基于空間諧波分析的典型加筋板結(jié)構(gòu)聲振特性

高雙，朱翔，李天勻，和衛(wèi)平，魏建輝

1武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，湖北武漢430205

2華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢430074

0 引 言

加筋結(jié)構(gòu)由于具有質(zhì)量輕，力學(xué)性能好等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于船舶、航天等領(lǐng)域。隨著《船上噪聲等級(jí)規(guī)則》［1］的實(shí)施，在工程領(lǐng)域?qū)Y(jié)構(gòu)的減振降噪要求越來越高，因而其動(dòng)力特性成為國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)。自上世紀(jì)80年代起，針對(duì)周期加筋板結(jié)構(gòu)的聲振特性，已經(jīng)提出了多種不同的理論。以南安普頓大學(xué)的 Mace［2］和 Mead等［3］為代表的團(tuán)隊(duì)對(duì)加筋結(jié)構(gòu)進(jìn)行了系統(tǒng)的理論分析，成為國內(nèi)外學(xué)者研究加筋結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。Mace［2］以受諧波激勵(lì)的正交異性加筋板為對(duì)象，將骨材視為線力反作用于板材，求解了其聲振特性，但沒有考慮骨材扭矩的影響；金葉青等［4］利用波數(shù)域中的方程組截?cái)?，提出了一種高效的周期加筋板聲輻射分析方法，但并未得到加筋板的解析解；吳文偉等［5］以加筋圓柱殼為算例，分析了等間距相同加強(qiáng)筋板的聲輻射；左言言等［6］從結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的波動(dòng)分析入手，介紹了頻率波動(dòng)的分析方法，但并未直接應(yīng)用該方法；Zhou等［7］引用空間諧波法分析了周期加筋板的聲振特性問題；魏強(qiáng)等［8］針對(duì)3種典型加筋船板，借助經(jīng)典波動(dòng)法，分析了阻尼、骨材等參數(shù)對(duì)船體板架聲輻射效果的影響；高雙等［9］應(yīng)用3種簡化方法對(duì)加筋板進(jìn)行簡化研究，為加筋板組合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)和低頻聲輻射問題提出了新的簡化思路，但未對(duì)加筋板的聲振特性展開研究。

本文將以普通單向周期加筋板為對(duì)象，分別考慮單周期單向加筋板和雙周期單向加筋板，將加筋板的骨材作用簡化為筋與板之間的純力耦合，運(yùn)用傅里葉變換，將空間域轉(zhuǎn)換到波數(shù)域，利用泊松公式及周期函數(shù)的性質(zhì)處理方程，得到加筋板結(jié)構(gòu)的位移解析方程，同時(shí)考慮骨材的扭矩作用，分析骨材扭矩作用對(duì)加筋結(jié)構(gòu)聲振特性的影響。通過穩(wěn)相法，在球坐標(biāo)系下給出遠(yuǎn)場聲壓的表達(dá)式。最后，通過算例分析得到骨材扭矩作用對(duì)加筋板結(jié)構(gòu)聲振特性的影響，同時(shí)討論激勵(lì)類型、激勵(lì)位置、骨材參數(shù)等因素對(duì)單、雙周期加筋板結(jié)構(gòu)聲振特性的影響。

1 理論分析

1.1 單周期加筋結(jié)構(gòu)聲振模型

考慮如圖1所示的處于xy平面的無限大薄板，在板的單面沿y向布置有肋骨，肋骨間距為l，在z＞0區(qū)域?yàn)榱黧w，外激勵(lì)為Pe(x，y)。

板的面外位移w(x，y)滿足振動(dòng)方程［10］：

由聲學(xué)波動(dòng)方程，考慮到板表面的流體振速與板的法向振速相同，可得流體聲載荷為［4］

式中：ρ0為流體密度；γ2=α2+β2-(ω/c0)2，其中c0為流體中聲速，考慮到對(duì)于遠(yuǎn)場聲壓P(α，z)=Ae-γz，(z＞0)，其中A為聲壓幅值，需滿足無窮遠(yuǎn)處輻射聲壓趨于0的邊界條件，因此γ的取值需滿足

對(duì)于骨材的作用，將骨材簡化為歐拉梁，只考慮骨材對(duì)板材的力的作用，忽略扭矩作用。由骨材和板材的位移關(guān)系，利用傅里葉變換、骨材的周期性以及泊松求和公式，得到骨材作用力的表達(dá)式［2］為

