n個(gè)流形的積流形的證明

米雅薇

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

乘積流形是黎曼幾何的一種重要的流形模型，關(guān)于乘積流形的子流形的研究一直是黎曼幾何的一個(gè)重要研究方向.乘積流形是微分拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)重要概念，是對兩個(gè)微分流形的拓?fù)涑朔e空間上給出適當(dāng)?shù)奈⒎謽?gòu)造使之成為微分流形的一般方法.積流形是由兩個(gè)微分流形的笛卡兒積所生成的流形.要證明2個(gè)流形的積流形需要證明2個(gè)微分流形在積拓?fù)淇臻g中滿足四個(gè)條件，一是這個(gè)流形的坐標(biāo)卡之集是這個(gè)流形的開覆蓋，二是滿足同胚映射，三是相容性，四是覆蓋性.那么我們也可以證明n個(gè)微分流形在積拓?fù)淇臻g中滿足這四個(gè)條件，叫作這n個(gè)微分流形的積流形.

1　預(yù)備知識(shí)

定義1[2]如果拓?fù)淇臻g(M,τ)滿足：

(1)M是A2和T2的拓?fù)淇臻g，

(2)M是局部歐式的：即對任P∈M，存在P點(diǎn)的開領(lǐng)域V和映射φ，使

φ：V→φ(V)?Rn

是同胚映射，則稱M是n維拓?fù)淞餍?，φ叫坐?biāo)映射，V叫坐標(biāo)域，(V,φ)叫坐標(biāo)卡.

定義2[2]n維拓?fù)淞餍蜯上的Ck類微分構(gòu)造是M上的坐標(biāo)卡之集

Φ={(Vα,φα)|α∈A(指標(biāo)集)}

滿足：

(2)相容性：若(Vα,φα)，(Vβ,φβ)∈Φ，當(dāng)Vα∩Vβ≠?時(shí)

與

都是Ck類微分同胚.

(3)最大性：若(V,φ)與Φ中每個(gè)坐標(biāo)卡是Ck相容的，則(V,φ)∈Φ.

定義3[3]n維拓?fù)淞餍蜯帶上Ck類微分構(gòu)造Φ，則稱(M,Φ)是n維Ck類微分流形.

定理1[4]設(shè)(M1,Φ1)和(M2,Φ2)分別是n維和m維C微分流形，在積拓?fù)淇臻gM1×M2上定義為分結(jié)構(gòu)如下：

Φ={(Vα×Wβ,φα×ψ)|(Vα,φα)∈Φ1,(Wβ,ψβ)∈Φ2)}

其中對任意(v,w)∈V×W∩Vα×Wβ，有

(φα,ψβ)(v,w)Δ(φα(v),ψβ(w))

則(M1×M2,Φ)是m+n維C微分流形，稱為M1和M2的積流形.

2　n個(gè)流形的積流形的證明

定理2設(shè)(M1,Φ1),(M2,Φ2),…,(Mn,Φn)分別是M1,M2,…,M3維C微分流形，在積拓?fù)淇臻gM1×M2×…Mn上定義的微分構(gòu)造如下：

Φ={(Vα1×Vα2×…×Vαn,φα1×φα2×…×φαn)|(Vα1,φα1)∈Φ1,(Vα2,φα2)∈Φ2,…,(Vαn,φαn)∈Φn}其中對任意(v1,v2,…,vn)∈Vα1×Vα2×…×Vαn，有

(φα1,φα2,…,φαn)(v1,v2,…,vn)Δ(φα1(v1),φα2(v2),…,φαn(vn))

則(M1×M2×…×Mn,Φ)是m1+m2+…+mn維C微分流形，稱為M1,M2,…,M3的積流形.

證明：(1)因?yàn)镸1,M2,…,Mn是A2,T2拓?fù)淇臻g,所以積拓?fù)淇臻gM1×M2×…×Mn也是A2,T2拓?fù)淇臻g.

(φα1×φα2×…×φαn)：Vα1×Vα2×…×Vαn→(φα1×φα2×…×φαn)(Vα1×Vα2×…×Vαn)=φα1(Vα1)×φα2(Vα2)×…×φαn(Vαn)?Rm1×Rm2×…×Rmn=Rm1+m2+…+mn是同胚.

因?yàn)?/p>

(φα1×φα2×…×φαn)(v1×v2×…×vn)

=(φα1(v1),φα2(v2),…,φαn(vn))

=(x1,x2,…,xn)∈φα1(Vα1)×φα2(Vα2)×…×φαn(Vαn)

并且

=(x1,x2,…,xn)

所以

即

(φα1×φα2×…×φαn)-1(x1,x2,…,x3)=

(3)覆蓋性：因?yàn)?/p>

所以

(4)相容性：設(shè)

都是C映射，從而

是C映射，同理也是C映射.所以(M1×M2×…×Mn,Φ)是m1+m2+…+mn維C微分流形，稱為M1,M2,…,M3的積流形.

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