高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)與方程思想的實(shí)例探究

涂方珍

(江西省南昌十中經(jīng)開(kāi)校區(qū)　330100)

一、函數(shù)思想與方程思想概述

1.函數(shù)思想

函數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維策略，在高中數(shù)學(xué)中函數(shù)思想的充分運(yùn)用是解決定量與變量關(guān)系的主要路徑.簡(jiǎn)而言之，函數(shù)闡釋了數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，而函數(shù)思想則是描述問(wèn)題中數(shù)學(xué)特征的有效方式.從而可以利用函數(shù)本身的性質(zhì)來(lái)解題，并快速掌握其中的解題思路.諸如一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)等較為常見(jiàn)的高中函數(shù)題型中，其最大值或最小值的鎖定，圖象變換的周期性或奇偶性等等，均為利用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的主要路徑.因此，在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，正確運(yùn)用函數(shù)思想也是加強(qiáng)解題正確性與精準(zhǔn)度的重要模式.

2.方程思想

方程思想是數(shù)學(xué)問(wèn)題采用的方程解析模式，運(yùn)用方程描述數(shù)學(xué)變量中的客觀規(guī)律，可以迅速找出其中的解題路徑.而構(gòu)建方程組也可以描述數(shù)據(jù)問(wèn)題的表象特征，是解題過(guò)程中極為重要的有效手段.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)假設(shè)方程未知參量的預(yù)期值，尋找未知條件和已知條件的等量關(guān)系，能夠充分描述變量關(guān)系的可能發(fā)展路徑.因此在方程或方程組等式成立的基礎(chǔ)上，可以將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為假設(shè)性的已知問(wèn)題，從而達(dá)到預(yù)期的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決效果，彌補(bǔ)由于已知條件不足而造成的解題思路匱乏現(xiàn)象.當(dāng)學(xué)生能夠從應(yīng)用類題型中深度發(fā)掘未知參量的轉(zhuǎn)化條件時(shí)，便可以觀察和分析其中的方程解題路徑，以便快速尋找到數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題思維.

二、在高中數(shù)學(xué)中運(yùn)用函數(shù)與方程思想的實(shí)例

1.函數(shù)零點(diǎn)與方程根

函數(shù)零點(diǎn)與方程根的相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題是較為普遍的高考題型之一，應(yīng)用題或選擇題中較為多見(jiàn)，運(yùn)用函數(shù)與方程思想是快速構(gòu)建解題思路的重要方式.方程f(x)=0的解為函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，可以將y=f(x)視為二元方程y-f(x)=0，那么方程便有f(x)=a的解，而a也在方程函數(shù)解集范疇之列.因此方程與函數(shù)直接的轉(zhuǎn)化關(guān)系往往是極為重要的解題路徑，也是常見(jiàn)考試題型之一.

例題：函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1有多數(shù)個(gè)零點(diǎn)？

在這樣的函數(shù)方程題型中，主要考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)與方程解題思維的掌握程度.在解題時(shí)可以首先設(shè)定該方程零點(diǎn)的假設(shè)數(shù)量，以f(x)=0為已知條件，進(jìn)而求得|log0.5x|=(1/2)x的函數(shù)圖象，并在直角坐標(biāo)系中表現(xiàn)出y=(1/2)x的圖象和y=|log0.5x|的圖象，從而在兩圖交匯后尋找其中的函數(shù)圖象交點(diǎn)，便可以快速明確函數(shù)方程的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè).此類題型是極為常見(jiàn)的類型化題目，在函數(shù)與方程思想的運(yùn)用上需要以零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為個(gè)數(shù)問(wèn)題才能便于快速解題.當(dāng)遇到此類數(shù)學(xué)題型時(shí)，需要構(gòu)建f(x)=g(x)的方程等式，以便從中找出數(shù)形結(jié)合的有效方式，通過(guò)觀察函數(shù)圖象特征從而判定方程可能存在的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.三角函數(shù)中運(yùn)用函數(shù)與方程思想的方法

三角函數(shù)是運(yùn)用函數(shù)與方程思想較為普遍的題型之一，是以圖形角度為自變量，對(duì)圖形中所呈現(xiàn)的任意角終邊，以及單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行的因變量比值函數(shù)設(shè)定，從而求解相應(yīng)的線段長(zhǎng)度問(wèn)題，或與單位圓有關(guān)的角度取值空間問(wèn)題.三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中是極為重要的題型之一，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也是極為關(guān)鍵的方向.

例題：設(shè)f(x)為奇函數(shù)，其定義域R內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)0<α<π/2時(shí)，求解函數(shù)f(cos2α-2ksinα)+f(3k-5)>0不等式中k的取值范圍.

在此題型中，主要考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)數(shù)學(xué)規(guī)律的掌握程度，其奇偶性和單調(diào)性，及不等式與二次函數(shù)在三角函數(shù)題型中的連帶知識(shí)點(diǎn)均有涉及.在解題過(guò)程中需要依據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系來(lái)進(jìn)行運(yùn)算.并推導(dǎo)出不等式：(cos2α-2ksinα)<(5-3k)的關(guān)系.從而在cos2α+sin2α=1的條件下轉(zhuǎn)化不等式為：sin2α+2ksinα+4-3k>0.然后設(shè)定sinα=t的假設(shè)性條件推導(dǎo)出方程(t+k)+4-k2-3k>0.便可以設(shè)定t的取值空間為[0,1].依據(jù)函數(shù)與方程思想的解題路徑，可以假設(shè)f(x)=(t+k)2+4-k2-3k的二次函數(shù)區(qū)間為單調(diào)性，進(jìn)而得到相關(guān)的不等式類型，諸如：-k<0且4-3k>0；或者-k>1且1+2k+4-3k>0的取值范圍.那么此類題型不僅對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行了培養(yǎng)，同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生對(duì)于還元化歸解題思路的重新認(rèn)知，更加是函數(shù)與方程思想的有效運(yùn)用，對(duì)于三角函數(shù)問(wèn)題的解題思路快速構(gòu)建具有重要意義.

函數(shù)思想是高中解題中的關(guān)鍵，而方程思想也是快速運(yùn)算求解的必要方式，綜合運(yùn)用函數(shù)思想與方程思想，能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的主觀判斷，并以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題的形成機(jī)制和求解要素.在三角函數(shù)或函數(shù)零點(diǎn)等數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有效運(yùn)用函數(shù)與方程思想也是快速構(gòu)建解題思路的重要方式.通過(guò)對(duì)兩類題型的深入分析與探討，能夠明確函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題思維中的重要性，需要數(shù)學(xué)教師依據(jù)學(xué)生的當(dāng)前情況加強(qiáng)培養(yǎng)，以期達(dá)到更為理想的教學(xué)效果，引導(dǎo)學(xué)生掌握函數(shù)與方程思想的運(yùn)用方法與關(guān)鍵要素.