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    基于GPU加速的粒子流體動(dòng)力學(xué)流血模擬算法

    2018-04-18 11:11:12羅中粟潘一源唐良甫朱珂權(quán)李永強(qiáng)
    關(guān)鍵詞:法線流體三角形

    羅中粟 潘一源 唐良甫 朱珂權(quán) 李永強(qiáng)

    1(浙江工業(yè)大學(xué)國(guó)際學(xué)院 浙江 杭州 310023) 2(浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 浙江 杭州 310023)

    0 引 言

    近年來(lái),微創(chuàng)手術(shù)[1]得到了快速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用。但是,因?yàn)槲?chuàng)手術(shù)本身的特點(diǎn),醫(yī)生需要透過(guò)內(nèi)窺鏡來(lái)觀察患者體內(nèi)的局部狀況,這樣就大大增加了醫(yī)生的手術(shù)難度,而且對(duì)醫(yī)生來(lái)說(shuō)需要擁有一定的經(jīng)驗(yàn)。因此,術(shù)前手術(shù)訓(xùn)練對(duì)醫(yī)生來(lái)說(shuō)就顯得非常重要。虛擬手術(shù)訓(xùn)練系統(tǒng)利用觸覺(jué)交互設(shè)備和計(jì)算機(jī)虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)實(shí)現(xiàn)了手術(shù)過(guò)程的虛擬化,為醫(yī)生提供了一個(gè)沉浸式的訓(xùn)練平臺(tái),被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)培訓(xùn)與手術(shù)計(jì)劃中[2]。而組織形變與流血模擬等視覺(jué)效果是手術(shù)訓(xùn)練系統(tǒng)的重要組成部分。

    真實(shí)的流血模擬大多采用光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)(SPH)方法[3]。將流體離散成帶有屬性和體積的粒子,結(jié)合有限元的思想為每個(gè)粒子求解方程得到下一時(shí)刻的狀態(tài),粒子的屬性通過(guò)對(duì)周圍鄰居粒子的屬性使用核函數(shù)加權(quán)求和得到。2003年Muller等[4]第一次將其用于流體模擬,然而,該工作未解決流體的不可壓性。為了解決這個(gè)問(wèn)題,Becker等在2007年將Tait方程引入SPH方法,實(shí)現(xiàn)了弱可壓SPH,或簡(jiǎn)稱WCSPH[6]。該方法部分解決了流體的不可壓性,然而引入Tait方程的代價(jià)也是很大的,為了維持流體的穩(wěn)定性,模擬的時(shí)間步長(zhǎng)也必須相應(yīng)縮短到10-5級(jí),使得模擬的進(jìn)程非常緩慢。Solenthaler等[11]在2009年提出了預(yù)估校正不可壓SPH,即PCISPH,有效地解決了均勻密度單相流的不可壓?jiǎn)栴},模擬的步長(zhǎng)也提升了兩個(gè)數(shù)量級(jí)。但是,算法的計(jì)算量越來(lái)越大,其計(jì)算實(shí)時(shí)性問(wèn)題一直是虛擬手術(shù)訓(xùn)練應(yīng)用的瓶頸。

    為了解決大量粒子條件下的實(shí)時(shí)性問(wèn)題,首先我們使用PCISPH方法對(duì)粒子建模,然后對(duì)目標(biāo)區(qū)域劃分均勻網(wǎng)格并且使用最近相鄰粒子搜索法遍歷粒子,結(jié)果顯示算法的效率明顯提高。此外,本文使用CUDA技術(shù)[8-9]來(lái)提高計(jì)算的速度。同時(shí)本文采用一種改進(jìn)的移動(dòng)立方體方法對(duì)流體表面進(jìn)行實(shí)時(shí)渲染,增強(qiáng)了手術(shù)訓(xùn)練真實(shí)性。

    1 光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)

