內(nèi)外激勵下風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性

向 玲， 高 楠， 唐 亮， 郭鵬飛(華北電力大學(xué) 機械工程系, 河北 保定 071003)

風(fēng)能作為一種資源豐富、分布廣、無污染的綠色可再生資源，越來越受到世界各地的重視。風(fēng)力發(fā)電機齒輪箱是風(fēng)機的重要組成部分，但由于外部惡劣的工作環(huán)境，加上風(fēng)力發(fā)電機齒輪傳動系統(tǒng)本身傳動比大、扭矩高等特點，導(dǎo)致風(fēng)機齒輪箱頻繁出現(xiàn)故障問題，降低了風(fēng)力發(fā)電的效率。因此，風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)研究，對降低齒輪傳動系統(tǒng)故障有重要意義。常見的兆瓦級風(fēng)力機齒輪箱是由行星齒輪傳動和直齒輪傳動組成的，行星齒輪傳動具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動效率高、運動平穩(wěn)和抗沖擊能力強等優(yōu)點，但行星齒輪傳動系統(tǒng)含有內(nèi)外同時嚙合的齒輪，在內(nèi)外激勵下存在復(fù)雜的非線性因素，所以其非線性振動問題一直是研究的重點。卜忠紅等[1]從模型、固有特性和動態(tài)相應(yīng)計算等多個方面綜述了近年來行星齒輪傳動動力學(xué)的研究進展；邱星輝等[2]也對風(fēng)力機組行星齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)的研究進行了綜述；Kahrarman[3]建立了行星齒輪傳動系統(tǒng)的線性純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，求解獲得該系統(tǒng)的固有特性和振動響應(yīng)；孫智民等[4]建立了2K-H行星齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型，研究了系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下的簡諧、非簡諧單周期、次諧波、準(zhǔn)周期和混沌穩(wěn)態(tài)強迫響應(yīng)，結(jié)果表明齒側(cè)間隙參數(shù)影響系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為；張慧博等[5]研究了考慮多間隙耦合關(guān)系影響的齒輪副系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性；孫濤等[6-7]采用諧波平衡法對行星齒輪傳動系統(tǒng)的彎扭耦合非線性動力學(xué)進行了研究；李晟等[8]分析了激勵頻率和嚙合阻尼比對兩級行星齒輪傳動系統(tǒng)分岔與混沌特性的影響；李同杰等[9]建立了考慮時變嚙合剛度、綜合嚙合誤差和齒側(cè)間隙非線性因素下的行星齒輪傳動系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，分析了轉(zhuǎn)速、齒側(cè)間隙和阻尼比對該系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響；Zhao等[10]研究了靜態(tài)傳遞誤差、平均交變力比和時變嚙合剛度變化對風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響；Wang等[11]以風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)非線性動力學(xué)模型為研究對象，對比并分析了不同阻尼比對該系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。眾多學(xué)者對風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)特性進行了研究，本論文在此基礎(chǔ)上進一步研究風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的分岔及混沌特性。

以1.5 MW雙饋式風(fēng)力發(fā)電機組的齒輪箱為研究對象，建立此齒輪傳動系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)振動非線性動力學(xué)模型，分析在內(nèi)外激勵變化下系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性。以時間歷程圖、相圖、Poincaré截面圖、FFT頻譜圖、全局分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)圖作為分析手段，詳細(xì)說明系統(tǒng)隨著激勵頻率和綜合嚙合誤差變化下的動力學(xué)特性。結(jié)果為風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)的設(shè)計、減振和降噪提供理論參考。

1 非線性動力學(xué)模型

風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型如圖1所示，它是由一級行星齒輪傳動加兩級平行軸齒輪傳動組成，所有齒輪為直齒輪。行星齒輪傳動系統(tǒng)有太陽輪s，行星架c，行星輪pi(i=1,2,…,N)，內(nèi)齒圈r；g1、g2為低速級齒輪；g3、g4為高速級齒輪，整體采用集中參數(shù)模型對系統(tǒng)建模。在行星齒輪傳動系統(tǒng)中內(nèi)齒圈固定，行星架c作為輸入端，輸入扭矩為Tin；高速級g4為輸出端，輸出扭矩為Tout。θm(m=c,s,pi,g1,g2,g3,g4)為行星架(各齒輪)的扭轉(zhuǎn)角度；kj、cj、ej(j=spi,rpi,g1g2,g3g4)分別表示為各齒輪副間的時變嚙合剛度、嚙合阻尼及綜合嚙合誤差。假設(shè)系統(tǒng)全部構(gòu)件為剛體，不考慮各軸系扭轉(zhuǎn)剛度和齒面摩擦。

