帶位勢項的半線性波動方程解的生命跨度的上界估計*

韓 偉，任登云

（中北大學理學院，太原 030051）

0 引言

偏微分方程理論有著悠久的歷史，而波動方程作為最早得到研究的3種基本數(shù)學物理方程之一，在其理論的應用方面取得重大突破。它有著廣泛的物理背景，如彈性體運動方程，彈性力學中的彈性弦方程等。對于非線性波動方程的研究，由于非線性項會使波在傳播過程中變得陡峭直到破裂。早在20世紀60年代，F(xiàn)ujita等人就開始對非線性偏微分方程的整體解及破裂問題進行了研究。之后許多數(shù)學工作者對非線性波動方程的解的生命跨度的上界估計以及非線性項和空間維數(shù)的關系進行了大量的研究，而半線性波動方程作為一種特殊性的非線性波動方程，也吸引了不少數(shù)學工作者的研究。

本文考慮如下半線性波動方程小初值Cauchy問題：

本文主要結果如下：

使得

其中A為一個不依賴于ε的正常數(shù)。

為了證明定理1.1，需要列出以下3個重要引理：

其中，k，δ，R 為正常數(shù)，則 F（t）將在有限時間內破裂，且 F（t）的上界估計 T（δ）：

其中，c是依賴于k，R但不依賴于δ的正常數(shù)。

引理1.1的證明詳見參考文獻［6-7］。

其中，C0，C1為正常數(shù)，其中當 V=0 時，有

引理1.2的證明詳見參考文獻［1］。

證明與參考文獻［7］中引理2.4相同，此處略。

1 定理1.1的證明

為了證明定理1.1，現(xiàn)引入如下函數(shù)

引理 2.1 令（f，g）滿足式（2），假設柯西問題（1）有解使得

則對所有的t≥0，

其中，c0為正常數(shù)。

此證明方法可參考文獻［2］引理2.1，此處省略。

那么證明a，q，F(xiàn)（0t）滿足引理1.1中的微分不等式。首先將式（1）中方程兩邊同時乘以（0x），再在Rn上積分可得

結合引理1.2中式（5）可得

那么式（9）可變?yōu)?/p>

由Ho··lder不等式可得

由式（7）、式（9）和式（10）可得

由引理1.2中式（5）可得

因此，可得不等式

所以F0滿足引理1.1中式（b）不等式，為了得到F0滿足引理1.1中式（a），可以建立與F1（t）之間的關系，在式（1）兩邊同時乘以ψ（x，t）并在Rn上進行積分，再利用Ho··lder不等式得

所以上式變?yōu)?/p>

結合引理1.2，則上式變?yōu)?/p>

下面對分子、分母進行估計，由引理2.1可得

由引理1.3可得

其中，C為正常數(shù)。

結合式（14）和式（15）可得

故F0滿足引理1.1中式（a）不等式。

結合式（11）和式（17）及引理 1.1，可得參數(shù)

則當p＞1時有

其中，A是不依賴于ε的正常數(shù)。定理1.1證畢。

參考文獻：

［1］JOHN F.Blow-up of solutions of nonlinear wave equations in three space dimensions ［J］.Manuscripta Mathematica，1979，76（4）：1559-60.

［2］YORDANOV B，ZHANG Q S.Finite-time blowup for wave equations with a potential［J］.Siam Journal on Mathematical Analysis，2005，36（5）：1426-1433.

［3］HAN W.Finite time blow-up for semilinear wave equations with variable coefficients［J］.Forum Mathematicum，2013，27（4）：2217-2230.

［4］ZHOU Y，HAN W.Blow-up of solutions to semilinear wave equations with variable coefficients and boundary［J］.Journal of Mathematical Analysis&Applications，2011，374（2）：585-601.

［5］梅春亮，徐根海，章敏.帶位勢項的非線性波動方程解的破裂［J］.麗水學院學報，2015，37（5）：10-14.

［6］SIDERIS T C.Nonexistence of global solutions to semilinear wave equations in high dimensions［J］.J.Differential Equations，1984，52（3）：378-406.

［7］ZHOU Y，HAN W.Blow-up of solutions to semilinear wave equations with variable coefficients and boundary［J］.Journal of Mathematical Analysis&Applications，2011 （374）：585-601.

［8］ZHOU Y.Blow up of solutions to semilinear wave equations with critical exponent in high dimensions ［J］.Chin.Ann.Math，2007，28B（2）：205-212.