式中，Kf=EfIfβ4-ρfAfω2，為骨材波數(shù)域下的動(dòng)態(tài)剛度，其中Ef為骨材楊氏模量，If為骨材截面慣性矩，ρf為骨材密度，Af為骨材截面扭矩。定義Zp=Kf/l，為骨材阻抗。

將式（3）和式（4）代入式（2）中，有

式中，S(α，β)=[D(α2+β2)2-ρt0ω2-ρ0ω2/γ]-1，為板的動(dòng)剛度。令，式（5）可以寫成

用α-2πm/l替代α代入式（6），并把公式兩邊對(duì)m求和，考慮m，n無限疊加重合，有

考慮函數(shù)的周期性，有

將式（8）代入式（6），有

從而得到單周期加筋板在波數(shù)域的振動(dòng)方程位移解。

1.2 考慮骨材扭矩作用的單周期加筋板聲振模型

上節(jié)主要分析了骨材對(duì)板的力的作用，實(shí)際上骨材和板之間的耦合作用主要包含力和扭矩2種，雖然一般認(rèn)為在這2種耦合作用下力的耦合作用占主導(dǎo)，但扭矩作用在實(shí)際的結(jié)構(gòu)聲振分析中占多大貢獻(xiàn)需要在研究中予以考慮。本節(jié)同時(shí)考慮骨材的力和扭矩作用，忽略時(shí)間項(xiàng)，分析加筋板在考慮骨材的力和扭矩耦合情況下的振動(dòng)方程［3］：

式中：δ為Kronecker delta函數(shù)；M(x，y)為力矩作用，其表達(dá)式滿足［11］

式中：Gf=Ef/[2(1+ν)]，為骨材的剪切模量；Jf為扭轉(zhuǎn)常數(shù)；I0為骨材極慣性矩。將式（11）代入式（10），考慮傅里葉變換的性質(zhì)，將式（10）變換到波數(shù)域，有

利用傅里葉變換及泊松求和公式，得到骨材的力和扭矩的作用［12］。

將式（13）代入式（12），從而有

為便于表述，在此節(jié)推導(dǎo)過程中假設(shè)板受到的激勵(lì)為簡諧聲激勵(lì)，諧波激勵(lì)定義為：

其中Q為諧波力的幅值，α0，β0分別為x，y方向上的波數(shù)。骨材阻抗

骨材扭轉(zhuǎn)阻抗

由函數(shù)周期性，有

用α+2πm/l替代α，考慮函數(shù)的周期性，并對(duì)式（14）左右對(duì)m求和疊加，以及兩邊同乘α=α+2πm/l求和并簡化，有

由方程組（16）的求解，可得

將式（17）代入式（14），有

即可得到考慮骨材的力和扭矩作用下單周期加筋板在波數(shù)域的振動(dòng)位移解，當(dāng)受到的激勵(lì)為力激勵(lì)時(shí)，式中各參數(shù)做相應(yīng)的改變亦可得到類似的表達(dá)式。

對(duì)于式（18），令Ztp=0，退化成不考慮扭矩的作用：

由式（19）可知，QSa與上文中的P(α，β)一致，可見考慮扭矩的解析式退化后與上文不考慮扭矩的位移表達(dá)式（9）結(jié)果吻合，驗(yàn)證了推導(dǎo)的正確性。

通過上文的推導(dǎo)也可以看到，考慮扭矩后，加筋板結(jié)構(gòu)的推導(dǎo)復(fù)雜得多，其計(jì)算量也極大地增加。在實(shí)際算例中發(fā)現(xiàn)，考慮骨材扭矩作用后，在2種耦合作用下，力的耦合作用占主導(dǎo)，扭矩對(duì)加筋板的結(jié)構(gòu)聲振特性影響很小，在一般工程計(jì)算分析中可忽略不計(jì)。

1.3 雙周期加筋板聲振模型

在船舶結(jié)構(gòu)中，縱骨和縱桁同時(shí)存在的現(xiàn)象較為常見，因此可以將其簡化為如圖2所示的雙周期加筋結(jié)構(gòu)，大小骨材的周期交錯(cuò)用填補(bǔ)法來考慮，即將雙周期加筋板看成是2個(gè)單周期加筋板的組合。圖2中，縱骨間距為l，桁材間距為ql，其他參數(shù)與1.1節(jié)中一致。同時(shí)由于1.2節(jié)的分析結(jié)果，本節(jié)在分析雙周期加筋板結(jié)構(gòu)時(shí)不再考慮骨材的扭矩作用。

