提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的幾點(diǎn)思考與實(shí)踐

郭燕妮

【摘要】本文統(tǒng)計(jì)了高等數(shù)學(xué)課程2016—2017年度試卷的各題得分點(diǎn)的數(shù)據(jù)，結(jié)合該數(shù)據(jù)反映出當(dāng)前課堂教學(xué)的現(xiàn)狀和問(wèn)題.本文從課堂教學(xué)的教與學(xué)、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)、計(jì)算能力的培養(yǎng)、可視化教學(xué)、理論課與習(xí)題課教學(xué)、作業(yè)和答疑六方面提出了筆者在提升高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方面的認(rèn)識(shí)和思考，給出了有效提升課堂教學(xué)的幾點(diǎn)建議.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；質(zhì)量提升；改進(jìn)措施

一、引 言

高等數(shù)學(xué)是理工科院校大部分專業(yè)學(xué)生的一門必修課程.通過(guò)學(xué)習(xí)本課程，學(xué)生可以掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和基本技能，為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和工具.通過(guò)學(xué)習(xí)本課程，還可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、數(shù)學(xué)建模能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，從而提高其綜合素質(zhì).學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)掌握的好壞，不僅直接關(guān)系到后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，而且對(duì)其思維的發(fā)展和提高都有著深遠(yuǎn)的影響.因此，做好高等數(shù)學(xué)課程的課堂教學(xué)工作是非常重要的.本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，分析高等數(shù)學(xué)課程課堂教學(xué)中存在的問(wèn)題，總結(jié)該課程教學(xué)方面的幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)，以期對(duì)提升高等數(shù)學(xué)課程的課堂教學(xué)質(zhì)量提供有益借鑒和參考.

二、高等數(shù)學(xué)課程的課堂教學(xué)現(xiàn)狀分析及改進(jìn)

高等數(shù)學(xué)作為普通高校大多數(shù)專業(yè)學(xué)生的必修課之一，具有重要的基礎(chǔ)性地位.但該課程知識(shí)高度抽象且有著嚴(yán)密的邏輯性，致使許多學(xué)生未能通過(guò)期末考試而不得不參加重修.就中國(guó)民航大學(xué)2016—2017學(xué)年度第一學(xué)期而言，一年級(jí)本科生應(yīng)考人數(shù)為3 478人，參加重修的高年級(jí)學(xué)生的應(yīng)考人數(shù)為1 092人.重修人數(shù)占到新生人數(shù)的31.40%，雖然較2015—2016學(xué)年度第一學(xué)期的34.83%及2015—2016學(xué)年度第二學(xué)期的40%有所下降，但重修率依然很高.因而，不斷提高高等數(shù)學(xué)授課教師的課堂教學(xué)質(zhì)量不僅是教學(xué)本身的需要，也是降低重修率的主要途徑之一.本文將結(jié)合高等數(shù)學(xué)試卷知識(shí)點(diǎn)的得分率來(lái)分析該課程課堂教學(xué)中應(yīng)注意的事項(xiàng)，并討論多年教學(xué)實(shí)踐中的思考和改進(jìn)措施.由于高等數(shù)學(xué)歷年出題結(jié)構(gòu)類似，本文僅以2016—2017學(xué)年度兩學(xué)期的期末試卷的得分點(diǎn)為例進(jìn)行分析.

2016—2017學(xué)年度兩學(xué)期試卷計(jì)算題中單題最高分為8分，依次為7分和6分.本文把得0～2分視為學(xué)生未掌握該知識(shí)點(diǎn)，得3～4或者3～5分視為基本掌握，得5～6分或6～7分或6～8分視為掌握良好.知識(shí)點(diǎn)及得分情況如下：

由上述兩表可以看出，70%以上的一年級(jí)學(xué)生對(duì)微分學(xué)的直接計(jì)算問(wèn)題掌握良好.在一元函數(shù)微分學(xué)的直接應(yīng)用上也表現(xiàn)不錯(cuò)，掌握良好的占到了75.28%.但在多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用方面得分較差，未掌握的學(xué)生達(dá)到40.96%，掌握該部分內(nèi)容的學(xué)生僅有25.33%，反映出學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力有待提高.在不定積分與定積分的計(jì)算及應(yīng)用方面得分情況差異較大，得分情況表明對(duì)于簡(jiǎn)單的直接計(jì)算，學(xué)生學(xué)習(xí)良好；但對(duì)于一些稍微有點(diǎn)技巧的題目和定積分的應(yīng)用上，學(xué)生失分嚴(yán)重，掌握良好的學(xué)生僅分別占到53.05%及23.52%，這在很大程度上反映出學(xué)生對(duì)一些基本的計(jì)算技巧不熟練，計(jì)算能力不強(qiáng).對(duì)應(yīng)的多元函數(shù)積分學(xué)的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生掌握良好的僅占一半左右.一方面，是由于部分學(xué)生未對(duì)定積分的內(nèi)容很好掌握，阻礙了其進(jìn)一步的學(xué)習(xí)；另一方面，也源于學(xué)生對(duì)抽象出重積分，線面積分概念的具體物理問(wèn)題理解不深，從而對(duì)概念缺乏足夠的認(rèn)識(shí)，影響了對(duì)計(jì)算方法的掌握.學(xué)生在空間解析幾何、級(jí)數(shù)和微分方程的答題方面也反映出類似的問(wèn)題.

