“組合圖形的面積”教學(xué)紀(jì)實、反思與研究

楊偉光 楊戈

教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》五年級上冊第六單元“多邊形面積”第99頁 “組合圖形的面積”。

教學(xué)目標(biāo)：

1.學(xué)生通過對5種基本圖形的拼組，能夠理解組合圖形的形成過程，形成分割或添補求組合圖形面積的策略。

2.通過小組合作探究，探究解決問題的多種方法，拓寬學(xué)生的思維空間。

3.滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積。在小組合作探究中培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和創(chuàng)新精神。

教學(xué)重、難點：理解組合圖形的形成過程，能夠形成分割或添補求組合圖形面積的策略。

一、 復(fù)習(xí)導(dǎo)入

師：請大家回憶，我們到現(xiàn)在為止學(xué)過的平面圖形有哪些？

生：學(xué)過的平面圖形有長方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形。

師：我們從直觀上認(rèn)識的圖形其實不僅僅是這5種，但是我們對這5種圖形進行了比較深入的了解和學(xué)習(xí)，以上這5種平面圖形的面積該如何表示？

生1：我知道三角形的面積：底×高÷2，用字母表示是S=ah÷2。

生2：我知道平行四邊形的面積：底×高，用字母表示是S=ah。

生3：我知道梯形的面積：（上底+下底）×高÷2，用字母表示是S=（a+b）×h÷2。

生4：我知道長方形的面積：長×寬，用字母表示是S=ab。

生5：我知道正方形的面積，正方形的面積是邊長×邊長，用字母表示是S=a2。

師：那么今天我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)有關(guān)平面圖形面積的知識，讓我們共同走進今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容——組合圖形的面積。（板書課題。）

二、 探究組合圖形形成過程

師：看到這個課題大家是不是會產(chǎn)生一些思考？或者說說對“組合圖形”你是怎樣理解的？就像當(dāng)你知道由一個新老師來上課時，你們是不是會猜測老師長什么樣，有什么特點，等等？現(xiàn)在來說一說當(dāng)你看到課題時的想法。

生1：我認(rèn)為組合圖形是由兩個我們認(rèn)識的圖形拼裝在一起的。

師：她說組合圖形是由兩個我們認(rèn)識的圖形拼裝在一起的，我覺得表述的有點局限，你們再思考一下。

生2：我覺得組合圖形是由幾個圖形組合在一起的。

師：我覺得這個詞用起來會好一些，是不是一定要局限于兩個圖形呢？（生：不是。）

師：那接下來我們可以動手操作體會一下，老師給每一桌準(zhǔn)備了一套學(xué)具材料，這套學(xué)具材料由同桌兩名同學(xué)共同使用，由于我們剛開始接觸，因此從最基本的開始，用兩個圖形按照你的想法拼出你喜歡的組合圖形。

（學(xué)生動手開始拼組。師巡視，讓兩名學(xué)生黑板拼組。）

師：活動先到這里，剛才老師看了一下，每個同學(xué)都按照自己的想法選擇了其中的兩種圖形進行了拼組。我選擇兩名同學(xué)到黑板展示拼組情況。首先我們看第一名同學(xué)的拼組情況，這個圖形像什么？（生：房子。）說明數(shù)學(xué)跟我們的生活有密切的聯(lián)系。再來看第二個圖形，如果我們留心觀察，這個組合圖形與我們門前的花壇很像，我們就先選擇這兩個圖形進行研究。