在行星齒輪傳動中，行星輪同時與太陽輪和內(nèi)齒圈嚙合傳動，故各齒輪副嚙合頻率相同。在風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)中，視內(nèi)齒圈固定，可根據(jù)行星齒輪傳動副傳動關(guān)系推導(dǎo)嚙合頻率ωspi(i=1,2,…,N)可表示為

ωspi=ωrpi=ωczr

(1)

式中:ωc為行星架轉(zhuǎn)速;zr為內(nèi)齒圈齒數(shù)。

圖1 系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型

在整個系統(tǒng)中，行星齒輪級、低速級齒輪系和高速級齒輪系的齒輪副間具有不同的嚙合頻率，根據(jù)傳動比關(guān)系，平行軸齒輪副的嚙合頻率是ωg1g2=Λ1ωspi、ωg3g4=Λ1Λ2ωspi，式中Λ1=5，Λ2=3.9分別為行星齒輪傳動系和低速級齒輪系的傳動比。

由于直齒輪嚙合副剛度的特點，可采用周期矩形波表示嚙合剛度[12]，其表達式可利用以嚙合頻率為基頻的Fourier級數(shù)展開表示，取一次諧波項即

多增氧：溶氧決定產(chǎn)量，多開增氧機增氧，曝氣、調(diào)水的效果好。使用羅茨風(fēng)機加納米管或納米盤增氧，功率可達10瓦/立方水體，產(chǎn)量也可達10斤/立方水體。

kj=kmj+kajsin(ωjt+φj)

(2)

式中:kmj,kaj分別為各嚙合副的平均嚙合剛度和剛度變化幅值;φj為各嚙合副嚙合剛度變化幅值的初相位;ωj為各嚙合副的嚙合頻率。

1.1 綜合嚙合誤差

各齒輪系的綜合嚙合誤差包括齒輪副靜態(tài)傳遞誤差和各齒輪的偏心誤差等，可表示為按嚙合頻率變化的正弦函數(shù)形式[13]

ej=Ejsin(ωjt+φej)

(3)

式中:Ej為各齒輪副綜合嚙合誤差幅值；φej為各齒輪副綜合誤差初相位。

1.2 齒側(cè)間隙函數(shù)

齒輪副間隙非線性函數(shù)[14]可表示為

(4)

式中:2b為齒側(cè)間隙;xj為各齒輪副在嚙合線上的相對位移。

2 系統(tǒng)動力學(xué)方程

根據(jù)拉格朗日方程建立系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)方程，但由于該方程為半正定、變參數(shù)微分方程，在計算中存在剛體位移無法直接求解。為了能夠順利求解，引入相對坐標(biāo)消除剛體位移xj，公式表示為

xg1g2=rg1θg1+rg2θg2-eg1g2(t),

xg3g4=rg3θg3+rg4θg4-eg3g4(t),

xrpi=rpiθpi-rcθccosα-erpi(t) (i=1,2,…,N)

(5)

(6)

量綱一綜合嚙合誤差為

(7)

式中：Ωj=ωj/ωn，為激勵頻率。

量綱一齒側(cè)間隙函數(shù)為

(8)

在本文計算中，視太陽輪與低速級齒輪g1的轉(zhuǎn)速相同，低速級齒輪g2與高速級齒輪g3的轉(zhuǎn)速相同，即扭轉(zhuǎn)角相等θs=θg1，θg2=θg3。

根據(jù)以上各式，可以得到本文研究系統(tǒng)的相對位移坐標(biāo)下的量綱一化動力學(xué)方程表達式

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：

i=1,2,…,N

本文視風(fēng)電機組額定功率為系統(tǒng)的傳遞功率，其表達式為

(13)