綜上所述，針對(duì)學(xué)生的答題及得分情況反映出的對(duì)數(shù)學(xué)的概念理解不深、計(jì)算能力有待提高，綜合解決問(wèn)題的能力還需要進(jìn)一步培養(yǎng)等問(wèn)題及多年的教學(xué)實(shí)踐，本文擬從高等數(shù)學(xué)課程課堂教學(xué)的教與學(xué)、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)、計(jì)算能力的培養(yǎng)、理論課教學(xué)和習(xí)題課教學(xué)以及作業(yè)和答疑六個(gè)方面進(jìn)行分析，提出筆者的見(jiàn)解并討論改進(jìn)措施.

（一）課堂教學(xué)的教與學(xué)

課堂教學(xué)過(guò)程包括教師的教和學(xué)生的學(xué)兩方面的活動(dòng)過(guò)程.教師不僅要教會(huì)學(xué)生知識(shí)，還要在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的各種能力，尤其是讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的能力.引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)部分內(nèi)容并在學(xué)生精力允許的條件下為其提供一定量的參考書(shū)便于學(xué)生更好地理解和領(lǐng)會(huì)知識(shí)，是促進(jìn)學(xué)生從學(xué)會(huì)知識(shí)到會(huì)學(xué)知識(shí)的良好途徑.目前大部分的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)基本省略了讓學(xué)生自學(xué)的步驟，而采取教師全堂講授和偶爾學(xué)生練習(xí)相結(jié)合的教學(xué)形式.筆者近年來(lái)在課堂教學(xué)中對(duì)一些需要深刻理解的內(nèi)容采取了做提示、列問(wèn)題，讓學(xué)生帶著問(wèn)題自學(xué)的形式.例如，學(xué)習(xí)定積分的定義時(shí)，在講授了曲邊梯形面積的計(jì)算方法和步驟后，讓學(xué)生自學(xué)非均勻細(xì)長(zhǎng)型構(gòu)件的質(zhì)量的計(jì)算.同時(shí)，提出如下問(wèn)題：

A.非均勻細(xì)長(zhǎng)型構(gòu)件的質(zhì)量的近似計(jì)算步驟是什么？

B.如何得到非均勻細(xì)長(zhǎng)型構(gòu)件的精確質(zhì)量？

C.比較非均勻細(xì)長(zhǎng)型構(gòu)件的質(zhì)量計(jì)算與曲邊梯形面積的計(jì)算方法與步驟的異同.

D.若知道非勻速直線運(yùn)動(dòng)物體在任一時(shí)刻的速度，可以計(jì)算其在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)行駛的路程嗎？如何計(jì)算？哪些物理量的計(jì)算也可以采取這樣的方法和步驟？

學(xué)生帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)增加了學(xué)習(xí)的目的性，也提高了探索的興趣，同時(shí)對(duì)哪些實(shí)際問(wèn)題可以用定積分來(lái)解決有了初步的認(rèn)識(shí)，對(duì)相應(yīng)的解決方法和步驟有了進(jìn)一步的了解.這樣的做法讓學(xué)生對(duì)特定概念的理解更深刻，有利于促進(jìn)學(xué)生從學(xué)會(huì)到會(huì)學(xué)的轉(zhuǎn)變.但需要指出的是教師在遴選讓學(xué)生自學(xué)的內(nèi)容時(shí)要注意考慮到大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和能力，如果在一開(kāi)始就讓學(xué)生自學(xué)定積分的定義，可能達(dá)不到預(yù)期的效果.