師：我先找第一名同學(xué)來說一說，你這個圖形是怎么構(gòu)成的？

生1：我這個圖形是由一個三角形和一個正方形構(gòu)成的。

師：那第二個圖形呢？

生2：我這個圖形是由一個長方形和一個正方形構(gòu)成的。

師：通過剛才你們親自動手，實踐感知，我們發(fā)現(xiàn)可以借助平面圖形之間的組合來構(gòu)成組合圖形。（師板書組合圖形。）

師：我把這個小房子圖形進行一些變動，把它變成這樣的形式，我如果要求這個圖形的面積，你現(xiàn)在有方法嗎？如果你有方法有思路就說給我們聽一聽。

生：先把三角形的面積求出來，再把正方形的面積求出來，加在一起，就可以求出這個圖形的面積了。

師：說得不錯，但是如果你要是能先說一下你的想法就更好了，你是把這個圖形進行了怎樣的處理，你能不能再重新說一遍？

生：先把它切割成三角形和長方形。

師：切割這個詞說得特別好，繼續(xù)說。

生：先把它切割成一個三角形和一個正方形，再把三角形和正方形的面積求出來，加在一起，就可以求出這個圖形的面積。

師：怎么樣？大家認(rèn)同嗎？

生：好?。ü恼?。）

師：我覺得你們可能在猶豫下面的這個圖形到底是長方形還是正方形，那我們靠什么可以確定這個是哪種圖形呢？大膽說不用舉手。

生：用直尺量。

師：好辦法，量一下這個邊和這個邊就可以了，其實你就是想要知道什么？

生：邊長。

師：一旦我們獲得了必要的數(shù)據(jù)，就能確定這個是長方形還是正方形，現(xiàn)在我先按照同學(xué)的想法，把它切割開，把它分成了一個三角形和一個正方形，我把你分割的過程體現(xiàn)在這兒。

師：也就是說你的想法是把這個圖形分為這樣的兩個基本圖形，然后分別求得這兩個圖形的面積之后，再把兩個圖形的面積加在一起，相加之和就是這個組合圖形的面積了。

師：剛才這個同學(xué)用了一個很好的詞叫作“切割”，數(shù)學(xué)里我們稱為“分割”。這個詞就把我們的思路體現(xiàn)了出來。我們發(fā)現(xiàn)組合圖形可以通過分割的方式，將它還原回我們最初圖形組合的一種構(gòu)成狀態(tài)。在一個事物的完成過程中，我們可以從正或者從反兩個方向去考慮問題。我的問題又來了，對于這個圖形，你們剛才采用了一種分割方式，那這個圖形是不是只有這樣一種分割方式呢？（生：不是。）

師：那就請你們繼續(xù)表達你們的想法。

生：我可以把這個圖形分割成兩個一模一樣的梯形。

師：我覺得你這么說，可能有些同學(xué)聽得還不是太清楚，你到前面來，把你的想法更具體地給大家展示出來。

生：把這個圖形分割成兩個一模一樣的梯形，再拼成一個長方形，然后再計算，就是這個組合圖形的面積。

師：我覺得他前面的觀點我是贊同的，他把這個圖形分割成兩個梯形，分成兩個梯形我們還用不用再拼了？（生：不用。）

師：如果我能獲得兩個梯形的面積，相加就可以得到這個組合圖形的面積。

師：這個分割過程怎樣才能在圖中清楚地表示出來呢？（生：畫線。）

師：那畫什么樣的線？（生：虛線。）

師：我就按照你們的想法把它畫出來。

師：我們發(fā)現(xiàn)，借助于分割的方式，可以把組合圖形還原成最原始的圖形組合的一個狀態(tài)。我希望大家在解決問題中能以更多的角度去觀察問題，獲得更多的方法。我們來看第二個圖形，把這個圖形改變一下，更像我們門前的這個花壇。

三、小組合作探究

師：老師為每人準(zhǔn)備了一張題卡紙，這幅圖形的數(shù)據(jù)，已經(jīng)在圖中標(biāo)出來了，以4個人為一個小組共同研究，把你的想法說給你同組的組員，并寫在你的題卡紙上。如果別的同學(xué)介紹了他的想法，你覺得很好，你可以把他的想法也寫在你的題卡紙上，現(xiàn)在開始吧！

（小組討論研究，師巡視指導(dǎo)。）

師：請同學(xué)們迅速坐好，我剛才看了一下，發(fā)現(xiàn)每組同學(xué)都很積極地在一起研究，那現(xiàn)在哪組可以到前面，把你們研究的結(jié)果匯報一下？其他同學(xué)請認(rèn)真傾聽。

