航天器三維空間追逃問題研究

劉　源, 李玉玲, 郝　勇, 周俊峰

(哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0　引　言

本文應(yīng)用協(xié)同進(jìn)化算法解決兩航天器的三維空間追逃問題,這是一個對抗雙方的對策組合問題,此對策組合中存在納什均衡。航天器追逃是一個復(fù)雜的過程,對抗雙方需根據(jù)對方的實(shí)時信息進(jìn)行自主決策,不斷調(diào)整運(yùn)動軌跡來實(shí)現(xiàn)逃避或追擊。文獻(xiàn)[1]通過目標(biāo)視線法解決了一種航天器追逃問題,并通過線性反饋和一個二次目標(biāo)方程,生成有效解決線性二次問題的最優(yōu)反饋方法,但誤差會隨二次積分而累積。文獻(xiàn)[2]采用一種半直接法的數(shù)值求解方法,通過此方法解決了共面軌道的追逃問題及三維空間兩戰(zhàn)斗機(jī)對抗問題,此方法求解得到的數(shù)值精度受近似初值的影響。微分對策在空間飛行器追逃問題的研究中應(yīng)用廣泛,對納什均衡點(diǎn)的研究成為微分對策的熱點(diǎn)研究方向。文獻(xiàn)[3]基于微分對策理論研究了兩航天器在固定時間下的追逃問題的最優(yōu)控制策略及數(shù)值求解方法,但此方法需解24維非線性微分方程組,計(jì)算較復(fù)雜。

協(xié)同進(jìn)化算法是基于協(xié)同進(jìn)化論基礎(chǔ)上提出的一種新的進(jìn)化算法。協(xié)同進(jìn)化思想基于博弈論的觀點(diǎn),采用相互對立的種群表示對抗雙方,進(jìn)化過程中種群之間互相交換信息,并根據(jù)對方種群提供的信息向最優(yōu)化各自的支付函數(shù)方向進(jìn)化。協(xié)同進(jìn)化算法最早由Hillis[4]提出,算法以捕食—獵物協(xié)同進(jìn)化關(guān)系為模型,使算法的智能搜索能力增強(qiáng)。文獻(xiàn)[5]提出協(xié)同進(jìn)化增廣Lagrangian方法將對策雙方的個體轉(zhuǎn)換成近似零和矩陣后再求解鞍點(diǎn)。協(xié)同進(jìn)化算法在生產(chǎn)制造、工業(yè)設(shè)計(jì)、目標(biāo)識別和生命科學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。近年來,協(xié)同進(jìn)化算法在航空航天領(lǐng)域引起關(guān)注。文獻(xiàn)[6]基于協(xié)同進(jìn)化算法解決了衛(wèi)星編隊(duì)自主重構(gòu)問題,并得出Pareto最優(yōu)解的求解方法。文獻(xiàn)[7]提出多中心合作協(xié)同進(jìn)化規(guī)劃算法,解決了“分治—合作”策略的多衛(wèi)星中心協(xié)同規(guī)劃問題。目前,采用協(xié)同進(jìn)化算法解決空間追逃問題的研究較少,尚未得到廣泛的應(yīng)用。與傳統(tǒng)遺傳算法相比,協(xié)同近化算法具有較強(qiáng)的自主搜索能力和漸進(jìn)學(xué)習(xí)能力,并且算法的魯棒性強(qiáng)。由于協(xié)同進(jìn)化算法的編碼特性,其對控制量編碼時得到的是離散型數(shù)據(jù),因此,可采用B樣條基函數(shù)對控制量進(jìn)行擬合。B樣條曲線是在貝塞爾曲線的基礎(chǔ)上改進(jìn)而來的,可以對多種形式的函數(shù)變量進(jìn)行逼近,具有很好的通用性和簡潔性。

本文研究在近地圓軌道附近的兩航天器在連續(xù)小推力作用下的追逃問題,并且對抗雙方的初始運(yùn)動狀態(tài)為已知,對抗時間固定。根據(jù)納什均衡[8-10]理論的基本思想,以二者終端的相對距離作為支付條件,建立航天器在參考軌道中的動力學(xué)模型,利用協(xié)同進(jìn)化算法規(guī)劃出對抗雙方的最佳追逃策略組合,為航天器追逃問題提供一種較為有效的解決方法。