式中：ρair為空氣密度;rblade為葉片半徑;νwind為平均風(fēng)速;Cp為風(fēng)能利用系數(shù)。系統(tǒng)的輸入扭矩和輸出扭矩可表示為

(14)

式中:Λ為風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)總傳動比。

3 系統(tǒng)求解及分析

本文利用4-5階變步長Runge-Kutta法對系統(tǒng)量綱一振動方程進行求解。為了消除系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，計算所得數(shù)值結(jié)果略去前1 500個周期，然后以全局分岔圖、最大Lypapunov指數(shù)圖(以下稱LLE)、時間歷程圖、FFT頻譜圖、相圖及Poincaré截面圖作為分析手段，研究說明系統(tǒng)隨參數(shù)變化的分岔及混沌特性。取風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)基本參數(shù)Pin=1.5 MW，Λ=101，ξ=0.03，α=20°，N=3，ωblade=17 r/min，各齒輪基本參數(shù)如表1所示。

3.1 系統(tǒng)隨激勵頻率Ω的動力學(xué)特性

取系統(tǒng)各齒輪副的綜合嚙合誤差幅值Ej=150 μm，半齒側(cè)間隙bc=300 μm，計算激勵頻率Ω在0.001～2之間的系統(tǒng)分岔圖和LLE圖，分別如圖2和圖3所示，由于xrpi的動態(tài)響應(yīng)和xspi類似，故以下僅分析xspi。由兩幅圖可清晰看出系統(tǒng)具有豐富的分岔及混沌特性，且隨著激勵頻率的增加，系統(tǒng)在周期、擬周期運動和混沌運動之間相互切換。激勵頻率Ω在0.001～0.559變化期間，由分岔圖可知系統(tǒng)處于幅值較小的混沌運動，期間也會陣發(fā)性地出現(xiàn)單周期運動、2周期運動和擬周期運動。進入混沌道路的途徑主要是激變。配合此期間的LLE圖可知，LLE在正負(fù)間切換即系統(tǒng)在混沌與穩(wěn)態(tài)相互切換；激勵頻率Ω在0.559～0.771變化期間，系統(tǒng)經(jīng)倍分岔進入混沌運動，該范圍內(nèi)系統(tǒng)存在單周期運動、3周期運動和12周期運動，期間存在陣發(fā)性混沌，在LLE圖存在LLE正負(fù)間切換的波動現(xiàn)象可知系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)與混沌之間相互切換；激勵頻率Ω在0.771～0.891變化期間，系統(tǒng)處于混沌運動，且混沌位移增大，LLE為正；當(dāng)激勵頻率Ω=0.891時，系統(tǒng)經(jīng)切分岔由混沌響應(yīng)進入擬4周期運動，LLE為-0.001 94，隨后在Ω=0.923，系統(tǒng)重新進入混沌；激勵頻率Ω在0.923～1.081期間，系統(tǒng)仍然處于混沌運動；激勵頻率Ω在1.081～1.161期間，系統(tǒng)從混沌倒分岔至2周期運動，繼而“鎖相”長周期運動，最終進入混沌運動，由LLE圖可知，LLE在0附近波動，然后激變?yōu)檎担f明系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)與混沌的臨界狀態(tài)波動最終演變?yōu)榛煦邕\動；激勵頻率Ω在1.161～1.641期間系統(tǒng)運動為混沌-擬2周期運動，配合LLE圖可知激勵頻率變化下，LLE由正值隨后逐漸回歸負(fù)值；當(dāng)激勵頻率Ω=1.651時，系統(tǒng)重新進入混沌運動，系統(tǒng)在此時的LLE突變至0.120 7，之后雖然LLE指數(shù)存在回落，但是其賦值為正，說明系統(tǒng)處于混沌運動。

表1 系統(tǒng)基本參數(shù)