生：我想先求出整個面積，再將缺口面積求出來，整個圖形的面積減去缺口圖形的面積，就是這個圖形的面積。

師：我發(fā)現(xiàn)他的這個想法另辟蹊徑，剛才我們在研究的過程中，得到的是一種分割方法，他恰恰跟我背道而馳，但是這條路能不能走通？（生：能。）說得很有道理，那他就是對的。

師：他的想法是先求出整體圖形的面積，其實在你的腦子里形成了一個添補的過程，那我把添補的這一塊補上去，為了更好地區(qū)分，用另一種顏色來補，補完之后，這變成了一個什么圖形？（生：長方形。）這就可以求出它的面積了，那在補的這塊又是什么圖形？（生：長方形。）用這個大長方形的面積減去這個小長方形的面積就得出組合圖形的面積了。

師：這是一個多么好的發(fā)現(xiàn)，這么好的一個思路，我們就把它表示出來，剛才我們總結(jié)出了分割的方法，他的這種方法完全跟我們總結(jié)出的相反，我們叫它什么？（生：修補。）用詞不一樣，有的叫修補，有的叫添補，我覺得添補更合適一些。通過這種添補的方式，我們也可以解決這個組合圖形的問題，也能夠把它轉(zhuǎn)化成圖形的組合結(jié)構(gòu)，只不過它就變成了兩個長方形的組合形式，但是有一個不在我們的組合圖形之內(nèi)，我們需要把它怎么樣？（生：剪下來。）思路有了，請把你的計算過程說一說。

生：20×15=300cm2

10×（15-10）=50 cm2

300-50=250 cm2

師：跟你們的結(jié)果相同嗎？（生：相同。）

師：結(jié)果相同，是不是有些同學(xué)和他的方法不一樣，誰來說說你的方法？

生：我的方式是從中間這切割。（動手操作。）然后求出左右兩塊圖形的面積，再把這兩塊面積相加，就等于這個圖形的面積了。

師：你把剛才的思路直接寫下來。（生寫思路。）我們一起檢驗一下你的計算過程。我覺得在檢驗過程中我們既要看、要聽、要想，還要記，如果他的方法和你的不同，但他的這種方法你又認(rèn)可，你就應(yīng)該把它寫下來。

師：還有想說的嗎？

生：我的想法是把這個圖形分割成兩個梯形，算出這個梯形的上底、高，就可以算出這個圖形的面積，再算出另一個圖形的面積，相加就等于這個組合圖形的面積。

師：還有沒有別的方法？

生：我的想法是從這分割，（動手分割）先求出上面圖形的面積，再求出下面圖形的面積，再把它們兩個相加，就是整個圖形的面積了。

師：同學(xué)們想了這么多方法，但我發(fā)現(xiàn)小組討論時有同學(xué)的觀點不是這樣的，比如有些同學(xué)是這樣想的，我把這個同學(xué)的想法呈現(xiàn)出來。

師：你們覺得這樣的方法怎么樣？（生：麻煩。）麻煩在哪里呢？

生：分割成兩塊就可以解決這個問題，沒有必要再浪費時間去分成三塊。

師：這就告訴我們一個道理，在分割的過程中，要從簡便的角度去想，盡量分成最少的塊數(shù)，這點大家贊成嗎？（生：贊成。）

師：我們達成一致了。無論用以的哪一種方法去解決這個問題，最后的結(jié)果改變了嗎？（生：沒有。）因此當(dāng)我們打算解決一個問題時，盡量要多角度地去觀察和思考，這就是數(shù)學(xué)思想。

師：不知不覺我們該下課了。剛才有個同學(xué)悄悄和我說，他還有其他方法解決前面圖形的面積問題。我剛才沒讓他說，但是我想在下課之前讓他說說，請到前面來把你的想法說給大家聽聽吧！

生：我想把這個長方形減下來，然后再補上。

師：我們又多了一種方法，但是要這樣做，得有條件支撐，剪下的長方形由于長是10cm，寬是2.5cm，所以才能把它剪切再移到這。

四、總結(jié)