    1.1 PCISPH算法

    SPH是把流體離散成粒子的集合,每個(gè)粒子都攜帶著壓強(qiáng)、速度、加速度等屬性,對(duì)于空間中任意給定一點(diǎn)r的任意物理量A而言,使用SPH方法可以通過(guò)如下離散求和計(jì)算[10]:

    (1)

    式中:rj代表粒子j的位置,mj是指粒子j的質(zhì)量,ρj表示密度,W(r,h)表示半徑為h的光滑核函數(shù)。

    SPH的一大優(yōu)勢(shì)在于物理量的空間導(dǎo)數(shù)可以直接通過(guò)平滑核的導(dǎo)數(shù)加權(quán)和得到,即:

    (2)

    以及:

    (3)

    在歐拉公式中,等溫流體由速度v、密度ρ和壓力p描述。這些量隨時(shí)間的變化由以下兩個(gè)公式表示:

    (4)

    (5)

    式中:g表示重力加速度,μ表示液體的粘度。在SPH方法中,粒子的質(zhì)量和數(shù)量是恒定的,所以式(4)可以省略并且式(5)可以轉(zhuǎn)換為:

    f=-▽p+ρg+μ▽2v=fp+fg+fv

    (6)

    根據(jù)以上的規(guī)則,可以得到各個(gè)物理量的計(jì)算公式,如對(duì)于粒子i,它的密度可以通過(guò)領(lǐng)域的加權(quán)和計(jì)算:

    (7)

    壓力:

    (8)

    粘性力:

    (9)

    由于平滑核的選擇決定了SPH方法的穩(wěn)定性、精確性和計(jì)算速度,我們使用了平坦和歸一化的內(nèi)核以便得到二階精度的插值。我們?cè)O(shè)計(jì)了以下核函數(shù):

    (10)

    (11)

    (12)

    為了計(jì)算簡(jiǎn)便,本文使用一種不同但等價(jià)于文獻(xiàn)[11]方式進(jìn)行闡述。已知流體在不可壓的情況下有:

    (13)

    (14)

    若要使流體不可壓,就需要使得粒子的密度變化率為0,于是就可以設(shè)上一時(shí)間點(diǎn)的粒子密度總是等于ρ0,這樣便有:

    (15)

    PCISPH的算法流程如下:

    (1) 對(duì)于全部的粒子建立空間索引。

    (2) 根據(jù)粒子的加速度與時(shí)間步長(zhǎng)得到下一時(shí)刻的速度和位置。

    (3) 初始化壓強(qiáng)和壓力pi=0,F(xiàn)p=0。

    (4) 計(jì)算粒子在當(dāng)前壓力下的下一刻加速度、速度和位置。

    (5) 計(jì)算粒子在這樣的位置下的領(lǐng)域密度ρi,以及密度差Δρ=ρi-ρ0。

    (6) 根據(jù)Δρ對(duì)壓強(qiáng)pi進(jìn)行修正,并計(jì)算新的壓力Fp。

    (7) 根據(jù)當(dāng)前壓力計(jì)算下一步速度和位置。

    1.2 最近相鄰粒子搜索法

    為了提高 PCISPH算法的效率,我們使用最近相鄰粒子搜索法遍歷粒子,它的主要思想就是在目標(biāo)域中構(gòu)建臨時(shí)的網(wǎng)格。我們構(gòu)建的臨時(shí)網(wǎng)格大小等于支持域的大小,在當(dāng)我們計(jì)算某一個(gè)粒子的最近相鄰粒子時(shí),不需要遍歷目標(biāo)域中的所有粒子,而只需要遍歷某個(gè)所在的網(wǎng)格和相鄰的網(wǎng)格。此方法不僅縮小了研究問(wèn)題的區(qū)域,而且減少了參與計(jì)算的粒子數(shù)目,這樣,程序運(yùn)算的效率就提高了。假設(shè)支持域?yàn)閗h,那么我們構(gòu)建臨時(shí)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)也為kh。在使用最近相鄰粒子搜索法搜索的過(guò)程中,如果我們要搜索某一粒子i的最近相鄰粒子,可以首先找出某一粒子i最近相鄰粒子所在的區(qū)域范圍,即他們要么處于和粒子i相同的網(wǎng)格內(nèi),要么處于和粒子i網(wǎng)格空間相鄰的其他26個(gè)網(wǎng)格內(nèi),所以我們只需要搜索粒子i所在網(wǎng)格和相鄰網(wǎng)格共27個(gè)網(wǎng)格內(nèi)的粒子。程序流程如圖1所示。

