正交矩陣的性質(zhì)初探

陜西省西安文理學(xué)院 樊 榮

一、正交矩陣的定義

定義1 一個n階實(shí)矩陣A叫作正交矩陣， 如果AA'-A'A=E。

注：（1）一個n階實(shí)矩陣A叫作正交矩陣， 如果A'=A-1。

（2）若n階實(shí)矩陣A的n個行（列）向量是兩兩正交的單位向量，則為正交矩陣。

定義2 在n階對角陣A中，若a11=a22=…ann=λ，λ∈R，則稱此時的A為數(shù)量陣。記A=λE，其中E為n階單位陣。

定義3 若n階方陣A滿足AT=A，其中AT為A的轉(zhuǎn)置陣，則稱A為對稱陣。

定義5 若同階A，B 方陣滿足AB=BA=E，其中E為同階單位陣，則稱A與B互為逆方陣，記逆矩陣A-1=B或者B-1=A。

二、正交矩陣的性質(zhì)

性質(zhì)1 設(shè)A，B均為正交矩陣，則：（1）|A|=±1。（2）A'，A-1，A＊，AB 都是正交矩陣。

性質(zhì)2 設(shè)A為正交矩陣，則其特征值的模等于1，且屬于A的不同特征值的特征向量互相正交。

性質(zhì)3 設(shè)A為正交矩陣，

（1）若|A|=-1，則A一定有特征值-1。

（2）若|A|=1， 且n為奇數(shù)，則A一定有特征值1。

性質(zhì)4 設(shè)A是n階正交矩陣，α是歐式空間Rn中的列向量，

性質(zhì)6 （1）設(shè)A為對稱正交矩陣，則A必為對合矩陣，從而A的特征值只能等于±1。

（2）設(shè)A為上（下）三角的正交矩陣，則A必為對角矩陣，且主對角線上的元素為±1。

性質(zhì)7 設(shè)A為非對稱的正交矩陣， 則A的特征值不可能全為實(shí)數(shù)。

性質(zhì)8 設(shè)A為正交矩陣，

（1）若|A|=1，則A的任意子式與其代數(shù)余子式相等。

（2）若|A|=-1，則A的任意子式與其代數(shù)余子式僅差一個符號。

三、例題說明

由性質(zhì)2知α2+β2=1， 所以得

故x，y的模長相等且互相正交。

[1]張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1983：321-328.

[2]戴立輝，王澤文，劉龍章.正交矩陣的若干性質(zhì)[J].華東地質(zhì)學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，25（3）：267-269.

[3]鄭艷林，劉少慶.關(guān)于正交矩陣特征值與行列式的兩個定理[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（1）：161-163.

[4]吳險(xiǎn)鋒，張曉琳.正交矩陣的進(jìn)一步探究[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，24（6）：65-68.