其面外位移w(x，y)滿足如下振動(dòng)控制方程［13］：

式中，F(xiàn)f(x，y)和Fg(x，y)分別為縱骨和桁材對(duì)板的作用力。通過傅里葉變換，將式（20）變換到波數(shù)域，考慮傅里葉微分定理，得到

同理，可得到骨材和桁材的動(dòng)態(tài)剛度為：

式中：Eg為桁材的楊氏模量；Ig為桁材的截面慣性矩；ρg為桁材密度；Ag為桁材的截面扭矩?？梢詫㈦p周期加筋板視為剛度為Kf、間距為l的小骨材，以及剛度為（Kg-Kf）、間距為ql的桁材單周期加筋板的疊加。將骨材視為線力，利用傅里葉變換及泊松求和公式，得到骨材的作用力［10］為

將式（22）代入式（21），結(jié)合1.1節(jié)的推導(dǎo)，有

由于只x方向上存在骨材，故可以考慮固定β來分析α波數(shù)方向的振動(dòng)。同樣，對(duì)上述參數(shù)進(jìn)行簡化：

這樣，式（23）便可表達(dá)為

構(gòu)造參數(shù)r，m，用α-2πr/ql-2πm/l替代α代入式（25）并且兩邊無限求和，有

對(duì)式（26）合并同類項(xiàng)，有

對(duì)參數(shù)r取0到q-1，方程左右疊加，有

特例r=0時(shí)，有

將式（28）代入式（29），同時(shí)將式（28）和式（29）代入式（25），可以得到

也即得到了雙周期加筋結(jié)構(gòu)的波數(shù)域振動(dòng)方程解析解。令

則式（31）可以簡化成

經(jīng)分析不難發(fā)現(xiàn)，wf(α，β)為小骨材對(duì)平板的作用，wg(α，β)為桁材對(duì)平板的作用。若大小骨材一致，Kg=Kf，即H=0，wg(α，β)=0 ，則退化為單向單周期加筋板的振動(dòng)位移表達(dá)式，其結(jié)果與上文式（9）的推導(dǎo)結(jié)果一致，驗(yàn)證了上文推導(dǎo)的正確性。

1.4 加筋結(jié)構(gòu)的聲輻射

通過求解加筋板的振動(dòng)控制方程得到波數(shù)域的振動(dòng)位移解后，通過傅里葉逆變換即可得到空間域的加筋板振動(dòng)位移解。在球坐標(biāo)系(R，θ，φ)下，利用穩(wěn)相法，可以得到遠(yuǎn)場聲壓的近似解［11］：

式中：觀察波數(shù) (α*，β*)為α*=(ω/c0)sinθcosφ，β*=(ω/c0)sinθsinφ；θ為場點(diǎn)與z軸方向的夾角；φ為場點(diǎn)與x軸方向的夾角。

在水中，遠(yuǎn)場輻射聲壓用聲壓級(jí)Lp來衡量，Lp=20 lg(p/p0)，其中p0為參考聲壓，在水中，參考聲壓取p0=1×10-6Pa。不考慮時(shí)間項(xiàng)，在典型集中力的激勵(lì)下，Pe(x，y)=Qδ(x-x0)δ(y-y0)，集中力作用在 (x0，y0)處，在波數(shù)域下表示為；在典型諧波激勵(lì)下，Pe(x，y)=（其中α0，β0為x，y方向上的波數(shù)），在波數(shù)域下表示為本文在空間球坐標(biāo)系下取R=1，θ=0，φ=π/2，投影到波數(shù)域上即為R=1，α*=0，β*=0 ，作為觀察波的方向，分別選取諧波激勵(lì)和力激勵(lì)分析典型加筋板的水下聲振特性。

2 算例分析

下面將對(duì)單周期加筋板、考慮扭矩加筋板、雙周期加筋板進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)及輻射聲壓的計(jì)算分析。2種加筋結(jié)構(gòu)的材料屬性相同，材料屬性和幾何尺寸如下：板厚t0=5 mm，泊松比ν=0.3；考慮阻尼的作用，楊氏模量E=(1+0.02j)1.95×1011Pa，扭轉(zhuǎn)常數(shù)Jf=2.02×10-9m4，密度ρ=7.7×103kg/m3，流體介質(zhì)密度ρ0=103kg/m3，聲速c0=1.5×103m/s；骨材截面尺寸為5 mm×50 mm，骨材間距l(xiāng)=50 mm；桁材截面尺寸為 10 mm×100 mm，桁材間距L=ql，q=9。

