做出模糊描述。城市軌道交通是一個(gè)抽象的系統(tǒng)，影響客流量的因素很多，如天氣、節(jié)日、重大活動(dòng)等，其中部分因素可知，部分因素未知，因此可將城市軌道交通系統(tǒng)看成一個(gè)灰色系統(tǒng)，進(jìn)行客流預(yù)測(cè)常采用GM(1，1)模型。

GM(1，1)模型是一種最常用的灰色模型，表示一階、單個(gè)變量的微分方程。設(shè)X(0)為非負(fù)的原始樣本序列，即

X(0)={X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3),……，X(0)(n)},

式中n為樣本個(gè)數(shù)。

運(yùn)用灰色理論對(duì)原始數(shù)據(jù)X(0)進(jìn)行一次累加生成處理，得出新的生成序列X(1)，有

新生成序列近似服從指數(shù)規(guī)律，對(duì)其建立預(yù)測(cè)模型，有

，

(1)

式中a、u為未知待定參數(shù)。

采用最小二乘法求解參數(shù)a、u，有

(2)

將a、u代入式(1)得出X(1)的灰色預(yù)測(cè)GM(1，1)模型

式中X(1)(k+1)為前(k+1) d的預(yù)測(cè)客流量累計(jì)之和。

累減還原后得到預(yù)測(cè)客流量

式中X(0)(k+1)為第k+1天預(yù)測(cè)客流量。

1.2　無偏灰色GM(1，1)模型

傳統(tǒng)灰色GM(1，1)模型雖然計(jì)算簡(jiǎn)單，所用數(shù)據(jù)較少，但模型精度較低，存在偏差，為了提高精度，文獻(xiàn)[18]提出無偏灰色GM(1，1)模型。與傳統(tǒng)灰色GM(1，1)模型相比，無偏灰色GM(1，1)模型偏差減小，且無需累減還原，簡(jiǎn)化了建模步驟。無偏灰色GM(1，1)模型可表示為：

(3)

式中：b=ln((2-a)/(2+a))，A=2u/(2+a)。

由式(2)計(jì)算出a、u后，便可求得b、A，帶入式(3)即可得出每日的預(yù)測(cè)客流量，不用進(jìn)行累減還原，簡(jiǎn)化了計(jì)算步驟。

2　無偏灰色GM(1，1)模型檢驗(yàn)

灰色GM(1，1)模型檢驗(yàn)常用的有后驗(yàn)差檢驗(yàn)和小誤差概率檢驗(yàn)。

2.1　后驗(yàn)差檢驗(yàn)

(4)

(5)

q(0)(k)=X(0)(k)-X＾(0)(k)，

(6)

(7)

(8)

計(jì)算后驗(yàn)差比值

C=S2/S1

。

(9)

2.2　小誤差概率檢驗(yàn)

(10)

一般情況下，模型的精確度等級(jí)劃分如表1所示。

表1　模型檢驗(yàn)等級(jí)表

3　馬爾科夫模型

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)的過程，不同時(shí)刻下的狀態(tài)之間具有某種聯(lián)系。馬爾科夫模型根據(jù)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率來描述動(dòng)態(tài)隨機(jī)過程的發(fā)展?fàn)顩r，轉(zhuǎn)移概率反映各狀態(tài)之間的聯(lián)系。城市軌道交通客流量的變化具有隨機(jī)波動(dòng)的特性，而馬爾科夫模型可以描述隨機(jī)波動(dòng)的特點(diǎn)，因此可以采用無偏灰色馬爾科夫組合模型，既可以通過無偏灰色GM(1，1)模型對(duì)城市軌道交通客流總體趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，又可以利用馬爾科夫模型對(duì)客流的隨機(jī)性進(jìn)行預(yù)測(cè)，使最后得出的預(yù)測(cè)結(jié)果更加符合城市軌道交通客流實(shí)際。

時(shí)間、狀態(tài)都是離散的馬爾科夫過程稱為馬爾科夫鏈，馬爾科夫鏈?zhǔn)请S機(jī)過程X1，X2，X3，……的一個(gè)數(shù)列，這些變量所有可能的取值集合就稱為馬爾科夫鏈的“狀態(tài)空間”，其中任一狀態(tài)可表示為：

X(0)(n)=X(t)P(n-t),

式中:X(t)為初始時(shí)刻t的狀態(tài)概率向量；X(n)為經(jīng)過n-t個(gè)時(shí)刻后的狀態(tài)概率向量；P為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

計(jì)算得出無偏灰色預(yù)測(cè)值后，對(duì)其進(jìn)行馬爾科夫優(yōu)化。首先對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行狀態(tài)劃分，然后計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，最后應(yīng)用馬爾科夫模型進(jìn)行優(yōu)化。

3.1　狀態(tài)劃分

狀態(tài)劃分以實(shí)際客流量與預(yù)測(cè)客流量的相對(duì)誤差R(k)為標(biāo)準(zhǔn)，分析相對(duì)誤差序列的特點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行分類，劃分出不同的狀態(tài)，使得數(shù)據(jù)盡可能均勻地分布在各個(gè)狀態(tài)。R(k)的計(jì)算公式為：

(11)

若將相對(duì)誤差序列劃分為m個(gè)狀態(tài)，可表示為E1，E2，E3，……,Em，第i個(gè)狀態(tài)區(qū)間Ei=[Qi，Ri],(i=1，2，……，m)，其中Qi，Ri為狀態(tài)Ei的上、下邊界。