1　問題描述

在追捕器和逃逸器附近的圓軌道上選取一動點(diǎn),以該動點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖1所示的動坐標(biāo)系。圖1中O為參考坐標(biāo)系原點(diǎn),X軸在地心和O點(diǎn)的連線上,Y軸沿軌道運(yùn)動方向,Z軸與X軸、Y軸構(gòu)成右手系,P表示追捕器,E表示逃逸器。兩航天器的空間位置如圖1所示。

圖1　航天器空間追逃參考坐標(biāo)系

空間追逃問題是在嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)模型下的沖突對抗問題,屬于博弈論范疇[11-13],其最優(yōu)策略求解的關(guān)鍵在于納什均衡點(diǎn)的計(jì)算。本文將求解三維空間中兩航天器最優(yōu)追逃策略問題轉(zhuǎn)化為利用協(xié)同進(jìn)化算法求解納什均衡點(diǎn)[14-15]的問題。

2　數(shù)學(xué)模型的建立

在相對軌道參考坐標(biāo)系中,航天器單位質(zhì)量控制力ui在o-xy平面內(nèi)的投影與x軸夾角為α(-π<α≤π),單位質(zhì)量控制力ui與o-xy平面夾角為β(-π/2<β≤π/2),如圖2所示。

圖2　單位質(zhì)量控制力在參考軌道中投影

那么航天器單位質(zhì)量控制力ui在參考坐標(biāo)系三軸分量為

(1)

式中,(fix,fiy,fiz)為航天器相對參考坐標(biāo)系的單位質(zhì)量軌道控制力在參考坐標(biāo)系上的投影;i為P或E。由式(1)可知,通過調(diào)整俯仰控制角α和偏航控制角β,即可改變航天器三軸控制力,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)軌道機(jī)動。

在二體引力作用下,當(dāng)追捕器和逃逸器運(yùn)行在近似圓軌道,并且兩航天器的相對距離相比參考軌道長半軸為小量時,兩航天器在相對參考坐標(biāo)系中的運(yùn)動可由C-W方程描述[16],本文的研究對象符合C-W方程的適用條件。

(2)

式中,ω為參考軌道的平均軌道角速度;(xi,yi,zi)為航天器在參考軌道坐標(biāo)系中位置分量。

將式(2)表示成狀態(tài)空間表達(dá)式,即

(3)

式中

(4)

(5)

(7)

當(dāng)航天器初始狀態(tài)為已知時,式(3)的解析解為

(8)

其中

(9)

Φ(t,t0)為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,其具體形式[17]為

(10)

式中,τ=t-t0。當(dāng)ui(t)為常數(shù)ui0時,可計(jì)算出

(11)

故式(8)可進(jìn)一步表示為

xi(t)=Φ(t,t0)xi(t0)+Ψ(t,t0)ui0

(12)

由式(12)可知,若已知航天器初始狀態(tài)xi(t0)及控制力ui0,即可求得航天器任意時刻在相對參考軌道的運(yùn)動狀態(tài)。

xis(tn)=Φ(tn,t0)xis(t0)+EUi+Ψ(tn,tn-1)uin

(13)

其中

(14)

(15)

利用追逃雙方在參考軌道中的末段相對距離設(shè)計(jì)支付函數(shù),即

(16)

3　協(xié)同進(jìn)化算法空間追逃設(shè)計(jì)

協(xié)同進(jìn)化算法求解空間追逃問題框架如圖3所示。

圖3　協(xié)同進(jìn)化算法求解空間追逃問題框架

3.1　追逃策略設(shè)計(jì)

追逃雙方以vi為輸入信號,其中vi=[αi,βi]T,其中i為P或E。協(xié)同進(jìn)化算法以α、β為編碼對象。假設(shè)固定對策時間為Ts,那么在時間區(qū)間[T(k-1)/n,Tk/n](k=1,2,…,n)內(nèi)對抗雙方的輸入信號為vik,其中，n為離散化步長,則兩航天器的進(jìn)化算法編碼可表示為(vi1,vi2,…,vin)。采用隨機(jī)生成方式產(chǎn)生追逃雙方的初始種群分別為IP和IE,種群規(guī)模為N。

利用B樣條基函數(shù)對控制量α、β進(jìn)行逼近擬合。在[T(k-1)/n,Tk/n]控制量可描述為(Q+n)個B樣條基函數(shù)在各時間區(qū)間上相加的形式,即