    圖1 最近相鄰搜索法程序流程圖

    1.3 Cuda加速

    在模擬流血的過(guò)程中,為了保證模擬效果的真實(shí)性同時(shí)使得流血模擬更加的靈活,粒子數(shù)目不得不增加,但是這樣做會(huì)增加運(yùn)算的負(fù)擔(dān),容易造成實(shí)時(shí)性的損害。為此,本文利用CPU和 GPU的并行運(yùn)算,將所有可以并行執(zhí)行的運(yùn)算放在CUDA上計(jì)算來(lái)提高流血模擬以及虛擬手術(shù)訓(xùn)練系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性。整個(gè)程序的系統(tǒng)如圖2所示。

    圖2 GPU加速流程圖

    2 表面重建算法

    為了得到真實(shí)的渲染結(jié)果,每進(jìn)行一步的SPH模擬都要將點(diǎn)云轉(zhuǎn)化為可著色的表面。本文的表面重建步驟如下:

    (3) 對(duì)于三維密度場(chǎng)中每個(gè)體素,搜索其領(lǐng)域的粒子,根據(jù)體素中心到粒子距離進(jìn)行插值得到密度,插值時(shí)將距離乘以Si進(jìn)行調(diào)整。

    (4) 對(duì)三維密度場(chǎng)進(jìn)行立方體匹配,得到三角形網(wǎng)格。

    (5) 對(duì)三角形網(wǎng)格進(jìn)行表面細(xì)分,生成PN三角形,得到光滑的網(wǎng)格。

    2.1 移動(dòng)立方體算法

    移動(dòng)立方體[13]是一種經(jīng)典的從密度場(chǎng)生成三角形等值面的技術(shù)。它把密度場(chǎng)均勻劃分為格子,對(duì)格子的胞元的每個(gè)角點(diǎn)的密度場(chǎng)進(jìn)行評(píng)估,根據(jù)其是否大于某個(gè)常量閾值來(lái)決定生成三角形的形式。它的步驟如下:

    (1) 檢查胞元立方體的12條邊是否與等值面相交,如果邊的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)的密度小于閾值且另一個(gè)的密度大于閾值則判為相交,否則判為不相交。每條相交的邊都生成一個(gè)對(duì)應(yīng)的三角形頂點(diǎn)。

    (2) 通過(guò)胞元的8個(gè)角點(diǎn)是否大于等值面生成一個(gè)8位的索引(大于等值面該位則為1,否則為0)。每個(gè)索引對(duì)應(yīng)一種三角化的模式,因此通過(guò)索引便可得到哪些三角形頂點(diǎn)相連(如圖3所示)。

    圖3 Marching Cubes算法的15種基本情況

    (3) 對(duì)密度場(chǎng)進(jìn)行差分從而生成法線[14]:

    (16)

    當(dāng)使用移動(dòng)立方體算法時(shí),我們需要計(jì)算離散點(diǎn)陣的每個(gè)單元格,因此生成的網(wǎng)格不夠光滑。當(dāng)我們以高分辨率繪制表面時(shí),這種局限性將導(dǎo)致明顯的多邊形缺性。在本文中,我們使用PN三角形方法來(lái)平滑三角形網(wǎng)格邊緣和為頂點(diǎn)著色操作提供更多的采樣點(diǎn)。僅僅根據(jù)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)及其法線就可以生成平滑的細(xì)分三角形。見(jiàn)圖4。

