例談“垂線段最短”在最值問題中的巧妙運(yùn)用

姚躍貞

摘 要：近年來(lái)，最值問題頻繁出現(xiàn)在各地?cái)?shù)學(xué)中考卷中，甚至編入壓軸題，由此可見其重要性，在初中階段，最值問題一直是個(gè)難點(diǎn)也是一個(gè)重點(diǎn)，它要求學(xué)生具有很強(qiáng)的問題分析能力與綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力。本文利用“垂線段最短”巧妙解決各類最值問題。

關(guān)鍵詞：“垂線段最短”；動(dòng)點(diǎn)；最值；巧妙運(yùn)用

近年來(lái)，最值問題屢屢受到中考試題的青睞，其中“垂線段最短”在最值問題中的貢獻(xiàn)不容忽視。它的完整表述如下。

垂線公理垂直定理：

1.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)（直線上或直線外）有且只有一條直線與已知直線垂直。

2.直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短（簡(jiǎn)稱垂線段最短）。

利用“垂線段最短”可以巧妙地解決一些最值問題。

一、“垂線段最短”在國(guó)邊形中的巧妙運(yùn)用

例1：如圖1，矩形ABCD中，BC=8，CD=4，E、F兩點(diǎn)分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，求EF+CE的最小值。

解析：此題是兩動(dòng)點(diǎn)E、F，一定點(diǎn)C。

過點(diǎn)C作關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C，再過點(diǎn)C作CF⊥BC，垂足為F，交BD于E，由垂線段最短可得CF的長(zhǎng)即EF+CE的最小值，可求得[CC=1655]，則C′F=32/5。

例2：如圖2，菱形ABCD中，對(duì)角線BD=8，AC=6，E、F、G分別是BC、CD、BD上的動(dòng)點(diǎn)，求EG+FG的最小值。

解析：此題是三動(dòng)點(diǎn)E、F、G，學(xué)生會(huì)感到難，實(shí)際上，可假設(shè)一定點(diǎn)，如假設(shè)點(diǎn)E是定點(diǎn)，過點(diǎn)E作BD的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E恰好落在AB邊上），再過點(diǎn)E作EF⊥CD，垂足為F，交BD于點(diǎn)G，則垂線段EF的長(zhǎng)即為EG+FG的最小值，由等積法可求得[EF=245]。

點(diǎn)評(píng)：以上兩例題都運(yùn)用了對(duì)稱思想以及垂線段最短的性質(zhì)，要求學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

二、“垂線段最短”在三角形中的巧妙運(yùn)用

例3：如圖3，△ABC是等邊三角形，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，再沿線段PB以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后停止，若三角形的邊長(zhǎng)為4，問：當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？最少時(shí)間是多少秒？

解析：由AD⊥BC，△ABC是等邊三角形可得∠BAD=∠CAD=300，則點(diǎn)P到AC的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離的一半，由于點(diǎn)Q沿線段AD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，沿線段PB以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B后停止，則過點(diǎn)B作BE⊥AC，垂足為E，交AD于點(diǎn)P，則點(diǎn)Q從A運(yùn)動(dòng)到P的時(shí)間即為點(diǎn)P到點(diǎn)E所用的時(shí)間，因此，點(diǎn)P在離點(diǎn)A[433]處時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少，最少時(shí)間為[23]秒。

例4：在一次機(jī)器人測(cè)試中，要求機(jī)器人從點(diǎn)A出發(fā)到達(dá)點(diǎn)B處，如圖4，已知點(diǎn)A在點(diǎn)O的正西方600cm處，點(diǎn)B在點(diǎn)O正北方300cm處，且機(jī)器人在射線AO上的速度為20㎝/s，在射線AO上方以及下方的速度為10cm/s，試在OA上找一點(diǎn)P，使機(jī)器人沿A→P→B路線行進(jìn)所用時(shí)間最短，并求出AP的長(zhǎng)度。

解析：由題意知機(jī)器人在射線AO上的速度為20cm/s，在射線AO上方以及下方的速度為10cm/s，在AO下方，過點(diǎn)A作射線AD，使∠DAO=300，再過點(diǎn)B作BC⊥AD，垂足為C，交AO于點(diǎn)P，機(jī)器人沿A→P→B路線行進(jìn)，所用時(shí)間最短，此時(shí)[PO=1003]cm，則[AP=（600-1003）]cm。

點(diǎn)評(píng)：以上兩例題30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半以及垂線段最短的性質(zhì)，同樣需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

三、“垂線段最短”在壓軸題中的運(yùn)用

例5：如圖5，拋物線[y=12x2+mx+n]與直線[y=-12x+3]交于A、B兩點(diǎn)，交[x]軸于D、C兩點(diǎn)，連結(jié)AC、BC，已知點(diǎn)A（0，3），C（3，0）。

（1）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值。

（2）P為[y]軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交[y]軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P使得以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3）設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連結(jié)DE，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒[2]個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？

解析：由題意易求得拋物線的解析式為[y=12x2-52x+3]。令[y=0]，得[12x2-52x+3=0]，解得[x1=2，x2=3]所以點(diǎn)D（2，0），由點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)C（3，0）可求得直線AC的解析式為[y=-x+3]，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D，易求得點(diǎn)D（3，1），過點(diǎn)D作DH⊥OA于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)E，易證得四邊形OCDH為矩形，所以點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1，把[y=1]代入[y=-x+3]，得[x=1]，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，1）。

例6：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），如圖6，正方形OBCD的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在第二象限?，F(xiàn)將正方形OBCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得到正方形OEFG。

（1）如圖7，若α=600，OE=OA，求直線EF的函數(shù)表達(dá)式。

（2）若α為銳角，[tanα=12]，當(dāng)AE取得最小值時(shí)，求正方形OEFG的面積。

（3）當(dāng)正方形OEFG的頂點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，直線AE與直線FG相交于點(diǎn)P，△OEP的其中兩邊之比能否為[2∶1]？若能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，試說(shuō)明理由。

解析：由于[tanα=12]就一個(gè)定值，所以當(dāng)AE⊥OE時(shí)，AE取得最小值。易求得[OE=6×25=125]，所以[S正方形OEFG=（125）2=1445]。

歸納反思：綜合上述6個(gè)例題描述，雙動(dòng)點(diǎn)或三動(dòng)點(diǎn)形成的最值問題，涉及數(shù)學(xué)思想很多，包括實(shí)際問題轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系的建模思維，根據(jù)問題進(jìn)行討論分析的思維，解決該問題需要綜合一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，等腰三角形，三線合一等數(shù)學(xué)知識(shí)，條件要求苛刻，立意高，綜合性強(qiáng)，需要學(xué)生有較好基礎(chǔ)才能。因此，抓好學(xué)生的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)是立身之本。