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    談高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題

    2018-04-02 16:24:46陳德華
    數(shù)理化解題研究 2018年9期
    關(guān)鍵詞:解題函數(shù)圖像

    陳德華

    (江蘇省溧陽市竹簀中學(xué) 213351)

    高中數(shù)學(xué)十分考驗(yàn)學(xué)生的綜合能力,而且學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的解決過程中會(huì)提升自身的思維能力,所以教師在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)教授時(shí)要注意講究方法,從而提升學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的綜合素質(zhì).數(shù)學(xué)問題有很多種類,而且針對(duì)不同的不同種類的數(shù)學(xué)問題有不同的解決方法,學(xué)生只有掌握了正確的解決方法,才能夠高效率地去解決數(shù)學(xué)問題,所以教師在平時(shí)課堂教授過程中應(yīng)該多多去傳授給學(xué)生解題方法,而不應(yīng)該讓學(xué)生去進(jìn)行記憶解題.恒成立問題是數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要類別,而且解決該問題時(shí)有很多種思路和方法,例如分離參數(shù)法,函數(shù)最值法等,教師在進(jìn)行教授時(shí)應(yīng)該針對(duì)每一種解題方法都舉例說明,并讓學(xué)生做適當(dāng)?shù)木毩?xí),在做題的過程中去進(jìn)行總結(jié),從而提升學(xué)生自身的邏輯能力和解決數(shù)學(xué)問題的能力.

    一、構(gòu)造函數(shù)恒成立法

    函數(shù)是數(shù)學(xué)問題中一個(gè)很重要的類別,通過函數(shù)學(xué)生可以解決很多問題,并且將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化.而恒成立問題是指在已知條件下,無論其他變量有什么變化,其命題都永遠(yuǎn)成立.高中數(shù)學(xué)恒成立問題中涉及到很多函數(shù),所以在進(jìn)行該問題的解決時(shí),教師不妨讓學(xué)生利用函數(shù)去求解.一次函數(shù),二次函數(shù)甚至是多元函數(shù)等都是數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn),也是考試的重點(diǎn)內(nèi)容.函數(shù)在數(shù)學(xué)問題中以多種形式展現(xiàn),因此其學(xué)習(xí)難度系數(shù)較大,所以教師在讓學(xué)生利用函數(shù)去解決恒成立問題時(shí),要教授給學(xué)生正確的方法,讓數(shù)學(xué)問題不再成為難題.而利用函數(shù)去解決恒成立問題,其中一個(gè)重要的方法就是構(gòu)造新函數(shù),通過新函數(shù)的構(gòu)造來簡(jiǎn)化問題,從而使得恒成立求解更加容易,讓學(xué)生能夠更加高效率的解決恒成立問題.除此之外,函數(shù)可以在坐標(biāo)系中作圖,所以在解決恒成立問題時(shí),教師可以利用函數(shù)的圖像來進(jìn)行求值.

    我們?cè)诶煤瘮?shù)解決恒成立問題時(shí)要注意轉(zhuǎn)化,可以通過未知數(shù)的轉(zhuǎn)化,或者是將函數(shù)轉(zhuǎn)化成圖像來進(jìn)行求解.例如,若不等式2x-1>m(x2-1),對(duì)滿足-2≤m≤2所有的x都成立,求x的取值范圍.這是一道關(guān)于不等式的恒成立問題,而且不等號(hào)兩邊都有未知數(shù),我們不妨先將原不等式轉(zhuǎn)化為m(x2-1)-(2x-1)<0,而為了借助函數(shù)去解決該問題,我們可以再構(gòu)造函數(shù)f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2),不難發(fā)現(xiàn),該函數(shù)是一次函數(shù),那么題干中的不等式恒成立問題便轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)的恒成立問題,即f(m)>0恒成立.在該問題中,需要求出變量的取值范圍,x為已知參數(shù),這與以往的求未知數(shù)的取值范圍不同.那么在此問題中,我們可以針對(duì)一次項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行分類,當(dāng)x-1分別等于0,小于0,大于0時(shí),讓函數(shù)大于0的關(guān)于x的解集,根據(jù)此種方法,我們將x看成變量,完成了函數(shù)變量的轉(zhuǎn)化,從而更加容易的解決恒成立問題.所以學(xué)生在平時(shí)解決恒成立問題中,不妨多多去利用函數(shù)的性質(zhì)來簡(jiǎn)化恒成立問題.