    圖4 輸入數(shù)據(jù):頂點(diǎn)Pi和法線Ni

    如圖4所示:給定頂點(diǎn)P1,P2,P3∈R3和各個(gè)點(diǎn)的法線N1,N2,N3∈R3。首先計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的Bezier曲面控制點(diǎn)bijk:

    (1) 將bijk均勻分布在三角形上,三角形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)三個(gè)控制點(diǎn)b300、b030、b003。

    (2) 在每個(gè)角,將其對(duì)應(yīng)的兩條邊上的最近的點(diǎn)投影到與法線垂直的平面上,稱為切點(diǎn),如在b300可以生成兩個(gè)切點(diǎn)b201、b210。以此類推在另兩個(gè)角生成b102、b012以及b021、b120,如圖5所示。

    圖5 三角的貝塞爾曲面排列而成的控制網(wǎng)的系數(shù)

    (3) 將中心點(diǎn)朝六個(gè)切點(diǎn)的平均點(diǎn)移動(dòng),并越過(guò)移動(dòng)的方向再移動(dòng)1/2。

    曲線PN三角形的系數(shù)和控制點(diǎn)用公式表示如下:

    (17)

    2.2 雙邊法線平滑

    PN三角形可以解決網(wǎng)格過(guò)于粗糙的問(wèn)題,然而,為了生成光滑的表面,僅僅用PN三角形是不夠的。PN三角形細(xì)分出來(lái)的法線會(huì)導(dǎo)致照明呈凹凸?fàn)?,這主要是由于立方體匹配生成的網(wǎng)格中有大量的窄條,而在被PN三角形細(xì)分之后,這些窄條形的三角形會(huì)生成更多窄條形的三角形,從而使網(wǎng)格質(zhì)量顯著下降,見(jiàn)圖6。由于法線插值與三角形位置有關(guān),因此低質(zhì)量的網(wǎng)格最終會(huì)導(dǎo)致法線不平整。一般來(lái)說(shuō),為了提高網(wǎng)格質(zhì)量,可以對(duì)模型進(jìn)行重網(wǎng)格化,然而這類操作通常非常耗時(shí),不適用于實(shí)時(shí)應(yīng)用。

    圖6 使用PN三角形細(xì)分前后的網(wǎng)格

    由于法線平滑與否主要影響屏幕繪制時(shí)的渲染效果,本文選擇在屏幕空間對(duì)法線進(jìn)行雙邊濾波的方法[15]來(lái)平滑法線。這樣做的優(yōu)勢(shì)主要有:(1) 速度快,二維雙邊濾波可以使用兩個(gè)分離的易于平行的一維濾波器近似;(2) 效果好,實(shí)驗(yàn)證明這種方法可以很好地去除光滑表面法線不平整的瑕疵。

    首先將細(xì)分的網(wǎng)格光柵化至兩張紋理中,分別以浮點(diǎn)向量存儲(chǔ)位置以及法線信息。然后使用本文設(shè)計(jì)的雙邊濾波器對(duì)這兩張紋理進(jìn)行處理。本文定義它的形式為:

    (18)

    式中:Ω是像素的領(lǐng)域。

    (19)

    以及

    (20)

    該濾波器綜合了空間位置以及法向量自身的信息對(duì)法向量進(jìn)行平滑。它的設(shè)計(jì)概念主要源自兩點(diǎn):

    (1) 由于觀察到流體的表面曲率通常不高,幾乎不會(huì)出現(xiàn)直角和銳角,因此像素的法向相似,更可能屬于同一平面,應(yīng)允許平滑,不相似的更可能屬于不同平面,不應(yīng)該平滑。

    (2) 像素的空間位置相近的更可能在流體表面上測(cè)的距離相近,因此應(yīng)允許平滑;空間位置相離較遠(yuǎn)的像素其測(cè)地距離通常更遠(yuǎn),不應(yīng)該平滑。