3.2　狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的構(gòu)造

計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是馬爾科夫模型的關(guān)鍵步驟，通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，可以清晰地看出各狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移的概率，從而通過概率論方法確定下階段客流量的走向，可以大大提高預(yù)測(cè)的精確度。分別計(jì)算每種狀態(tài)向其他狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率，匯總得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。設(shè)狀態(tài)Ei的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為Mi，經(jīng)過r步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為Mij(k)，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

(12)

式中：i，j=1，2，……，m。

得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

3.3　馬爾科夫優(yōu)化

(13)

4　實(shí)例分析

4.1　選取樣本

選取鄭州地鐵2017-02-03—02-18客流量數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來源：鄭州地鐵運(yùn)營公司)如表2所示。

表2　鄭州地鐵1#線客流量　萬人·次

由表2可知：由于春節(jié)假期剛過(2月3日為農(nóng)歷一月初七)，返程客流不穩(wěn)定，導(dǎo)致客流數(shù)據(jù)波動(dòng)性較大，但總體呈現(xiàn)上升趨勢(shì)；周六(2月11日、2月18日)、周日(2月12日)客流相對(duì)于工作日客流減少，周一(2月13日)客流增長幅度最大，基本體現(xiàn)了城市軌道交通的客流特性。

4.2　無偏灰色GM(1，1)模型預(yù)測(cè)客流量

將表2原始的數(shù)列進(jìn)行一次累加，根據(jù)式(2)可以得出:

(14)

圖1　無偏灰色預(yù)測(cè)客流量與實(shí)際客流量

通過式(14)得出2月3日至2月18日鄭州地鐵1#線無偏灰色預(yù)測(cè)客流量，并與原始數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖1所示。

無偏灰色預(yù)測(cè)客流量雖然擬合了城市軌道交通客流的總體分布特征，呈指數(shù)增長趨勢(shì)，但未能反映客流的隨機(jī)性和波動(dòng)性的變化特點(diǎn)，擬合效果較差。根據(jù)式(4)～(10)得出C=0.553 9，p=0.81，由表2可知，擬合精度為三級(jí)，勉強(qiáng)合格。

4.3　馬爾科夫模型優(yōu)化

根據(jù)式(11)計(jì)算R(k)，并根據(jù)R(k)進(jìn)行狀態(tài)劃分，共劃分為4個(gè)區(qū)間，見表3。

根據(jù)式(13)及各狀態(tài)區(qū)間的劃分，對(duì)無偏灰色預(yù)測(cè)客流量進(jìn)行馬爾科夫優(yōu)化，優(yōu)化值與實(shí)際客流值進(jìn)行擬合，如圖2所示。

表3相對(duì)誤差狀態(tài)劃分

狀態(tài)編號(hào)狀態(tài)區(qū)間日期一(-16%,-6%]4、8、18二(-6%,0]3、5、7、9、15三(0,4%]11、12、16、17四(4%,9%]6、10、13、14

圖2　馬爾科夫優(yōu)化客流量與實(shí)際客流量

由圖2可知：優(yōu)化后馬爾科夫預(yù)測(cè)與實(shí)際客流量擬合程度較高，同時(shí)能夠反映客流的隨機(jī)性和波動(dòng)性，C=0.254 3，較無偏灰色預(yù)測(cè)量精度提高了54%，p=1，精度達(dá)到一級(jí)。

4.4　馬爾科夫模型預(yù)測(cè)

根據(jù)式(12)和表3計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，分別得到2月16日、17日和18日的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：

根據(jù)2月16日、17日和18日客流量及相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P(1)、P(2)、P(3)，對(duì)2月19日鄭州地鐵1#線客流量進(jìn)行預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)客流量最有可能處于的狀態(tài)如表4所示。

表4　狀態(tài)預(yù)測(cè)計(jì)算

通過表4可以看出，各狀態(tài)下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的合計(jì)值狀態(tài)二最大，表明通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移，2月19日鄭州地鐵1#線的預(yù)測(cè)客流量最有可能處于狀態(tài)二，即狀態(tài)區(qū)間為(-6%,0]，同理，對(duì)2月20日和21日鄭州地鐵1#線的客流量進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果見表5。

表52月19日至21日預(yù)測(cè)客流量

日期狀態(tài)客流量/(萬人·次)2月19日(周日)二45.82月20日(周一)四51.32月21日(周二)二47.4

可以看出，通過馬爾科夫模型計(jì)算得出的預(yù)測(cè)客流量非常符合城市軌道交通客流的特點(diǎn)：周日客流較少，周一處于高峰期，周二相對(duì)于周一高峰期有所減少。由此判斷，優(yōu)化后的馬爾科夫模型完全可以對(duì)城市軌道交通客流進(jìn)行預(yù)測(cè)，效果較好。

5　結(jié)語

1)無偏灰色馬爾科夫模型克服了無偏灰色GM(1，1)模型的缺點(diǎn)，既可以擬合城市軌道交通客流的總體發(fā)展趨勢(shì)，又可以對(duì)隨機(jī)性和波動(dòng)性強(qiáng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，模型精度較高，可以為地鐵企業(yè)制定列車開行方案和公安機(jī)關(guān)布置警力提供依據(jù)。

2)構(gòu)建馬爾科夫模型過程中，不同的狀態(tài)劃分對(duì)最終預(yù)測(cè)結(jié)果的精度影響較大，因此如何進(jìn)行科學(xué)合理的狀態(tài)劃分值得進(jìn)一步研究。

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