變積分限兩個卷積核與奇異核混合的積分方程的求解

晏　麗

1977年，前蘇聯(lián)學(xué)者Duduchava，R V［1］首次研究具有卷積核的積分方程.1987年，路見可教授［2］又進一步提出了將帶有常系數(shù)的卷積核與Cauchy核混合的奇異積分方程通過由Fourier變換將其轉(zhuǎn)化為Riemann邊值問題來求解的方法，同時在{0}類中研究了正則型情況下的一般解法.沈永祥教授［3］以及孫鳳琪教授［4］等人在路見可教授研究的基礎(chǔ)上，更深入地研究了有關(guān)卷積核與奇異核混合的積分方程的求解問題.馮志新教授［5］近期又研究了卷積核與奇異核混合的變積分限的對偶型完全奇異積分方程的求解問題.

本文在上述研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，在{}0函數(shù)類中討論了一類變積分限且兩個卷積核與奇異核混合的奇異積分方程的求解問題.我們利用積分變換將討論的積分方程轉(zhuǎn)化為等價的具有間斷系數(shù)的Riemann邊值問題，再利用Fredholm方程理論，討論該類方程的可解和需添加的相應(yīng)可解條件，從而得到其在{}0類中一般解.

1　變積分限兩個卷積核與奇異核混合的積分方程的轉(zhuǎn)化

設(shè)討論的積分方程為

令

t-s.

利用以上記號，可將變積分限的兩個卷積核與奇異核混合的積分方程（1）化為

進一步將上式擴充到(-∞,+∞)，則（1）式可改寫為

由符號函數(shù)sgnt及 f±(t)的定義，則.將（2）式再改寫為

根據(jù)Fourier變換性質(zhì)，用Fourier算子V 作用（4）左右兩端，整理后得

（1），可 化 為 在 {{0}}類中 求 解（5）.注 意

2　變積分限兩個卷積核與奇異核混合的積分方程的求解

不失一般性，本文主要討論正則型問題，故假設(shè)

對于奇異積分方程（5）的特征方程

x=0顯然也是積分方程（6）的結(jié)點.為討論方便，暫視其為光滑點，所需添加的可解條件將進一步專門予以討論.

對于特征方程（6），由于在{{0}}類中求解，按文 獻 ［6］ 的 方 法 ，記γ∞=α∞+iβ∞=，故完全積分方程（5）的指標(biāo)k=α∞，當(dāng)k≥0時，則特征積分方程（6）在R-1類中的一般解為

其中，Pk(z)為k階的任意多項式.

當(dāng)k≤0時，Pk(z)≡0.

易見z=-i是Φ(z)的奇異點.為使Φ(z)在z=-i處解析，還需假設(shè)

當(dāng) k≤0時，Pk(z)≡0特征積分方程（6）在R-1類中的一般解為

再將（5）式改寫成

所以，完全奇異積分方程（5）已轉(zhuǎn)化為{{0}}類中在同解意義下的Fredholm積分方程（12）.k≤0時，僅當(dāng)（9）式成立并且 F(t)滿足

在{{0}}中可解.因而，在暫且不考慮在結(jié)點x=0處的性態(tài)的條件下，求解（6）等價于在{{0}}類中求解方程（12）或（14）.

受到外界和他人的影響，農(nóng)村留守兒童容易產(chǎn)生行為偏差，沉溺于游戲廳和網(wǎng)吧等娛樂場所，法律意識淡薄，出現(xiàn)違法違紀(jì)現(xiàn)象。農(nóng)村留守兒童問題具有長期性和特殊性的特點，關(guān)心不同性別、不同年齡段留守兒童的需求，有利于促進留守兒童的身心健康發(fā)展。

若k≥0，由Fredholm積分廣義預(yù)解核理論（12）可解的充要的條件

成立時，F(xiàn)redholm積分方程可解.

奇異積分方程（5）在{0}類中的一般解為

其中，γ(x,τ)為方程的廣義預(yù)解核.

若k≤0，（14）可解充要的條件

3　在結(jié)點x=0處添加的可解條件討論

先設(shè) x=0為普通端點.不失一般性，設(shè)x=0為起始弧端點.記 γ=α+iβ，0≤α≤1，由端點附近Cauchy型性質(zhì)對以(f(s)∈{0},γ=α+iβ（0≤α≤1））為密度函數(shù)的Cauchy型積分，由文獻［5］知，在x=0附近有.其中在x=0附近解析且屬于{{0}}函數(shù)類（c=0+(0-)）.由Φ+（z)的表達式（7），在結(jié)點x=0附近得到

函數(shù) O*(s)在 x=0處解析，且∈{{0}}，當(dāng)時，

由上式，經(jīng)計算當(dāng)s→0+時（當(dāng)s→0-時同理），有下式成立

由（19）及（20）式，以及Φ+（0）=Φ-(0)，則有，所以此式是積分方程（1）可解的必要條件.再設(shè) x=0是積分方程（1）的特異結(jié)點.在端點 x=0附近，設(shè) γ=α+iβ,α=0 ，則 γ=iβ .此時上述討論均成立，而

易見，當(dāng)s→0+或s→0-為保證Φ+（0）=Φ-(0)，須有，因為，無論x=0是問題普通結(jié)點或特異結(jié)點，可解的必要條件是

參考文獻：

［1］Duduchava R V.Integral operators of convolution type with discontinuous coefficients［J］.Math.Nachr.，1977，79（10）：75-98.

［2］Lu Jianke.On methods of solution of singular inte?gral equations with convolution［J］.Chin.Ann.of Math.，1987（8）：97-108.

［3］Shen Yongxiang.Some kinds of singular integral equations of Hilbert kernel with convolution［J］.Acta.Math.Sci.，1989，9（4）：421-426.

［4］孫鳳琪.含卷積核的完全奇異積分-微分方程的求解［J］.吉林大學(xué)學(xué)報，2010，48（4）：605-608.

［5］馮志新.變積分線Cauchy核卷積核混合的完全奇異積分方程的求解［J］.吉林大學(xué)學(xué)報，2013，6（51）：1051-1057.

［6］路見可.解析函數(shù)邊值問題［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2004.