圖4～6分別為不同激勵頻率下系統(tǒng)的FFT頻譜圖、時間歷程圖、相圖和Poincaré截面圖。從圖4可以看出，當(dāng)激勵頻率Ω=1.101時系統(tǒng)是2周期運動，對應(yīng)的Poincaré截面為兩個點，其頻譜圖為兩個尖峰，即除了其基頻外還出現(xiàn)了分頻Ω/2和倍頻nΩ/2(n為整數(shù))；而從圖5可以看出，激勵頻率Ω=1.141時系統(tǒng)處于擬2周期運動，其Poincaré截面為兩個環(huán)面，F(xiàn)FT頻譜圖的基頻和分頻出現(xiàn)了微小的次諧和超諧成分；在此之后，系統(tǒng)的Poincaré截面圖會出現(xiàn)環(huán)面破裂形成奇怪吸引子即進入了混沌運動，但隨著激勵頻率的增加，系統(tǒng)從混沌回歸至擬2周期運動。最后系統(tǒng)重新進入混沌運動，圖6所示為Ω=1.745時，系統(tǒng)的混沌運動，其Poincaré截面出現(xiàn)一個奇怪吸引子且在FFT譜圖出現(xiàn)連續(xù)頻帶。

圖2 激勵頻率Ω變化下的分岔圖

圖3 激勵頻率Ω變化下的最大Lypapunov指數(shù)圖

在風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)中，由于風(fēng)速的隨機性，導(dǎo)致隨機輸入的存在，同時會引起激勵頻率的變化，使系統(tǒng)進入混沌?；煦邕\動是系統(tǒng)不斷地由某種軌道突跳到另一個軌道上去的無規(guī)則運動，表示了系統(tǒng)不可預(yù)測的行為和軌道的永不重復(fù)性，使系統(tǒng)受到影響，常會導(dǎo)致疲勞、產(chǎn)生噪聲甚至發(fā)生故障，進而影響機器壽命。在設(shè)計中，應(yīng)避開混沌狀態(tài)的范圍，采取安全、符合要求的作業(yè)范圍。通過全局分岔圖、時間歷程圖、FFT頻譜圖、相圖及Poincaré截面圖可以定性對系統(tǒng)進行分析，利用全局或單點最大Lyapunov指數(shù)圖可以定量的對系統(tǒng)進行分析，從而可以更為精確的確定系統(tǒng)的運動狀態(tài)，保證機器的正常運行。

圖7 綜合嚙合誤差變化下的分岔圖

圖8 綜合嚙合誤差變化下的最大Lypapunov指數(shù)圖

輪齒之間的設(shè)計誤差和齒輪的偏心誤差等其他的誤差綜合來說對于系統(tǒng)的作業(yè)狀態(tài)具有很大的影響。在設(shè)計時要盡可能提高零件精度，在制造安裝方面盡量減少誤差，這對提高整個系統(tǒng)的可靠性及穩(wěn)定性具有明顯的作用，同時也可達到降低噪聲和減小振動的目的。

圖11 激勵頻率Ω變化下的分岔圖

圖12 激勵頻率Ω變化下的分岔圖

4 結(jié) 論

(1) 本文建立了風(fēng)電齒輪傳動系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)非線性動力學(xué)模型，以風(fēng)力發(fā)電機額定功率1.5 MW為傳遞功率，采用4-5階變步長Runge-Kutta法進行求解得到系統(tǒng)非線性動態(tài)響應(yīng)結(jié)果。

(2) 利用多種工具對系統(tǒng)響應(yīng)結(jié)果進行分析，在時變嚙合剛度、綜合嚙合誤差和齒側(cè)間隙強非線性因素的作用下，系統(tǒng)在激勵頻率的變化下表現(xiàn)出豐富的分岔特性及混沌現(xiàn)象，如周期運動、擬周期運動和混沌運動，進入混沌運動的途徑以倍分岔或激變途徑為主。

(3) 綜合嚙合誤差對系統(tǒng)運動分岔特性的影響顯著。隨著綜合嚙合誤差的增加，系統(tǒng)由周期響應(yīng)進入混沌響應(yīng)最后進入擬周期響應(yīng)；取不同的綜合嚙合誤差進行對比，結(jié)果表明綜合嚙合誤差的減小能夠減少混沌現(xiàn)象并減弱系統(tǒng)的混沌的區(qū)域，使系統(tǒng)更傾向于穩(wěn)態(tài)。因此，在設(shè)計中，盡量減小整個系統(tǒng)誤差以提高設(shè)備的可靠性和壽命。

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