2.1 單周期加筋板的聲振特性分析

圖3～圖6所示分別為單周期加筋板在原點(diǎn)單點(diǎn)力激勵(lì)和垂向（θ=0，φ=π/2）諧波激勵(lì)下的原點(diǎn)位移幅值及遠(yuǎn)場輻射聲壓級(jí)曲線（圖中，W為振動(dòng)位移幅值），同時(shí)，也給出了平板的位移和輻射聲壓以便于對(duì)比分析。

由圖3～圖6可見，與平板相比，單周期加筋板的振動(dòng)和聲輻射響應(yīng)曲線均有明顯的振蕩。由于骨材的存在，將平板劃分為局部板格單元會(huì)造成局部振動(dòng)。同時(shí)，單周期的加筋布置使振動(dòng)彎曲波在結(jié)構(gòu)傳播中呈現(xiàn)聲子晶體的特點(diǎn)［14］，形成周期性的波峰、波谷和禁帶特性。圖5和圖6還給出了激勵(lì)位置不同時(shí)的聲壓級(jí)曲線。圖5中，x0=0和x0=0.25分別表示力激勵(lì)作用在骨材上和平板上；圖6中 (α0，β0)=(0，0)表示諧波激勵(lì)垂直作用在加筋板上，(α0，β0)=(π/4，π/4)表示諧波激勵(lì)與加筋板成45°激勵(lì)。由圖5和圖6可見，輻射聲壓級(jí)曲線與激勵(lì)的位置有關(guān)，激勵(lì)作用在骨材上時(shí)聲壓級(jí)明顯減小，并且聲壓級(jí)的峰值隨頻率的增加而減小，這是因?yàn)楣遣牡淖杩故请S頻率的增加而增加，抑制了整個(gè)結(jié)構(gòu)的聲壓輻射。在波數(shù)域下，同樣由于骨材的存在，聲輻射出現(xiàn)了波谷，說明了骨材對(duì)結(jié)構(gòu)聲輻射的抑制作用。

圖7～圖9討論了在點(diǎn)力激勵(lì)下骨材大小、間距、板厚等參數(shù)對(duì)單周期加筋板聲輻射的影響，同樣，也給出平板的聲輻射并與之進(jìn)行了對(duì)比。圖中，h為骨材高度。

由圖7～圖9可以看到，加筋板的聲輻射特性與骨材及平板的參數(shù)密切相關(guān)。隨著骨材的增大，加筋板聲輻射曲線基本保持一致，但峰值明顯下移，說明骨材對(duì)抑制加筋板的聲輻射有著明顯的作用，隨著骨材的增大，其抑制作用增強(qiáng)；隨著骨材間距的增大，加筋板的剛度降低，固有頻率降低，輻射聲壓級(jí)峰值向低頻移動(dòng)，同時(shí)隨著骨材間距的增大，聲壓級(jí)曲線振蕩波動(dòng)加劇，峰值減?。粚?duì)于單向加筋板，隨著板厚的增大，其剛度增大，結(jié)構(gòu)的固有頻率增加，且聲壓級(jí)曲線峰值向高頻移動(dòng)，輻射聲壓級(jí)明顯降低。

2.2 骨材扭矩對(duì)加筋板聲振特性的影響分析

圖10～圖11所示為對(duì)單周期加筋板分別施加力激勵(lì)和諧波激勵(lì)，以及是否考慮骨材扭矩作用的原點(diǎn)振動(dòng)位移幅值和遠(yuǎn)場輻射聲壓級(jí)對(duì)比曲線。

由圖10～圖11可以知道，無論是在力激勵(lì)還是諧波激勵(lì)下，考慮骨材的扭矩作用后，加筋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移曲線和遠(yuǎn)場聲壓級(jí)曲線與不考慮骨材扭矩的作用時(shí)基本一致，扭矩作用對(duì)加筋板結(jié)構(gòu)聲振特性影響很小，故在一般工程計(jì)算分析中可忽略不計(jì)。本文在有關(guān)骨材參數(shù)對(duì)聲振特性的分析中可以不考慮骨材的扭矩作用。

2.3 雙周期加筋結(jié)構(gòu)的聲振特性分析

圖12～圖13所示為原點(diǎn)力激勵(lì)下，對(duì)于平板、單周期加筋板和雙周期加筋板，其原點(diǎn)振動(dòng)位移幅值和遠(yuǎn)場輻射聲壓級(jí)曲線。