    因此,本文定義衡量空間位置的函數(shù)為高斯函數(shù)的形式:

    (21)

    同時(shí)定義法線相似函數(shù)為:

    g(nx,ny)=saturate(nx·ny)

    (22)

    式中:saturate(x)為將x截?cái)嗟絒0,1]的截?cái)嗪瘮?shù)。

    3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

    本文所做的工作是在一個(gè)完整的病人特定的腦腫瘤切除模擬器開(kāi)發(fā)的背景下提出的。該模擬器提供了兩臺(tái)力反饋機(jī)器,有限元組織模型和在切除期間進(jìn)行拓?fù)溥m應(yīng)的模擬,真實(shí)的視覺(jué)反饋包括高分辨率的紋理和照明,平滑的投射陰影、深度和流血。

    表1顯示了我們的方法在CPU和GPU條件下不同粒子數(shù)時(shí)的計(jì)算速度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明雖然從CPU到GPU的數(shù)據(jù)傳輸需要很多時(shí)間,但使用CUDA技術(shù)顯著提高了計(jì)算速度。隨著粒子數(shù)量的增加,它能更有效地提高手術(shù)訓(xùn)練系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性。

    表1 采用CPU和GPU的模擬時(shí)間

    此外,為了提高計(jì)算速度,我們使用最近相鄰粒子搜索法來(lái)提高PCISPH算法的效率。圖7顯示了該方法相比全局搜索提高了PCISPH算法的效率。

    圖7 使用全員搜索方法和最近相鄰粒子搜索法的PCISPH仿真時(shí)間

    圖8顯示了SPH粒子的分布和進(jìn)行表面渲染后的粒子分布。從圖中可以看出,網(wǎng)格的邊緣不是很平滑,所以在本文中,我們使用PN三角形法來(lái)細(xì)分三角形,結(jié)果表明,使用我們的表面重建算法后,表面變得更加光滑了。因此,我們的方法大大提高了虛擬手術(shù)訓(xùn)練系統(tǒng)的真實(shí)性。為了清楚地看到虛擬手術(shù)系統(tǒng)的實(shí)際操作,我們給出了在用于腦手術(shù)的虛擬手術(shù)模擬系統(tǒng)中直接渲染粒子的結(jié)果,如圖9所示。

    圖8 不同方法對(duì)粒子表面渲染后的效果圖

    圖9 虛擬手術(shù)模擬系統(tǒng)渲染粒子結(jié)果

    4 結(jié) 語(yǔ)

    本文提出一種方法,有效地將流血模擬集成到神經(jīng)外科手術(shù)模擬過(guò)程當(dāng)中。本文的方法實(shí)現(xiàn)了表面出血的真實(shí)模擬,包括抽吸和燒灼。本文采用PCISPH方法對(duì)血液進(jìn)行建模并采用CUDA加速實(shí)現(xiàn),展示了與切割仿真系統(tǒng)結(jié)合的表面流血效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:本文模擬的流血效果具有良好的靈活性,能夠滿足不同的模擬需求,而基于GPU的實(shí)現(xiàn)大大提高了計(jì)算速度,滿足了虛擬手術(shù)中實(shí)時(shí)性的要求。此外,本文所用的表面重建算法獲得了逼真的出血效果,大大提高了手術(shù)訓(xùn)練系統(tǒng)的真實(shí)性。然而,如果我們想將此技術(shù)用于醫(yī)院的實(shí)際外科手術(shù)訓(xùn)練中,該技術(shù)仍然有很多需要改進(jìn)的地方。例如,在實(shí)際外科訓(xùn)練系統(tǒng)中,流血模擬必須與變形,吸取和切割相結(jié)合。此外,流血模擬的實(shí)時(shí)性和真實(shí)性需要進(jìn)一步提高。我們將在未來(lái)的工作中進(jìn)一步去研究。

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