師：在解決問題時，我們要不停地思考，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須要具備的探索精神，希望同學(xué)們在今后能夠多角度地觀察問題，解決問題。

反思：

本課設(shè)計的整體思路定位在組合圖形和圖形的組合之間的辯證思想上，使學(xué)生在活動中體會從分到組，從組到分的過程，建立所學(xué)知識與已學(xué)知識之間的聯(lián)系，從而形成求組合圖形面積的策略。

為發(fā)揮學(xué)生的主體作用，我利用小組合作的學(xué)習(xí)方式，將問題直接拋給學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的思維，引發(fā)學(xué)生思維的碰撞，最終呈現(xiàn)出多樣的解決方法，開拓了學(xué)生思維的空間。

從拼組的角度來看，我預(yù)設(shè)合作交流中學(xué)生易生成分割的思想，但在課堂生成時，學(xué)生生成了添補的思維，將L型添補成一個長方形，我以此為契機引出解決本課問題的第二個解決策略——添補。添補思維的生成也使我深刻地意識到，在教師有效的指導(dǎo)下，只要給予學(xué)生充足的時間與空間，學(xué)生一定會帶給我們更多不一樣的精彩。

評析：

本課教學(xué)價值取向清晰，尊重學(xué)生的認(rèn)知心理和情感需要，把學(xué)生的“學(xué)”作為教學(xué)的出發(fā)點和歸宿，高度尊重學(xué)生，充分信任學(xué)生，全面依靠學(xué)生，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交還給學(xué)生，關(guān)注知識技能同時，更加關(guān)注學(xué)生的情感、態(tài)度和價值觀。

問題解決的多種方法是由學(xué)生經(jīng)過獨立思考、同伴討論、質(zhì)疑、歸納、概括而得出的。在小組匯報環(huán)節(jié)，一名學(xué)生在前一名學(xué)生分割為兩個梯形的基礎(chǔ)上，又進一步將其中一個梯形分割為一個三角形和一個長方形，這是學(xué)生容易出現(xiàn)的問題。教師抓住契機，在肯定學(xué)生的同時，對方法進行了分析，引發(fā)學(xué)生對這類問題的思考。學(xué)生思維的深度和廣度在討論中得到提升。

本課結(jié)構(gòu)設(shè)計突出目中有人，學(xué)生在民主、平等、自由、和諧開放的課堂中親歷方法探究、交流、反思、質(zhì)疑和建構(gòu)全過程，積極主動參與，積極思考，促進了方法理解和內(nèi)化。每個學(xué)生的主動思考和交流需要得到尊重，渴望探究多種方法解決問題的愿望需要得到滿足。比如在小組合作環(huán)節(jié)，一名學(xué)生又思考出上一環(huán)節(jié)解決小房子圖形問題的方法，面對這種沖突，教師沒有放棄這個學(xué)生思維的生成，而是機智地讓學(xué)生先保留想法，在即將下課時，為學(xué)生創(chuàng)建展示的平臺。

教師在教學(xué)環(huán)節(jié)做到了心中有數(shù)，手中有法，多次對學(xué)生的思維進行推動和引導(dǎo)，使學(xué)生在體驗中悟法得法，激發(fā)了學(xué)生的無限潛能。學(xué)生在5種基本圖形的拼組活動中體會了組合圖形和圖形之間的聯(lián)系，在獨學(xué)、對學(xué)、群學(xué)和分享中建構(gòu)知識同時發(fā)展思維力。同時此課讓學(xué)生感受到了民主、平等、和諧、自由和開放課堂的美好，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)課上知識是基礎(chǔ)、能力是關(guān)鍵、思維是核心、發(fā)展是終極目標(biāo)這一理念。學(xué)生在積極主動參與中學(xué)會了學(xué)習(xí)，學(xué)會了思考和質(zhì)疑，切實提升了思維品質(zhì)。

編輯/魏繼軍