(17)

式中,ak表示基函數(shù)系數(shù);Q表示基函數(shù)的階次;Bk(t)是節(jié)點(diǎn)序列k的Q階B樣條基函數(shù),則第k個P階B樣條基函數(shù),可通過德布爾-考克斯迭代計(jì)算公式進(jìn)行描述,即

(18)

利用B樣條基函數(shù)將協(xié)同進(jìn)化算法編碼得到的離散量進(jìn)行逼近擬合,得到對抗雙方俯仰控制角α和偏航控制角β的時間歷程,進(jìn)而根據(jù)式(1)及式(13)得到對抗雙方的相對位置。

3.2　共享適應(yīng)度

兩航天器在對抗過程中,可以通過星載的傳感器獲取自己的狀態(tài),可以利用地面雷達(dá)或高軌的衛(wèi)星監(jiān)測網(wǎng)及數(shù)據(jù)鏈來獲得對方狀態(tài)信息。本文的研究是假設(shè)對抗雙方是理性的,會根據(jù)對方當(dāng)前狀態(tài)采取對其自身最有利的控制策略,然后參與博弈的成員最終會達(dá)到納什均衡狀態(tài),理性對手的假設(shè)是博弈理論成立的基礎(chǔ)。適應(yīng)值共享[18-20]是維持種群多樣性的有效方法,可實(shí)現(xiàn)在Pareto集合中實(shí)現(xiàn)均勻采樣,避免算法落入局部最優(yōu)。

設(shè)xej為逃逸種群中的個體j,xpw為追捕種群中的個體w,那么兩個體的末段相對距離為

djw=d(xej,xpw)

(19)

定義共享函數(shù)為

(20)

式中,a為常數(shù);σshare為小生境半徑,由期望的個體之間最小分離程度估計(jì)出來。種群中個體j的小生境數(shù)sj由種群中全部個體的共享函數(shù)之和得到,即

(21)

那么逃逸種群中個體j的共享適應(yīng)度為

(22)

追捕種群中個體k的共享適應(yīng)度為

(23)

3.3　協(xié)同進(jìn)化算子設(shè)計(jì)

3.3.1選擇算子

選擇算子采用具有隨機(jī)采樣特征的輪盤賭選擇,其基本思想是根據(jù)每個個體適應(yīng)值在種群中所占的比例來確定該個體被選中的概率,可確保每個個體都有生存下來的機(jī)會,避免算法出現(xiàn)早熟現(xiàn)象。

3.3.2協(xié)同交叉算子

種群中個體x=(x1,x2,…,xn)和個體y=(y1,y2,…,yn)的差異度為

(24)

式中,n為個體長度。那么當(dāng)兩個體的差異度D(x,y)>u時(u為[0,1]隨機(jī)數(shù)),采用單點(diǎn)交叉方式產(chǎn)生新的個體。

當(dāng)兩個體的差異度D(x,y)

圖4　兩點(diǎn)交叉運(yùn)算

3.3.3變異算子

變異算子采用有向變異方法,假設(shè)梯度方向由d近似表示,那么變異后的子代個體可為

x′=x+rd

(25)

式中,r為非負(fù)隨機(jī)數(shù)。近似梯度d的第m個元素計(jì)算方法為

(26)

式中,Δxm為小實(shí)數(shù)。采用有向變異方法增加種群多樣性的同時,能夠使種群中的個體朝有益方向進(jìn)化,避免變異產(chǎn)生劣勢個體,增強(qiáng)算法的收斂性。

3.3.4協(xié)作算子

(27)

(28)

IP和IE為兩個獨(dú)立進(jìn)化的種群,在不同的決策空間進(jìn)行搜索。通過協(xié)作算子,使兩個種群可相互交換信息,根據(jù)對方提供的信息來決策本種群的進(jìn)化方向,實(shí)現(xiàn)兩個種群的協(xié)同進(jìn)化。

3.4　精英保留策略

為避免隨機(jī)因素影響導(dǎo)致優(yōu)勢解丟失,在協(xié)同進(jìn)化過程中采用精英保留機(jī)制,在每一代進(jìn)化過程中,將父代中u個個體和此父代產(chǎn)生的子代中的λ個個體合并得到新的群體,并在此群體中挑選優(yōu)勢個體組成下一代父種群[21-22]。操作方法如圖5所示。