    二、數(shù)形結(jié)合恒成立法

    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中會(huì)有很多圖形,而且這些圖形與數(shù)字有著密切的聯(lián)系,并且在解題過程中,若利用圖像,會(huì)簡(jiǎn)化問題的解決步驟.而且圖像與很多類數(shù)學(xué)問題都有聯(lián)系,例如函數(shù)問題.而在進(jìn)行函數(shù)圖像繪畫時(shí),首先需要去構(gòu)造函數(shù),并且求出自變量的范圍,而后再做出坐標(biāo)系去考慮函數(shù)與函數(shù)圖像之間的聯(lián)系,最后作出函數(shù)圖像.在數(shù)學(xué)問題的解決過程中,數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用很普遍,也很高效.利用該思想可以直接將一些復(fù)雜難懂的公式以及概念通過圖像直觀表示出來,從而使得學(xué)生能夠更進(jìn)一步的理解數(shù)學(xué)問題.而在解決恒成立問題過程中,學(xué)生也可以利用數(shù)形結(jié)合的方法去進(jìn)行該類問題的解決,且通過做出圖像能夠更加準(zhǔn)確地求出恒成立問題成立時(shí)未知數(shù)的范圍.例如,解由2x-1≥x-2,x+8≥4x-1組成的方程組,傳統(tǒng)解法中直接去計(jì)算方程組的解,但為了簡(jiǎn)便計(jì)算,我們可以將其看成為不等式的恒成立問題并且去利用圖像進(jìn)行求解,首先我們計(jì)算出每一個(gè)方程的解集,作出數(shù)軸,并將兩個(gè)方程的解集分別標(biāo)在數(shù)軸上,取其交集,而交集即是恒成立問題的解,也是該方程組的解.很明顯這種方法比直接解方程組速度快,正確率高.所以學(xué)生在解決恒成立問題時(shí),不妨多多作圖像,從而在圖像中尋找解決問題的簡(jiǎn)便方法.

    三、分離參數(shù)恒成立法

    恒成立問題往往是求不同變量的取值范圍,而且在該問題的整式中會(huì)含有多種參數(shù),包括已知和未知參數(shù).所以學(xué)生在進(jìn)行解題時(shí),要能夠?qū)⑦@些參數(shù)進(jìn)行分離,分離的過程可以通過將含有參數(shù)的不等式問題進(jìn)行變形來實(shí)現(xiàn).分離參數(shù)解決恒成立問題,能夠?qū)?fù)雜的恒成立問題簡(jiǎn)單化,且能夠提升解決問題的正確率和效率.在平時(shí)的數(shù)學(xué)問題解答過程中,我們通常將不同的位置數(shù)轉(zhuǎn)換成未知元x,在恒成立習(xí)題中,我們可以將參數(shù)視作主元,通過這種轉(zhuǎn)化可以簡(jiǎn)化恒成立問題.分離參數(shù)進(jìn)行恒成立問題的解決時(shí),學(xué)生需要正確將未知數(shù)轉(zhuǎn)化,而實(shí)現(xiàn)此能力需要學(xué)生進(jìn)行多次的鍛煉,那么教師在平時(shí)的課堂上,便可以多多去帶領(lǐng)學(xué)生練習(xí)該方面的習(xí)題.

    例如在“x∈R時(shí),不等式4a+sinx+a2≥0恒成立,求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.”的恒成立問題解題過程中,通過觀察已知條件,我們發(fā)現(xiàn)該問題中有兩個(gè)變量a和x,其中x∈R,另一變量a范圍是求值數(shù),所以在利用分離參數(shù)解決恒成立問題時(shí),首先我們要對(duì)a和x進(jìn)行分離,解出解析式的變形后為sin2x+4sinx5,最終我們解出a的范圍:小于-1或者是大于5.在該問題中,我們通過分離參數(shù),將恒成立問題轉(zhuǎn)化成求得函數(shù)的最值問題,從而進(jìn)行進(jìn)一步參數(shù)的求值.

    總之,高中數(shù)學(xué)恒成立問題主要是探求未知數(shù)的取值范圍和解集,而且往往恒成立問題中會(huì)摻雜許多其他種類的數(shù)學(xué)知識(shí),包括數(shù)學(xué)的函數(shù),數(shù)學(xué)不等式以及各種圖像等,這便讓恒成立問題解決起來變得困難.但也正是由于恒成立問題中包含許多其他類問題,我們所能用來解決問題的數(shù)學(xué)性質(zhì)增多,這便為我們解決數(shù)學(xué)恒成立問題提供了多種方法.教師在進(jìn)行恒成立問題的教授時(shí)應(yīng)該讓學(xué)生多多去練習(xí),并且在練習(xí)中學(xué)會(huì)總結(jié),從而讓學(xué)生找出最適合自己的解決恒成立問題的解題方法.

    參考文獻(xiàn):

    [1]孟凡棟.恒成立型不等式中參數(shù)范圍的幾種求法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2004(01).

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