（二）數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解不深刻、不透徹，解決實(shí)際問(wèn)題的能力不強(qiáng)，與教師沒(méi)有重視具體問(wèn)題的引入有關(guān).數(shù)學(xué)中的很多概念都是從具體的物理問(wèn)題和幾何問(wèn)題中抽象出來(lái)的，例如，向量的數(shù)量積和向量積、導(dǎo)數(shù)、定積分、重積分、線面積分、散度、旋度等.要讓學(xué)生較好地理解和掌握這些概念，明確這些概念的內(nèi)涵和外延，教師就必須弄明白相應(yīng)的物理和幾何模型，講清楚用數(shù)學(xué)表達(dá)式解決這些問(wèn)題的思想、方法和步驟.只有這樣，學(xué)生才能對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念有比較深刻的認(rèn)識(shí)，也才能熟練地運(yùn)用概念去解決更為復(fù)雜的物理和幾何問(wèn)題.例如，在講第二類曲面積分時(shí)，教師首先解釋清楚流量的概念，通過(guò)作圖或應(yīng)用動(dòng)畫(huà)表現(xiàn)出單位時(shí)間內(nèi)不可壓縮流體流經(jīng)某一曲面指定方向的流量的計(jì)算思路，讓學(xué)生對(duì)具體的物理問(wèn)題有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)和清晰的認(rèn)知，再推導(dǎo)第二類曲面積分所需要的形式.這樣學(xué)生對(duì)第二類曲面積分定義的理解會(huì)更深刻一些，再用同樣的方法解決磁通量、電通量或其他應(yīng)用問(wèn)題時(shí)就不會(huì)感覺(jué)到困難.

（三）計(jì)算能力的培養(yǎng)

所以，要想培養(yǎng)學(xué)生良好的計(jì)算能力和熟練的計(jì)算技巧，需從深刻理解基本概念入手，并要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上正確記憶數(shù)學(xué)公式和定理.反過(guò)來(lái)，對(duì)練習(xí)題目的計(jì)算又可以加深對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的理解，對(duì)數(shù)學(xué)公式和定理的記憶和掌握.

（四）可視化的理論課教學(xué)

高等數(shù)學(xué)的知識(shí)高度抽象，而體現(xiàn)一個(gè)抽象現(xiàn)象或過(guò)程的最好辦法之一是賦予它直觀而現(xiàn)實(shí)的意義.可視化教學(xué)是利用圖形和動(dòng)畫(huà)等可視化信息把抽象的概念、邏輯嚴(yán)密的證明、難以想象的空間圖像借助多媒體課件直觀化、具體化的一種教學(xué)方式.可視化教學(xué)能把眾多可視化的信息集于一體，向?qū)W生提供一個(gè)豐富多彩、生動(dòng)友好、方便靈活的界面，使學(xué)生的各個(gè)感官能夠同時(shí)接收到教學(xué)信息，從而起到良好的教學(xué)效果.

在講授三重積分的計(jì)算中，常常需要畫(huà)出積分區(qū)域的圖形.例如，求球面x2+y2+z2=a2與圓柱面x2+y2=ax（a>0）所圍成的體積（指含在圓柱面內(nèi)的部分）.大多數(shù)學(xué)生見(jiàn)到這個(gè)問(wèn)題一籌莫展，原因在于想象不出、畫(huà)不出積分區(qū)域的圖形，因而，無(wú)法確定各個(gè)變量的積分上下限，也無(wú)法利用三重積分計(jì)算該立體的體積.這就需要通過(guò)圖形和動(dòng)畫(huà)來(lái)提供感性材料，豐富學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)和圖形思維.筆者用數(shù)學(xué)動(dòng)畫(huà)來(lái)展現(xiàn)球面和圓柱面相交后交線及交面的形成過(guò)程，引來(lái)學(xué)生一片驚嘆聲.教學(xué)過(guò)程隨后得以順利進(jìn)行.圖1與圖2為球面和圓柱面相交的動(dòng)畫(huà)截圖.

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，合理運(yùn)用圖形和數(shù)學(xué)動(dòng)畫(huà)使“不可見(jiàn)對(duì)象變?yōu)榭梢?jiàn)對(duì)象”，不僅可以豐富學(xué)生的感知，加強(qiáng)學(xué)生動(dòng)態(tài)想象的基礎(chǔ)，也為更高級(jí)的抽象提供條件，更為抽象思維準(zhǔn)備了足夠的感性材料.在積累運(yùn)動(dòng)與變化的感性資料方面，數(shù)學(xué)動(dòng)畫(huà)有不可替代的獨(dú)特地位.從教學(xué)效果而言，也提高了教學(xué)質(zhì)量和效率.

