初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解析與思路探討

◎楊欣

一、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的概述

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題可以稱為“幾何動(dòng)態(tài)”問(wèn)題，它通常指的是幾何圖像中，一個(gè)可以沿一定方向或在一定范圍內(nèi)移動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)，在移動(dòng)過(guò)程中能夠反映幾何圖形的變化規(guī)律。從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來(lái)研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過(guò)“對(duì)稱、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”等研究手段和方法，來(lái)探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過(guò)程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過(guò)程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力.圖形在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計(jì)算推理的過(guò)程。

二、動(dòng)點(diǎn)的解題思路解析

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是指以幾何知識(shí)和圖形為背景，以運(yùn)動(dòng)變化為視角，探討動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中的規(guī)律。這些問(wèn)題揭示了“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”、“一般”與“特殊”的內(nèi)在關(guān)系，以及在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化的唯物辯證關(guān)系。這類試題以運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)、線段、變化的角、圖形的面積為基本條件，給出一個(gè)或多個(gè)變量，要求確定變量與其他量之間的關(guān)系，或變量在一定條件為定值時(shí)，進(jìn)行相關(guān)的幾何計(jì)算和綜合解答，解答這類題目，一般要根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和圖形的變化過(guò)程，對(duì)其不同情況進(jìn)行分類求解。

例1，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，G是AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且DG＝AD，動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著A→C→G的路線向G點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)（M不與A、G重合），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接BM并延長(zhǎng)交AG于N。

（1）是否存在點(diǎn)M，使△ABM為等腰三角形？若存在，分析點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（2）當(dāng)點(diǎn)N在AD邊上時(shí)，若BN⊥HN，NH交角CDG的平分線于H，求證：BN＝NH。

（3）過(guò)點(diǎn)M分別向AB、AD作垂線，垂足分別為E、F，矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積為S，求S的最大值。

例2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，sinB＝3／5，點(diǎn) D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，連接DE、DF，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為1cm／s，點(diǎn)P沿A→F→D的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止；點(diǎn)Q沿BC的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)Q作BC的垂線交AB于點(diǎn)M，以點(diǎn)P，M，Q為頂點(diǎn)作平行四邊形PMQN。設(shè)平行四邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分的面積為y（cm2），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）。

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，MQ＝cm；

（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，某一時(shí)刻，點(diǎn)P落在MQ上，求此時(shí)BQ的長(zhǎng)度；（3）是否存在某一時(shí)間t，使平行四邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分是平行四邊形且面積為15／2？若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是指只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，通過(guò)綜合平行四邊形、三角形的性質(zhì)，結(jié)合定理、圖形分析和其他知識(shí)進(jìn)行正確的分析和轉(zhuǎn)換，解決這些問(wèn)題，如例1所示，解決問(wèn)題的思路如下：在問(wèn)題（1）中，采用數(shù)形組合的方法來(lái)解決問(wèn)題。首先，有三種條件可以使我們根據(jù)圖像將ABM轉(zhuǎn)換成等腰三角形，即AB＝AM，AB＝BM，AM＝BM。問(wèn)題（2）以N為移動(dòng)點(diǎn)，從本質(zhì)上講，這是一個(gè)將運(yùn)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為不動(dòng)點(diǎn)的一般性問(wèn)題。問(wèn)題（3）是求最大面積的形式。首先，當(dāng)M在AC上時(shí)，可以根據(jù)勾股定理計(jì)算出邊長(zhǎng)，用面積公式求出面積。其次，當(dāng)M在CG上時(shí)，重疊區(qū)域?yàn)樘菪?，通過(guò)分割得到。

雙動(dòng)點(diǎn)型如例2所示，兩個(gè)點(diǎn)以相同的速度和不同的方向同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)。他們的想法如下：（1）P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)镕為中點(diǎn)，P和Q的速度相等，可以確定分別AF＝FC＝3厘米，BQ＝AF＝3厘米，再通過(guò)MQ∥AC知道△MBQ∽△ACB，由此可以找出答案；（2）在P點(diǎn)從F點(diǎn)移動(dòng)到D點(diǎn)的過(guò)程中，當(dāng)P點(diǎn)落在MQ上時(shí)，可以得到t＋t－3＝8的表達(dá)式。（3）可以根據(jù)問(wèn)題計(jì)算和圖形DE＝1／2，AC＝3，DF＝1／2，BC＝4，然后證明△MBQ∽△ABC和MQ＝3／4t，由此可以分類討論問(wèn)題：（1）當(dāng)3≤t＜4時(shí)，重疊部分的圖形為平行四邊形，y代入求解即可；當(dāng)4≤t＜11／2時(shí)，重疊部分為矩形，根據(jù)圖 y＝3［（8－t）－（t－3）］。當(dāng)11／2≤t≤7時(shí)，圖形的重疊部分為矩形。根據(jù)圖，y＝3［（t－3）－（8－t）］，同理計(jì)算得出結(jié)果。

三、幾何畫板演繹動(dòng)點(diǎn)輔助教學(xué)

教師解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題可能相對(duì)簡(jiǎn)單，但在日常教學(xué)中，如何清晰地向?qū)W生解釋動(dòng)態(tài)問(wèn)題是一個(gè)很大的難題。因此，信息社會(huì)為教師帶來(lái)了新的方法——幾何繪圖板等數(shù)學(xué)軟件，來(lái)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，方便老師展示教學(xué)內(nèi)容。根據(jù)相關(guān)調(diào)查顯示，學(xué)生喜歡在數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)幾何畫板，用幾何畫板軟件上數(shù)學(xué)課的支持率高達(dá)100%，90%的受訪者認(rèn)為幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)單、直觀、生動(dòng)和具體，更容易被接受和理解。

四、結(jié)語(yǔ)

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是指與一個(gè)或多個(gè)點(diǎn)在指定區(qū)域內(nèi)移動(dòng)有關(guān)的問(wèn)題，通常伴隨著點(diǎn)移動(dòng)的各種變化?！皠?dòng)點(diǎn)”分為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和線的運(yùn)動(dòng)（數(shù)不清的點(diǎn)構(gòu)成線），所以動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題往往與函數(shù)和幾何有關(guān)。一般來(lái)說(shuō)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題可以分為動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題和動(dòng)線問(wèn)題，而動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題包括單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題和雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。在運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的日常教學(xué)中，可以使用幾何繪圖板等數(shù)學(xué)軟件直接描述運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的變化，輔助教學(xué)。