化歸方法及其應(yīng)用

計(jì) 軍

（遼寧省彰武縣滿堂紅九年制學(xué)校 遼寧阜新 123200）

數(shù)學(xué)在其漫長的發(fā)展過程中，不僅構(gòu)建了嚴(yán)密的思想體系，而且形成了一套行之有效的思想方法，劃歸思想就是常用的方法之一。

一、化歸原則

人們在研究和運(yùn)用數(shù)學(xué)的長期實(shí)踐中，獲得了大量的成果，也積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，許多問題的解決也形成了固定的方法模式和約定俗成的步驟。人們把這種有既定解決方法和程序的問題叫做規(guī)范化或稱為化歸，化歸就是運(yùn)用某種方法和手段把有待解決的較為生疏較為復(fù)雜問題歸結(jié)為所熟悉的規(guī)范性問題來解決的方法。[1]

例如，對于一元二次方程，人們已經(jīng)掌握了求根公式，因而求解一元二次方程的問題是規(guī)范問題，而把分式方程、無理方程通過換元等方法轉(zhuǎn)化為一元二次方程就是問題的規(guī)范化。其中換元是實(shí)現(xiàn)規(guī)范化的手段，具有轉(zhuǎn)化歸結(jié)的作用，可以稱這為化歸的方法。

規(guī)范問題具有確定性，相對性和發(fā)展性的特征。對于規(guī)范問題，人們不但可以運(yùn)用書籍的理論和技術(shù)達(dá)成問題的解決，而且已經(jīng)掌握了固定的步驟和程序，這就是確定性，所謂相對性，是指對于數(shù)學(xué)研究工作者以及不同層次的學(xué)習(xí)者，規(guī)范問題的范圍并不相同。例如建于高中生和初中生而言，對于初中生不是規(guī)范性問題對于高中生就可以看作規(guī)范性問題，隨著個(gè)人數(shù)學(xué)知識的增長，規(guī)范問題也在不斷擴(kuò)大，因此規(guī)范問題又具有發(fā)展性。[2]

化歸原則的核心是實(shí)現(xiàn)問題的規(guī)范化。也就是把一個(gè)生疏的、復(fù)雜的問題化為熟悉的、簡單的問題，以便利用已知的理論、方法和程序?qū)崿F(xiàn)問題的解決，它的結(jié)構(gòu)圖如下所示。由此不難看出，熟悉化和簡單化是化歸的基本方向。

二、化歸原則的基本思想

化歸原則的結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)涵著三個(gè)基本要素，即化歸的對象，目標(biāo)和方法，化歸的對象就上待解問題中需要變更的成分，化規(guī)的目標(biāo)是指所要達(dá)到的規(guī)范問題。所謂化歸的方法，就是規(guī)范化的手段，措施和技術(shù)。例如對于初中生而言解二元一次方程組，一般要化為一元一次方程，這里二元一次方程線是化歸對象，一元一次方程是化歸的目標(biāo)，而把二元一次方程組化為一元一閱人多矣次方程所用帶入法或加減法就是化歸的方法，在化歸的三要素中，化歸應(yīng)選是實(shí)現(xiàn)化歸的關(guān)鍵，這是顯而易見的。唯物辯證法指出，客觀事物是發(fā)展變化的，不同事物間存在著種種聯(lián)系，各種矛盾無不在一定的條件下互相轉(zhuǎn)化，化歸正式人們對這種聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的一種能動的反映。從哲學(xué)的高度看，化歸原則著眼于提示矛盾實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，在遷移轉(zhuǎn)化中達(dá)到問題的規(guī)范化。因此，化歸原則裨上是轉(zhuǎn)化矛盾的原則，它的“運(yùn)動－轉(zhuǎn)化－解決矛盾”的基本思想具有深刻的辨證性質(zhì)。

三、化歸原則中，實(shí)現(xiàn)化歸的方法是多樣的

按照應(yīng)用范圍的廣度來劃分，數(shù)學(xué)中的化歸方法分為三類，就是多維化歸方法，二維化歸方法和單維化歸方法。

1.多維化歸方法，就是跨越多種數(shù)學(xué)分支，廣泛適用于數(shù)學(xué)各學(xué)科的化歸，歸方法。例如，換元方法，恒等變換法、反證法、構(gòu)造法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法等，它們既適用于幾何、三角等初等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，又適用于高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分學(xué)科，其應(yīng)用十分廣泛，因而屬于多維化歸方法。

2.二維化歸方法，這是指溝通兩個(gè)不同數(shù)學(xué)分支學(xué)科的化歸方法，是兩個(gè)分支學(xué)科之間的轉(zhuǎn)化。例如，解析法、三角帶換法等都可以溝通兩個(gè)數(shù)學(xué)分支學(xué)科，以便發(fā)揮兩個(gè)學(xué)科的理論和方法的優(yōu)勢實(shí)現(xiàn)問題的解決，因而都是二維化歸方法。

3.單維化歸方法，這是只適用于某一學(xué)科的化歸方法。是本學(xué)科系統(tǒng)內(nèi)部的轉(zhuǎn)化。例如，代入法、加減法、判斷式法、坐標(biāo)變換法等都是單維化歸方法。[3]

例1： 如圖，菱形ABCD中，AB=2、∠BAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對角線AC上任一動點(diǎn)，則PE+PB的最小值是多少？

分析：求PE+PB的最小值問題可以轉(zhuǎn)化為“求作線段AC上一點(diǎn)G，使G到已知點(diǎn)E、B的距離之和最短”的問題，這個(gè)簡單問題被放到菱形中去，自然的想到菱形是軸對稱圖形，我們只要連接E和B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D，則線段DE與AC的交點(diǎn)G，就是線段AC上到點(diǎn)E、B的距離和最笑的點(diǎn)，由于GB=GD，所以GB+GE=DE在等邊△AB D中，易求出DE=，故PE+PB最小值為。

例2：解方程組 2X－Y＋Z=－1 ①

X＋3Y－2Z=－5 ②

4X－3Y－5Z=7 ③

分析這是一個(gè)三元一次方程組，考慮先化為二元一次方程組，再化為一元一次方程組，具體方法為 ②＋③得5X－7Z=2④

①X3得＋②得7X＋Z=－8⑤

得二元一次方程組 5X－7Z=2 ④

7X＋Z=－8 ⑤

第一次化歸完成，再由⑤得Z=－8－7X代入④

得關(guān)于X的一元一次54X=54達(dá)到化歸目的。

例3：某工件的形狀如圖所示，圓弧BC的度數(shù)為60?，B=6cm，點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離等于AB，∠ BAC=30?，則工件的面積等于（）

（A）4π （B）5π （C）8π （D）10π

分析：本題所給的圖形是陌生的，為此我引導(dǎo)學(xué)生設(shè)法分解圖形，將它轉(zhuǎn)化為我們熟悉的基本圖形，如連接，即出現(xiàn)一個(gè)等腰三角形ABC和一個(gè)弓形，對于弓形可進(jìn)一步補(bǔ)全圖形畫出BC所在的圓，將其轉(zhuǎn)化為個(gè)圓的面積的問題，顯然，其工件面積為6π，選B.