基于廣義最小二乘法的趨勢季節(jié)調(diào)整模型的構(gòu)建

董彥彥，邱祎

（1.鄭州大學(xué)體育學(xué)院，鄭州450044；2.河南財政金融學(xué)院學(xué)生處，鄭州451464）

0　引言

含趨勢季節(jié)調(diào)整模型本身是對周期性波動的數(shù)據(jù)和變量進行觀察，并且對未來的變化進行判斷的常見方法，但是由于這種方法本身將導(dǎo)致自回歸問題的出現(xiàn)，因此其預(yù)測結(jié)果往往存在方差較大，估計結(jié)果和真實結(jié)果之間存在著嚴重偏離的問題。該問題的產(chǎn)生根源在于觀測值之間存在的自相關(guān)問題，立足于自相關(guān)問題的檢驗和解決方法，將可以對趨勢預(yù)測值進行調(diào)整，并在繼續(xù)利用季節(jié)調(diào)整指數(shù)的前提下，對數(shù)據(jù)的趨勢性預(yù)測起到幫助作用。

1　含趨勢季節(jié)調(diào)整模型及其缺陷

包含趨勢的季節(jié)調(diào)整模型在經(jīng)濟管理活動當(dāng)中具有廣泛的應(yīng)用價值。這一方法當(dāng)中包含著一元線性回歸的基本思想，也包含著季節(jié)調(diào)整指數(shù)的基本范疇。以時間作為解釋變量，以觀察值和預(yù)測值作為被解釋變量，做出線性回歸，并且計算觀測值和回歸值之間的變差并且通過這種變差的平均水平作為預(yù)測的依據(jù)是這一模型本身的核心內(nèi)容。但是僅以時間為變量進行線性回歸的思路本身就包含著觀測值出現(xiàn)自回歸以及自回歸所帶來的方差變大問題的可能，從而導(dǎo)致整個預(yù)測結(jié)果的無效性。

1．1　含趨勢季節(jié)調(diào)整模型簡介

含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的應(yīng)用前提是模型本身呈現(xiàn)出一種周期性變化的特征，但是該模型的應(yīng)用對象必須是具有趨勢性的上升或者下降特點的數(shù)據(jù)。該模型首先要求以時間作為解釋變量，對作為被解釋變量的觀測值進行一元線性回歸分析：

使用最小二乘法，可以輕易的推導(dǎo)出這一模型當(dāng)中的參數(shù)估計值：

根據(jù)參數(shù)估計值，可以較為輕易的得到觀測值所對應(yīng)的估計值：

由此可得觀測值和趨勢估計值之間的偏差：

在此基礎(chǔ)之上，可以求得處于各個不同周期的同一階段的變差的平均值：

但是該模型當(dāng)中的時間變量往往并直接代入具體的年份和月份，而將時間點按照先后順序進行排序，直接將序號代入到模型的估計當(dāng)中。

1．2　含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的缺陷

含趨勢季節(jié)調(diào)整模型存在著多方面的問題，在傳統(tǒng)計量經(jīng)濟學(xué)研究當(dāng)中，對參數(shù)估計值要求其具有線性性、無偏性和最小方差性等內(nèi)在特征。這些內(nèi)在特征當(dāng)中，線性性根據(jù)模型的函數(shù)形式觀察即可發(fā)現(xiàn)可以得到滿足，因此對其無偏性和最小方差性應(yīng)當(dāng)進行一定的考察。

無偏性的含義是參數(shù)估計值的平均值應(yīng)當(dāng)同真實值保持相等，其前提假設(shè)在于觀測值本身符合狹義最小二乘法要求的期望值為零的預(yù)定條件。對此，可以進行如下論證：

