構(gòu)建三角恒等式鏈的一種方法

劉小寧

(武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院　湖北　武漢：430205)

利用韋達(dá)定理與對稱多項式知識證明三角恒等式，是初等數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)與前沿內(nèi)容[1-14]，目前雖然取得一定的研究成果，但是還存在進(jìn)一步豐富的空間。文中應(yīng)用韋達(dá)定理，構(gòu)建一元高次方程根與系數(shù)的一個關(guān)系，獲得建立三角恒等式鏈的一種方法。

1　定理

定理1：若xi(1≤i≤n)為一元n次方程

之根，記

有：f(1)=f(2)=…=f(m) =…=f(n)=1/σ0。

證明：根據(jù)韋達(dá)定理[2,3]可知

(1)

(2)

……

(3)

……

(4)

將式(1)～式(4)變形可得

由此即知定理1成立。

利用類似方法，可證明得到

定理2：若xi(1≤i≤n-1)為一元(n-1)次方程

之根，記

有：F(1)=F(2)=…=F(m) =…=F(n-1)=1/σ0。

顯然，定理1與定理2構(gòu)建了一元高次方程根與系數(shù)的一個新關(guān)系。

2　引理

引理1[2-8]：一元n次方程根與系數(shù)存在表1的對應(yīng)關(guān)系。

表1　一元n次方程的根與系數(shù)

引理2[2-8]：一元(n-1)次方程根與系數(shù)存在表2的對應(yīng)關(guān)系。

表2　一元(n-1)次方程的根與系數(shù)

3　構(gòu)建三角恒等式鏈的方法

由定理1與引理1、定理2與引理2，可獲得建立三角恒等式鏈的如下方法。

記

(5)

有：f1(1)=f1(2)=…=f1(m) =…=f1(n)=1。

記

(6)

有：f2(1)=f2(2)=…=f2(m) =…=f2(n)=1。

記

(7)

有：f3(1)=f3(2)=…=f3(m) =…=f3(n)=1/(2n+1)。

記

(8)

有：f4(1)=f4(2)=…=f4(m) =…=f4(n) =1/(2n+1)。

記

(9)

有：f5(1)=f5(2)=…=f5(m) =…=f5(n)=1。

記

(10)

有：f6(1)=f6(2)=…=f6(m) =…=f6(n)=1。

記

(11)

或

(12)

有：F1(1)=F1(2)=…=F1(m) =…=F1(n-1)=1。

記

(13)

或

(14)

有：F2(1)=F2(2)=…=F2(m) =…=F2(n-1)=1/(2n)。

記

(15)

或

(16)

有：F3(1)=F3(2)=…=F3(m) =…=F3(n-1)=1/n。

4　示例

根據(jù)式(5)～式(16)，可以建立形式優(yōu)美的三角恒等式鏈與三角恒等式。

當(dāng)n=3時，由式(5)～式(10)整理可得到三角恒等式鏈與三角恒等式的示例。

當(dāng)n=4時，由式(11)～式(16)整理，可得到三角恒等式鏈與三角恒等式的如下示例。

顯然，根據(jù)文中構(gòu)建的方法，不但可得到形式優(yōu)美的三角恒等式鏈，而且還可獲得系列的三角恒等式。

[1]黃盛清.基于余弦7倍角公式求幾個一元三次方程的解及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通報,2017，(6):59-60.

[2]劉小寧.三角恒等式的一個來源[J].武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2013,25(2):74-76.

[3]劉小寧.獲得一類三角恒等式的新方法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2015,18(1):61-62.

[4]倪忠仁.利用韋達(dá)定理證明某些三角恒等式[J].數(shù)學(xué)通報,1982，(5):29-31.

[5]賈維玉.一類系數(shù)為組合數(shù)的高次方程[J].數(shù)學(xué)通訊,1994，(10):18-19.

[6]師五喜.也談用韋達(dá)定理證明某些三角恒等式[J].數(shù)學(xué)通報,1996，(1):22-23.

[7]劉小寧.直接計算貝努利數(shù)的新公式[J].武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2011,23(3):79-80.

[8]陳計,葉中豪.初等數(shù)學(xué)前沿(1995)[M].南京:江蘇教育出版社,1996:310-316.

[9]劉小寧.幾個不常見的三角多倍角公式[J].武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2012,24(4):75-77.

[10]盧新平,王道金.構(gòu)造方程證明兩個三角恒等式[J].數(shù)學(xué)通報,2010,(7):50-51.

[11]劉小寧.涉及Lucas數(shù)的幾個無窮級數(shù)求和[J].武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2015,27(4):82-84.

[12]劉小寧.用初等方法求一個無窮級數(shù)和[J].武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2011,23(1):79-80.

[13]劉小寧.關(guān)于Fibonacci與Lucas數(shù)的求和[J].武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2016,28(2):76.

[14]張青山.一個三角恒等式的推廣的復(fù)數(shù)證明[J].數(shù)學(xué)通報,1998,(8):23.