（五）習(xí)題課教學(xué)

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容多、課時(shí)少，教學(xué)計(jì)劃中沒(méi)有安排單獨(dú)的習(xí)題解答課.教師通常在每一章教學(xué)內(nèi)容結(jié)束之后總結(jié)本章的內(nèi)容時(shí)給學(xué)生系統(tǒng)地講解部分典型的重難點(diǎn)習(xí)題，當(dāng)課堂教學(xué)時(shí)間緊張時(shí)，這樣的教學(xué)時(shí)間還可能被壓縮掉.但不少學(xué)生認(rèn)為習(xí)題課教學(xué)很必要和重要，并喜歡上習(xí)題課.因而，教師需要處理好理論課教學(xué)和習(xí)題課教學(xué)的時(shí)間分配，并保證習(xí)題課教學(xué)的時(shí)間.

教師在理論課教學(xué)中應(yīng)主要講授新知識(shí)、新思想和新方法，但講授習(xí)題課時(shí)就應(yīng)該把精力放在理論知識(shí)和方法的總結(jié)、歸納和提高上來(lái)，而不是簡(jiǎn)單復(fù)述和羅列一章的概念、公式和定理，也不是隨意讓學(xué)生在課堂上做一些練習(xí)題.習(xí)題課教學(xué)應(yīng)是理論課教學(xué)的重要補(bǔ)充和完善.例如，在講級(jí)數(shù)中數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)部分的習(xí)題課時(shí)，判別數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性是重點(diǎn)，針對(duì)具體的級(jí)數(shù)選取恰當(dāng)?shù)臄可⑿耘袆e法是關(guān)鍵.但學(xué)生初學(xué)之后往往不能根據(jù)所給的級(jí)數(shù)很好地選擇適當(dāng)?shù)膶彅糠?，這就降低了學(xué)生解題的速度和正確程度.對(duì)于這種情況，教師在復(fù)習(xí)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂性方法時(shí)要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)適用不同審斂法的級(jí)數(shù)的特點(diǎn)，例如，遇到連乘、連除時(shí)，特別是級(jí)數(shù)通項(xiàng)中含有階乘項(xiàng)時(shí)考慮比值審斂法，級(jí)數(shù)通項(xiàng)含有乘方時(shí)考慮根值審斂法，正項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)有遞減性質(zhì)時(shí)考慮積分判別法等等.再如，上微分學(xué)的應(yīng)用中凹凸性部分的習(xí)題課時(shí)，要把重點(diǎn)放在結(jié)合例題歸納總結(jié)利用凹凸性、極值、單調(diào)性、中值定理、泰勒公式、極限等證明不等式的方法上來(lái).這樣學(xué)生既鞏固了已學(xué)的知識(shí)，又學(xué)習(xí)了新的知識(shí)，還能進(jìn)一步理清各章節(jié)之間的聯(lián)系.習(xí)題課教學(xué)的有無(wú)和好壞也是影響高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的一個(gè)重要因素.

（六）作業(yè)和答疑

作業(yè)是學(xué)生鞏固知識(shí)、掌握技能，是教師檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)情況的重要途徑，更是保證教學(xué)質(zhì)量的重要手段.高等數(shù)學(xué)每次課堂教學(xué)后都有一定量的作業(yè)用于學(xué)生練習(xí)和鞏固所學(xué)知識(shí)，筆者一般通過(guò)批三分之一量的作業(yè)來(lái)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生掌握不太好的內(nèi)容和課堂講得不清楚的地方，從而能夠在下次上課時(shí)及時(shí)補(bǔ)充和完善.另有三分之二的作業(yè)由助教協(xié)助完成，以保證每次作業(yè)都能夠及時(shí)得到批改.但由于作業(yè)要照顧到大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在作業(yè)數(shù)量和難度方面傾向于所講知識(shí)點(diǎn)的直接鞏固.所以，對(duì)于一些學(xué)習(xí)底子好，學(xué)習(xí)興趣濃的學(xué)生，這樣的作業(yè)量和作業(yè)水平可能無(wú)法滿足其需求，往年筆者采用了增加思考題的方式供學(xué)有余力的學(xué)生練習(xí).筆者還考慮將在某些作業(yè)的后邊增加對(duì)應(yīng)學(xué)習(xí)內(nèi)容的應(yīng)用性思考題，特別是高等數(shù)學(xué)在其他課程中的應(yīng)用的相關(guān)題目.