圖5　精英保留機(jī)制示意圖

3.5　協(xié)同進(jìn)化算法具體流程

步驟1對追逃問題進(jìn)行編碼設(shè)計(jì),產(chǎn)生追逃雙方的初始種群。

步驟2計(jì)算種群中每個個體的共享適應(yīng)度。

(1) 追捕種群的個體分別在逃逸種群中隨機(jī)選取10個個體與之對抗,累計(jì)適應(yīng)度;

(2) 將追捕種群的個體按照適應(yīng)值由大到小排序,選中10個最優(yōu)個體。逃逸種群中的每個個體分別與選中的這10個追捕種群的最優(yōu)個體對抗,累計(jì)適應(yīng)。

算法采取此對抗方式,可減小算法計(jì)算冗余度,并且能夠保證每個個體至少參與10次對抗,保留種群的多樣性。

步驟3判斷是否滿足算法終止條件。若滿足,則執(zhí)行步驟5;否則執(zhí)行步驟4。

步驟4分別對追、逃種群進(jìn)行選擇、交叉、變異、協(xié)同操作,得到新的種群。返回步驟2。

步驟5輸出追、逃種群的最優(yōu)個體。

步驟6解碼計(jì)算,得到最優(yōu)追逃策略。

4　仿真較驗(yàn)

算例1追逃雙方初始位置在異面軌道情況下,追捕器和逃逸器的最大加速度分別為aP=0.017g和aE=0.013g,其中,g≈9.8×10-3km/s2,對策時間為900 s,仿真步長為10,算法進(jìn)化代數(shù)為500,種群規(guī)模為250,交叉概率為0.5,變異概率為0.05。參考軌道參數(shù)如表1所示。對抗雙方相對參考軌道的初始運(yùn)動狀態(tài)如表2所示。由協(xié)同進(jìn)化算法得到的最優(yōu)追逃路徑如圖6和圖7所示。追逃雙方加速度在參考軌道中三軸分量隨步長變化關(guān)系如表3所示。

表1　參考軌道參數(shù)

表2　異面軌道追逃雙方初始運(yùn)動狀態(tài)參數(shù)

圖6　對抗時間為900 s時異面軌道兩航天器最優(yōu)追逃路徑

圖7　對抗時間為900 s時異面軌道追逃雙方運(yùn)動軌跡在 參考軌道隨時間變化曲線　　　　　　　　

由圖6和圖7可知,本文采用的協(xié)同進(jìn)化算法迭代收斂。當(dāng)兩航天器初始位置為異面軌道,對抗時間固定為900 s時,本文所采用的協(xié)同進(jìn)化算法能夠規(guī)劃出兩航天器的最優(yōu)追逃路徑,并且在追捕器具有相對優(yōu)勢時,最終能夠捕捉逃逸器。

對策時間為500 s時,由協(xié)同進(jìn)化算法得到的最優(yōu)追逃路徑如圖8和圖9所示。

表3　對抗時間為900 s時異面軌道追逃雙方加速度在參考軌道中的三軸分量所占比例變化

圖8　對抗時間為500 s時異面軌道兩航天器最優(yōu)追逃路徑

圖9　對抗時間為500 s時異面軌道追逃雙方運(yùn)動軌跡在參考 軌道隨時間變化曲線

由圖8和圖9可知,當(dāng)追蹤器由于對抗時間不足,未能捕捉到逃逸器時,對抗雙方隨對抗時間變化仍呈現(xiàn)出追逃效果。

為研究追蹤器相對優(yōu)勢大小對追逃效果的影響,在表2中其他參數(shù)不變的基礎(chǔ)上將追蹤器的初始相對速度縮小為(11.2,11.67,10.38)(單位m/s)在對策時間為900 s時,其最優(yōu)追逃路徑如圖10和圖11所示。對比圖6和圖7可知,在對策時間及初始邊界條件相同的條件下,當(dāng)追蹤器的相對優(yōu)勢縮小時,追蹤器將難以捕獲逃逸器。

圖10　對抗時間為900 s時異面軌道兩航天器最優(yōu)追逃路徑 (追蹤器的相對優(yōu)勢縮小)

圖11　對抗時間為900 s時異面軌道追逃雙方運(yùn)動軌跡在參考軌道隨時間變化曲線(追蹤器的相對優(yōu)勢縮小)

