三角換元破解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題*

●　　(常熟市中學(xué),江蘇 常熟　215500)

現(xiàn)行的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》已降低了對(duì)不等式的要求，且將不等式證明納為《數(shù)學(xué)(選修4-5)》中的理科內(nèi)容，因此大部分學(xué)生在高中階段不能系統(tǒng)學(xué)習(xí)和掌握一些重要的不等式(如均值不等式、柯西不等式、排序不等式、伯努利不等式等)以及不等式證明的方法和技巧.一些數(shù)學(xué)學(xué)科優(yōu)秀的學(xué)生，有志于參加高校的自主選拔和各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試，而這些考試中涉及不等式知識(shí)的試題較多且考查要求較高.那么如何來(lái)解決這個(gè)矛盾呢？考慮到三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，學(xué)生普遍掌握得比較扎實(shí).為此，筆者用全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽各省市預(yù)賽題的三角解法為例，整理出一類(lèi)以三角換元為手段，將競(jìng)賽題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題來(lái)處理的解題模式，供讀者學(xué)習(xí)與參考.

1　正弦與余弦的換元

1.1正余弦換元

例1已知圓x2+y2=1與拋物線(xiàn)y=x2+h有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)h的取值范圍.

(2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇省預(yù)賽試題)

h=y-x2=sinθ-cos2θ=

sin2θ+sinθ-1=

評(píng)注利用公式sin2θ+cos2θ=1進(jìn)行正弦與余弦換元是最常用的一種三角換元手段.

例2實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x2+y2+xy=3，求x2+y2的取值范圍.

(2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北省高二預(yù)賽試題)

分析將已知條件配方，得

故x2+y2的取值范圍為[2,6].

評(píng)注通過(guò)配方進(jìn)行正弦與余弦換元是一種比較有效的三角換元手段，這里配方是要領(lǐng).需要指出的是利用不等式知識(shí)解題，一般只能解決一個(gè)方向.

本題用不等式來(lái)處理時(shí)，學(xué)生可能會(huì)這樣來(lái)解：

從而得到錯(cuò)誤結(jié)果[2,+∞).當(dāng)然用不等式來(lái)解答本題，只要運(yùn)用得當(dāng)，也能得出準(zhǔn)確結(jié)論的.事實(shí)上，只要考慮另一個(gè)方向，再增加一個(gè)不等式即可.其正確解答過(guò)程為：一方面，

另一方面，

由此可知，利用不等式解題，靈活性較強(qiáng)，技巧性較高.另外應(yīng)該指出，若改變條件或所求式子，例如：改求2x2+3y2的取值范圍，則借助不等式來(lái)解答的難度大大增加，沒(méi)經(jīng)過(guò)不等式系統(tǒng)訓(xùn)練的學(xué)生是難以完成的，而用上述三角換元手段可以同樣完成解答.

1.2單弦換元(正弦或余弦)

(2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西省預(yù)賽試題)

從而

ysinθ-cosθ=-2y，

于是

即

故

說(shuō)明本題中用到了一個(gè)重要變換——“合一公式”：

(2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽省預(yù)賽試題)

分析函數(shù)的定義域?yàn)閇-2,2],可設(shè)x=2cosθ,其中θ∈[0,π]，則

y=|2cosθ+1|+|2cosθ-1|+2sinθ.

y=4cosθ+2sinθ=

y=-4cosθ-2sinθ=

評(píng)注根據(jù)正弦或余弦函數(shù)的值域,結(jié)合已知條件可進(jìn)行正弦(或余弦)換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，再利用三角知識(shí)解決.利用單個(gè)正弦或余弦換元時(shí),用正弦或余弦一般可以任選，但限制角的范圍必須滿(mǎn)足題設(shè)要求.

2　正余切與正余割的換元

2.1切割換元

(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省預(yù)賽試題)

從而

于是

|k|≥1，

即

|x-y|≥2,

評(píng)注利用sec2θ-tan2θ=1，可進(jìn)行正切與正割的三角換元，可將競(jìng)賽題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題.

2.2正切(余切)換元

(2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽內(nèi)蒙古自治區(qū)預(yù)賽試題)

即

從而

于是

即

y2≥8,

2.3正割(余割)換元

(2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽試題)

分析由于函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,-1]∪[1,+∞)，因此可設(shè)

評(píng)注根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合正切(余切)與正割(余割)的值域可以進(jìn)行正切換元或正割換元.

3　引參后三角換元

例8已知x,y∈R，且2x2+3y2≤12，求|x+2y|的最大值.

(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北省預(yù)賽試題)

分析令2x2+3y2=r2，則

0≤r2≤12.

例9若a，b，c∈R，a2+b2≤c≤1,求a+b+c的最大值和最小值.

(2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇省復(fù)賽試題)

a+b+c=r(cosθ+sinθ)+c=

評(píng)注對(duì)于條件式為不等式的問(wèn)題，可以通過(guò)引入?yún)?shù)、三角換元，利用平方關(guān)系進(jìn)行正余弦換元或切割換元.

(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省預(yù)賽試題)

4　先構(gòu)造再換元

4.1直接構(gòu)造

(2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆維吾爾自治區(qū)高一預(yù)賽試題)

評(píng)注根據(jù)條件x>0,y>0且x+2y=2，可將條件構(gòu)造為二元二次問(wèn)題，從而可利用三角換元的方法來(lái)解答.

4.2間接構(gòu)造

(2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆高一預(yù)賽試題)

u2=2-x，v2=3x+12,

得

3u2+v2=18.

評(píng)注通過(guò)整體換元，將原問(wèn)題構(gòu)造為可進(jìn)行三角換元的問(wèn)題，從而完成問(wèn)題的解答.

綜上可知，“三角換元”是解決范圍(如最值、定義域、不等式)問(wèn)題的一把利器，借助上述4種三角換元手段可實(shí)現(xiàn)代數(shù)(幾何)問(wèn)題向三角函數(shù)問(wèn)題的有效轉(zhuǎn)化.采用“三角換元”解題可規(guī)避應(yīng)用不等式知識(shí)解題時(shí)靈活多變的方法和高難技巧，強(qiáng)化三角函數(shù)的應(yīng)用意識(shí)；解題有明確的指向和固有的定式，思維流暢自然，使很多復(fù)雜的競(jìng)賽題都能手到擒來(lái)，迎刃破解.

在本文中，筆者所選取的均是競(jìng)賽試題，事實(shí)上，對(duì)高考試題的解答，三角換元法也具有廣泛的適用性.三角換元法解題既適應(yīng)新課改的需求，又符合“淡化特殊技巧，注重通性通法”的新高考理念，且能有效訓(xùn)練和提高學(xué)生的思維能力與洞察能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)的高效學(xué)習(xí)，值得我們進(jìn)行深入研究并熟練掌握.