由此可得，根據(jù)含趨勢季節(jié)調(diào)整模型計算而得參數(shù)估計結(jié)果，具有無偏性。

關(guān)于最小方差性的判斷可以通過如下推導(dǎo)加以驗證：

在不同時間節(jié)點上的數(shù)據(jù)之間存在著相互影響的自相關(guān)關(guān)系的情況下，Cov(u,ui)將不會為零，在此時，整個參數(shù)估計值的方差會具有和自變量之間的函數(shù)關(guān)系，自變量數(shù)量的增加，將直接導(dǎo)致整個參數(shù)估計值的方差存在一種數(shù)量上的增減關(guān)系，由此，參數(shù)估計值的方差大小不會穩(wěn)定的作為一個定制存在，伴隨著樣本數(shù)量的增多，參數(shù)估計值的方差將會逐步增大，進而給整個估計帶來誤差逐步增大的問題。這一問題的最終結(jié)果就是參數(shù)估計值的無效性。

含趨勢季節(jié)調(diào)整模型本身非常容易導(dǎo)致自相關(guān)問題的產(chǎn)生。因為含趨勢季節(jié)調(diào)整模型主要依賴以時間為解釋變量，以觀測值為被解釋變量的一元線性回歸模型，這一模型限定了整個模型的數(shù)學(xué)形式的多樣性，錯誤的設(shè)置數(shù)學(xué)形式將直接導(dǎo)致自回歸問題的發(fā)生。與此同時，含趨勢季節(jié)調(diào)整模型能夠很好的將不同時間點上的數(shù)據(jù)之間的函數(shù)關(guān)系囊括到自己解釋的范疇當(dāng)中。在經(jīng)濟管理領(lǐng)域，趨勢預(yù)測本身就隱含著不同時間點的數(shù)據(jù)之間在一定的慣性和相關(guān)性的制約之下，呈現(xiàn)出穩(wěn)定的增長或者下降趨勢的問題。這將會直接導(dǎo)致含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的各個觀測值之間存在變量內(nèi)部的相互關(guān)系。在一些經(jīng)濟管理領(lǐng)域，一種趨勢的產(chǎn)生可能較短時間內(nèi)難以受到其他因素的影響，因此具有強大的慣性。以固定資產(chǎn)投資為例，一旦一種固定資產(chǎn)投資決策做出，企業(yè)就必然面臨著固定資產(chǎn)的回收期較長，在一定的時間內(nèi)，這種追加投資不會伴隨著企業(yè)的經(jīng)營環(huán)境的短時間的改變而改變，從而造成觀測到的數(shù)據(jù)非常依賴前一期的數(shù)據(jù)而不是模型的外生變量，從而給模型帶來了嚴重的自相關(guān)問題。

與此同時，含趨勢季節(jié)調(diào)整模型本身包含著比較嚴重的解釋變量偏少的問題。這本身也造成自相關(guān)問題的潛在發(fā)生的可能性的存在。趨勢性預(yù)測的應(yīng)用本身說明研究者本身難以對影響觀測變量的所有解釋變量進行系統(tǒng)性的把握，因此只能通過趨勢形態(tài)的變動進行估計和預(yù)測，那么模型本身的隨機干擾項就會產(chǎn)生異常的波動狀況，從而產(chǎn)生自相關(guān)和參數(shù)估計值不平穩(wěn)的問題。

2　廣義最小二乘法應(yīng)用于含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的前提條件

經(jīng)過前文的分析，含趨勢季節(jié)調(diào)整模型本身容易產(chǎn)生自相關(guān)的問題，并且最終導(dǎo)致參數(shù)估計值由于方差伴隨解釋變量的增加而放大的問題而偏離于真實值，從而造成模型本身的失效。因此，本文將通過解決自回歸問題，使用廣義最小二乘法的方法對模型進行調(diào)整和重新構(gòu)建。但是這種構(gòu)建工作的前提在于含趨勢季節(jié)調(diào)整模型確實存在自相關(guān)問題。因此本文首先提出對自相關(guān)問題的檢驗方法，以此作為基于廣義最小二乘法的含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的構(gòu)建基礎(chǔ)。