雙周期加筋板相當(dāng)于把單周期加筋板的某些骨材參數(shù)增大，因此和平板、單周期加筋板相比，雙周期加筋板的振動(dòng)和聲輻射整體水平偏小，與上文隨著骨材尺寸的增大能有效抑制加筋板的振動(dòng)和聲輻射的結(jié)論一致。同時(shí)，由于部分骨材增大后加筋板的剛度也增加，致使雙周期加筋板的聲振特性曲線峰值均略向高頻移動(dòng)。另雙周期結(jié)構(gòu)在一個(gè)波動(dòng)區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)了一個(gè)小的雙周期波動(dòng)，這體現(xiàn)了雙周期結(jié)構(gòu)的聲子晶體特性，其會(huì)在一個(gè)大周期內(nèi)出現(xiàn)局部間隙，形成小的波谷。

圖14～圖17所示分別為在原點(diǎn)力激勵(lì)下，激勵(lì)位置、骨材間距、骨材大小和板厚等參數(shù)對(duì)雙周期加筋板聲輻射特性的影響。

由圖14～圖17可以看到，對(duì)于雙周期加筋板，當(dāng)激勵(lì)力依次在大骨材（x0=0）、平板（x0=0.5l）和小骨材（x0=l）上時(shí)，整體結(jié)構(gòu)的聲輻射變化趨勢一致，其中作用在平板上時(shí)結(jié)構(gòu)的聲輻射水平最高，作用在大骨材上時(shí)結(jié)構(gòu)的聲輻射水平最低，因?yàn)檫@時(shí)的阻抗最大。在船舶結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，可以考慮將激勵(lì)位置盡可能設(shè)計(jì)在強(qiáng)構(gòu)件上，這樣可以有效降低結(jié)構(gòu)的聲輻射；隨著骨材間距的增大，加筋板的剛度降低，固有頻率降低，輻射聲壓級(jí)峰值向低頻移動(dòng)，同時(shí)隨著骨材間距的增大，聲壓級(jí)曲線的振蕩波動(dòng)加劇，峰值減小，回歸于平板的中間水平；隨著大骨材尺寸的增大，加筋板的聲輻射曲線基本保持一致，但峰值及均值明顯下移，說明骨材對(duì)于抑制加筋板的聲輻射有明顯的作用，隨著骨材的增大，其抑制作用也增強(qiáng)；對(duì)于雙周期加筋板，隨著板厚的增大，其剛度增大，結(jié)構(gòu)的固有頻率增加且聲壓級(jí)曲線峰值向高頻移動(dòng)。

3 結(jié) 論

本文通過對(duì)單周期、雙周期加筋板的振動(dòng)控制方程進(jìn)行推導(dǎo)，得到了其振動(dòng)及遠(yuǎn)場輻射聲壓解析解，討論了考慮骨材扭矩與否的區(qū)別，并針對(duì)單、雙周期加筋板的激勵(lì)類型、激勵(lì)位置、骨材參數(shù)及板厚等因素對(duì)聲振特性的影響進(jìn)行了討論，得到如下結(jié)論：

1）骨材扭矩對(duì)結(jié)構(gòu)聲振特性的影響較小，但使得結(jié)構(gòu)的推導(dǎo)變得復(fù)雜，同時(shí)還會(huì)增加計(jì)算量，從工程計(jì)算的角度，在計(jì)算加筋板的聲振特性時(shí)，可以不考慮骨材扭矩對(duì)板材的作用。

2）激勵(lì)點(diǎn)的位置對(duì)結(jié)構(gòu)的聲輻射影響很大，當(dāng)激勵(lì)作用在骨材上時(shí)，其聲輻射幅值會(huì)較激勵(lì)于平板上時(shí)明顯降低，因此在實(shí)際的船舶結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，可以考慮將激勵(lì)盡可能設(shè)計(jì)在強(qiáng)構(gòu)件處。

3）骨材間距、骨材尺寸對(duì)結(jié)構(gòu)聲振特性的影響明顯，隨著骨材間距的增加，聲壓級(jí)曲線會(huì)向低頻移動(dòng)，結(jié)構(gòu)的聲輻射水平會(huì)隨著骨材的增大而明顯降低，說明骨材增大可以有效抑制結(jié)構(gòu)的聲輻射。

4）對(duì)于加筋板，隨著板厚的增加，聲壓級(jí)曲線峰值會(huì)向高頻移動(dòng)，其對(duì)聲輻射大小的影響比較復(fù)雜。

5）周期加筋結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了周期性的波峰和波谷，可以利用骨材參數(shù)對(duì)聲子晶體帶隙的影響來抑制某些頻率的振動(dòng)傳遞和聲輻射。

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