此外，筆者每周都安排了固定的答疑時(shí)間和地點(diǎn)，但平時(shí)來(lái)答疑的學(xué)生屈指可數(shù).為更好地解決學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的問(wèn)題和困難，筆者借用微信的便捷平臺(tái)，與學(xué)生通過(guò)微信群的方式相互討論與解答問(wèn)題，同時(shí)也鼓勵(lì)學(xué)生之間互幫互助.通過(guò)一個(gè)學(xué)期的實(shí)踐，反響很好，微信群內(nèi)學(xué)習(xí)氣氛熱烈.對(duì)于問(wèn)題，會(huì)解決的學(xué)生上傳自己的解答過(guò)程，對(duì)解答有疑惑的學(xué)生就會(huì)提問(wèn)，然后大家討論，討論無(wú)法解決時(shí)筆者再做出提示或解答.對(duì)于涉及重要知識(shí)點(diǎn)或難理解的題目，筆者通常采用錄制微型視頻的形式，在視頻解答的過(guò)程中，重點(diǎn)指出每個(gè)步驟的原因.建立微信群的方法不僅有助于服務(wù)到大多數(shù)有問(wèn)題但不愛(ài)提問(wèn)的學(xué)生，同時(shí)也讓一些問(wèn)題越辯越明，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和鞏固.

三、其他影響課堂教學(xué)質(zhì)量的可能因素和建議

以下就可能影響課堂教學(xué)質(zhì)量的兩點(diǎn)因素提出建議，希望能引起相關(guān)部門和領(lǐng)導(dǎo)的關(guān)注，進(jìn)而提出有效的改進(jìn)措施.

（一）建議排課更均衡些

高等數(shù)學(xué)課程針對(duì)大學(xué)一年級(jí)學(xué)生開(kāi)設(shè)，教學(xué)周期為一年.教學(xué)時(shí)間的安排相對(duì)固定，使學(xué)生能在特定的時(shí)間和地點(diǎn)接受特定的教學(xué)內(nèi)容，這樣的安排有助于建立和加強(qiáng)學(xué)生大腦中特定的神經(jīng)聯(lián)系，鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶.第一學(xué)期大多數(shù)學(xué)生表現(xiàn)良好，作業(yè)按時(shí)完成，期末成績(jī)基本符合預(yù)期.以上學(xué)期為例，2016—2017學(xué)年度第一學(xué)期筆者授課班級(jí)的期末平均分為87.24，不及格率為3.97%.但第二學(xué)期的數(shù)學(xué)教學(xué)情況通常比第一學(xué)期差.學(xué)生按時(shí)完成作業(yè)的情況也不理想，一些學(xué)生甚至出現(xiàn)了抄襲的現(xiàn)象.除課程內(nèi)容本身難度大之外，一些學(xué)生還反映說(shuō)第二學(xué)期課程排課較滿，沒(méi)有時(shí)間及時(shí)消化吸收課堂教學(xué)內(nèi)容，長(zhǎng)此以往，數(shù)學(xué)就慢慢掉隊(duì).經(jīng)查看部分學(xué)生的課表，有的幾乎從早到晚，從周一到周五都排滿了課，這樣的作息課表讓學(xué)生疲于上課，甚至對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生倦怠情緒，很大程度上影響了教學(xué)效果.但學(xué)生反映第一學(xué)期的課程很少，有時(shí)都到了無(wú)所事事的地步.所以，期望相關(guān)部門在課程的安排上再多些考慮，使每學(xué)期的課程數(shù)更為均衡些.課程安排的恰當(dāng)將為教學(xué)質(zhì)量的提高提供有力保障.

（二）建議限定學(xué)生重修次數(shù)或重修課修習(xí)資格

學(xué)校從幫助學(xué)生學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，允許學(xué)生反復(fù)重修同一門課，愿想是良好的.但在實(shí)施的過(guò)程中也要及時(shí)看到這樣的方式帶來(lái)的問(wèn)題和弊端.筆者連續(xù)多年代重修班的高等數(shù)學(xué)課程，并每次考勤，基本情況是120人的班容量，到課率徘徊在50%～70%之間，而上學(xué)期重修生期末的缺考率高達(dá)35%，遠(yuǎn)高于正常班學(xué)生的0.2%.此外，重修的學(xué)生數(shù)基本占到正常班學(xué)生數(shù)的近三分之一.高重修率、低到課率、高缺考率，體現(xiàn)出學(xué)生對(duì)重修課的隨意性態(tài)度.這無(wú)疑是教學(xué)資源的極大浪費(fèi).同時(shí)，由于需要大量教師參與重修課教學(xué)，這又進(jìn)一步擠壓了高負(fù)荷下相關(guān)教師的備課和思考時(shí)間.因此，建議限定學(xué)生重修次數(shù)或重修課修習(xí)資格.

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