首先，使用假設(shè)檢驗的基本方法，應(yīng)當(dāng)對存在自相關(guān)問題的情況提出假設(shè)如下：

做出這一假設(shè)的出發(fā)點在于，一旦出自相關(guān)狀況，則不同階段的隨機干擾項ui之間將存在如下的函數(shù)關(guān)系形式：

只有符合原假設(shè)時，整個自回歸問題才會并不存在。

在此基礎(chǔ)之上，可以給出檢驗統(tǒng)計量：

值得強調(diào)的是，此處的R2并不是原回歸模型=a+t的判斷系數(shù)，因為原方程的判斷系數(shù)值的大小僅僅能說明擬合結(jié)果相對于真實值之間的解釋程度。此處的R2是如下方程的判斷系數(shù)：

該假設(shè)檢驗過程的檢驗標準是χ2(n)，由于該統(tǒng)計量客觀上符合χ2分布，因此其置信水平一定的情況下，應(yīng)當(dāng)以需要檢驗的自回歸的階數(shù)作為選擇判斷的臨界值的標準。該檢驗是一個統(tǒng)計學(xué)意義上的右單側(cè)檢驗，因此僅選擇一個臨界值。

該檢驗的判斷標準為當(dāng)檢驗統(tǒng)計量TR2小于臨界值χ2(n)的情況下，則接受原假設(shè)，如果統(tǒng)計量TR2的計算結(jié)果超過臨界值χ2(n)則接受原假設(shè)。一旦接受原假設(shè)，則可以判斷含趨勢季節(jié)調(diào)整模型本身并不存在自回歸問題，則并不需要構(gòu)建起廣義最小二乘模型，從而對原有的模型進行調(diào)整，如果拒絕原假設(shè)，則需要采用一定的方法解決自回歸問題所產(chǎn)生的影響，從而避免自回歸帶來的參數(shù)估計失真的問題。

3　基于廣義最小二乘法的含趨勢季節(jié)調(diào)整模型改進

經(jīng)過上文的分析，含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的問題和檢驗方法已經(jīng)得到了探討，對含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的自回歸問題的檢驗是基于廣義最小二乘法的含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的構(gòu)建前提。在此背景之下，本文將構(gòu)建相應(yīng)的方法，在發(fā)揮季節(jié)指數(shù)法的長出的同時，避免含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的自回歸問題所產(chǎn)生的估計失真的問題。

首先，在經(jīng)過檢驗，模型當(dāng)中確實存在自相關(guān)問題之后，應(yīng)當(dāng)首先確定自回歸的階數(shù)和不同隨機干擾項之間的線性關(guān)系的參數(shù)的大小。對此，可以使用DW統(tǒng)計量，計算自回歸系數(shù)的大?。?/p>

其次，在得出自回歸系數(shù)的數(shù)值之后，對原模型進行廣義差分變換：

由此可得：

此時，整個模型當(dāng)中的被解釋變量、解釋變量乃至于參數(shù)的含義都將發(fā)生改變。被解釋變量當(dāng)中，-i-1將會獨立的作為被解釋變量，其含義為在觀測值在一定自回歸關(guān)系制約之下的增量，可以將其簡稱為自回歸增量。而解釋變量(t-ti-1)則可以作為在一定自回歸關(guān)系制約之下的時間跨度而存在。對于這一模型的估計，可以在直接進行變量替換的前提之下，使用最小二乘法。其參數(shù)估計的表達式如下：