算例2追逃雙方初始位置在共面軌道時,追捕器和逃逸器的最大加速度分別為aP=0.023g和aE=0.015g,其中,g=9.8×10-3km/s2,對策時間為900 s,仿真步長為10,算法進(jìn)化代數(shù)為500,種群規(guī)模為250,交叉概率為0.5,變異概率為0.05。參考軌道參數(shù)如表1所示。對抗雙方相對參考軌道的初始運(yùn)動狀態(tài)如表4所示。由協(xié)同進(jìn)化算法得到的最優(yōu)追逃路徑如圖12和圖13所示。追逃雙方加速度在參考軌道中三軸分量所占比例隨步長變化關(guān)系如表5所示。

表4　共面軌道追逃雙方初始運(yùn)動狀態(tài)參數(shù)

表5　對抗時間為900 s時共面軌道追逃雙方加速度在參考軌道中的三軸分量所占比例變化

圖12　對抗時間為900 s時共面軌道兩航天器最優(yōu)追逃路徑

圖13　對抗時間為900 s時共面軌道追逃雙方運(yùn)動軌跡在 參考軌道隨時間變化曲線　　　　　　　　

由圖12和圖13可見,算法在算例2的迭代仍然收斂,結(jié)果表明,對策在900 s時,追蹤器能夠捕獲逃逸器。且追逃雙方在Z軸上的軌跡一致,說明追逃雙方在初始位置在共面軌道條件下最優(yōu)追逃策略為發(fā)生在共面軌道。

對策時間為500,由協(xié)同進(jìn)化算法得到的最優(yōu)追逃路徑如圖14和圖15所示。由圖14和圖15可知,追蹤器由于對抗時間不足,未能捕捉到逃逸器,但對抗雙方隨對抗時間變化仍呈現(xiàn)出追逃效果,且追逃雙方在Z軸上的軌跡一致,這與算例2結(jié)論一致。

圖14　對抗時間為500 s時共面軌道兩航天器最優(yōu)追逃路徑

圖15　對抗時間為500 s時共面軌道追逃雙方運(yùn)動軌跡在 參考軌道隨時間變化曲線　　　　　　　　

算例3基于算例1的邊界條件,對抗時間為900 s時,采用微分對策方法解決航天器追逃問題得到的仿真結(jié)果如圖16所示。對抗時間為500 s時,采用微分對策方法解決航天器追逃問題得到的仿真結(jié)果如圖17所示。規(guī)劃耗時如表6所示。

圖17　對抗時間為500 s時共面軌道追逃雙方運(yùn)動軌跡在參考軌道隨時間變化曲線(微分對策法)

Table 6　Co-evolutionary and differential strategy time consuming s

當(dāng)對抗時間足以使追蹤器捕獲逃逸器時,存在多種最優(yōu)對抗策略。但對抗時間不足時,采用本文所提出的方法與采用微分對策方法得到的最優(yōu)追逃軌跡趨勢大致相同,證明本文算法搜索到的追逃策略為最優(yōu)策略。

采用微分對策方法能夠規(guī)劃出航天器追逃路徑,且在對抗時間相同的條件下,使用本文方法與微分對策方法,航天器所消耗的能量相同。但微分對策方法需求解24維非線性微分方程組,且對策模型中含有非線性時變項(xiàng),計(jì)算較復(fù)雜。而本文所采用的協(xié)同進(jìn)化算法結(jié)構(gòu)簡單,適應(yīng)性強(qiáng),可在本文所研究的內(nèi)容基礎(chǔ)上,面向多航天追逃的策略求解問題進(jìn)行下一步研究。

5　結(jié)　論

基于協(xié)同進(jìn)化算法及納什均衡思想解決了一類航天器三維空間追逃問題。所提方法對于追逃雙方初始位置為異面軌道或共面軌道均能規(guī)劃出最優(yōu)控制策略及相應(yīng)的追逃軌跡,并得到兩航天器在追逃過程中的三軸控制量。仿真算例還表明,兩航天器的初始軌道為共面軌道時,追逃雙方在追逃過程中的最優(yōu)控制策略仍發(fā)生在共面軌道上。與微分對策方法相比,本文算法結(jié)構(gòu)簡單,規(guī)劃耗時短,且具有較好的魯棒性。

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