由于Cov(v,vi)=0，該模型將直接具有無偏性和最小方差性，從而獲得統(tǒng)計意義上的有效性。在此基礎(chǔ)之上，對原模型可以進行如下修正：

由此可得觀測值和趨勢估計值之間的偏差：

在此基礎(chǔ)之上，可以求得處于各個不同周期的同一階段的變差的平均值：

并且根據(jù)這一平均值可以求得估計值：

由于這一模型需要對原函數(shù)進行還原，并且在廣義差分變化的背景下，估計值將相對于真實值存在一定的數(shù)量上的增減，因此該模型的主要適用范圍是具有更大的數(shù)據(jù)樣本空間的觀測值得預(yù)測。此時，參數(shù)估計值本身的含義也將發(fā)生變化，這一數(shù)值將不僅反應(yīng)時間的變化和被觀測值之間的一元線性函數(shù)關(guān)系，也反映出來被觀測值的增量和時間的增量之間的對應(yīng)關(guān)系。因此，此時擬合產(chǎn)生的參數(shù)估計值可以用于對彈性的計算。這在經(jīng)濟管理領(lǐng)域具有重要意義。

與此同時，使用本文構(gòu)建的基于廣義最小二乘法的含趨勢季節(jié)調(diào)整模型，將可以不必對時間變量進行全新的排序和標記，由于模型本身計算的時間的增量，將原有的年份、月份和季度等變量直接帶入到模型當(dāng)中，也并不妨礙模型的估計。這將最終降低使用者的應(yīng)用難度和在數(shù)據(jù)處理方面所花費的時間和精力。

4　結(jié)論

以時間作為解釋變量，以觀察值和預(yù)測值作為被解釋變量，做出線性回歸，并且計算觀測值和回歸值之間的變差并且通過這種變差的平均水平作為預(yù)測的依據(jù)是這一模型本身的核心內(nèi)容。這一模型限定了整個模型的數(shù)學(xué)形式的多樣性，錯誤的設(shè)置數(shù)學(xué)形式將直接導(dǎo)致自回歸問題的發(fā)生。趨勢預(yù)測本身就隱含著不同時間點的數(shù)據(jù)之間在一定的慣性和相關(guān)性的制約之下，呈現(xiàn)出穩(wěn)定的增長或者下降趨勢的問題。含趨勢季節(jié)調(diào)整模型本身包含著比較嚴重的解釋變量偏少的問題。因此，含趨勢季節(jié)調(diào)整模型本身非常容易導(dǎo)致自相關(guān)問題的產(chǎn)生。

本文首先提出對自相關(guān)問題的檢驗方法LM檢驗法，以此作為基于廣義最小二乘法的含趨勢季節(jié)調(diào)整模型的構(gòu)建基礎(chǔ)。在構(gòu)建基于廣義最小二乘法的含趨勢季節(jié)調(diào)整模型時，本文使用DW統(tǒng)計量，計算自回歸系數(shù)的大小，在得出自回歸系數(shù)的數(shù)值之后，對原模型進行廣義差分變換。在此基礎(chǔ)之上，可以求得處于各個不同周期同一階段的變差平均值，并且根據(jù)這一平均值可以求得估計值，估計值將相對于真實值存在一定的數(shù)值增減，因此該模型主要適用于在更大的數(shù)據(jù)樣本空間基礎(chǔ)上進行的預(yù)測。

參考文獻：

[1]桂文林.季節(jié)調(diào)整與環(huán)比增長率測算最新進展及比較[J].統(tǒng)計研究,2013,30(7).

[2]劉建平,王雨琴.季節(jié)調(diào)整方法的歷史演變及發(fā)展新趨勢[J].統(tǒng)計研究,2015,32(8).

[3]桂文林.子年度經(jīng)濟時間序列季節(jié)調(diào)整模型與應(yīng)用研究[D].廣州:暨南大學(xué)博士論文,2011.

[4]張巖.結(jié)構(gòu)時間序列模型在季節(jié)調(diào)整中的理論分析與應(yīng)用研究[D].天津:南開大學(xué)博士論文,2013.

[5]賀鳳羊,劉建平.如何對中國CPI進行季節(jié)調(diào)整——基于X-12-ARIMA方法的改進[J].數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究,2011,(5).