橋梁顫振導(dǎo)數(shù)與氣動導(dǎo)納關(guān)系的試驗(yàn)驗(yàn)證

張偉峰， 張志田， 張顯雄， 陳政清(湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院 風(fēng)工程與橋梁工程湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410082)

大跨度橋梁上的風(fēng)荷載通常是靜風(fēng)力、抖振力、自激力等多項(xiàng)氣動力的疊加。其中，抖振力是由來流中的脈動風(fēng)及特征紊流引起；自激力則是由于結(jié)構(gòu)運(yùn)動與周圍流場的相互作用引起的。抖振力和氣動自激力的準(zhǔn)確描述分別依賴于氣動導(dǎo)納函數(shù)和顫振導(dǎo)數(shù)。和經(jīng)典的機(jī)翼理論不同，有流動分離存在的橋梁斷面由于不滿足流動的有勢條件，因此不存在類似平板氣動力理論中的Theodorsen函數(shù)和Sears函數(shù)來描述氣動自激力和抖振力。但是借鑒于機(jī)翼理論，對于鈍體的橋梁斷面也通常用試驗(yàn)得到的顫振導(dǎo)數(shù)和氣動導(dǎo)納來描述橋梁斷面受到的力。

Davenport[1]首次把氣動導(dǎo)納的概念引入橋梁氣動抖振力問題。之后，大量研究者致力于氣動導(dǎo)納的風(fēng)洞試驗(yàn)研究。氣動導(dǎo)納的試驗(yàn)識別需要利用主動格柵或者被動格柵生產(chǎn)湍流風(fēng)場，然后利用測力法或者測壓法獲得模型斷面受到的抖振力。采用這一方法的研究者主要有：Jancauskas等[2]、Sankaran等[3]、潘韜等[4]和周奇等[5]。除了上述的直接識別方法以外，Scanlan[6]最早引入了氣動導(dǎo)納與顫振導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。這樣，在得到了顫振導(dǎo)數(shù)后，不必再進(jìn)行氣動導(dǎo)納的試驗(yàn)就可以直接得到氣動導(dǎo)納。隨后，Scanlan等[7-10]從理論上對這種方法進(jìn)行了完善。該方法的基礎(chǔ)是假定斷面在均勻來流中做簡諧振動與靜止的斷面在簡諧來流中受到的力等效。從時域上來說，也就是認(rèn)為斷面的Wagner函數(shù)和Kussner函數(shù)等效。此外，Hatanaka等[11]提出了利用等效的Theodorsen函數(shù)推導(dǎo)氣動導(dǎo)納。這種方法的主要思路是將適合于機(jī)翼斷面的Theodorsen函數(shù)與Sears函數(shù)的關(guān)系式應(yīng)用到鈍體的橋梁斷面，從而根據(jù)試驗(yàn)識別的顫振導(dǎo)數(shù)，利用顫振導(dǎo)數(shù)與階躍函數(shù)的關(guān)系式，得到階躍函數(shù)，然后再根據(jù)階躍函數(shù)與Theodorsen函數(shù)的關(guān)系式得到一個等效的Theodorsen函數(shù)，最后再根據(jù)Theodorsen函數(shù)與Sears函數(shù)的關(guān)系式得到等效的氣動導(dǎo)納函數(shù)。Hatanaka等[12-14]采用這種方法對不同形式斷面的氣動導(dǎo)納進(jìn)行了嘗試。

上述兩種方法在很大程度上簡化了氣動導(dǎo)納的識別，僅根據(jù)已知的顫振導(dǎo)數(shù)后就可以得到氣動導(dǎo)納。針對于上述兩種氣動導(dǎo)納識別方法，張志田等[15-16]從非定常氣動力的可疊加性入手指出了這兩種方法的不合理性。對于第一種方法，將Wagner函數(shù)和Kussner函數(shù)等效會導(dǎo)致錯誤的抖振功率譜。對于第二種方法，Sears函數(shù)和Theodorsen函數(shù)關(guān)系式的成立具有嚴(yán)格的前提條件，對于鈍體的橋梁斷面這些條件不再成立，因此也不存在這樣的關(guān)系式。

本文采用風(fēng)洞試驗(yàn)對顫振導(dǎo)數(shù)與氣動導(dǎo)納的關(guān)系進(jìn)行了研究。首先，分別介紹了由等效的階躍函數(shù)和等效的Theodorsen函數(shù)識別氣動導(dǎo)納的方法，并指出這兩種方法存在的邏輯問題。然后，通過風(fēng)洞試驗(yàn)識別了平板斷面和長寬比為4的矩形斷面的顫振導(dǎo)數(shù)和氣動導(dǎo)納。最后，對利用上述兩種方法識別的氣動導(dǎo)納與風(fēng)洞直接識別的結(jié)果進(jìn)行了比較，討論了氣動導(dǎo)納與顫振導(dǎo)數(shù)是否存在轉(zhuǎn)化關(guān)系。

1 氣動導(dǎo)納與顫振導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

對于鈍體的橋梁斷面，Scanlan等[17]最早提出了包含有六個顫振導(dǎo)數(shù)的氣動自激力表達(dá)式。隨后，Scanlan等[9]在此基礎(chǔ)上考慮了位移的影響，將自激升力和扭矩分別表示為

(1)

(2)

當(dāng)物體處于湍流中時，來流中速度的脈動會使物體受到一個隨時間變化的力。用氣動導(dǎo)納修正的抖振升力和扭矩的表達(dá)式為

(3)

(4)

1.1 階躍函數(shù)等效推導(dǎo)的氣動導(dǎo)納

風(fēng)洞試驗(yàn)直接識別氣動導(dǎo)納面臨著湍流風(fēng)場模擬、抖振力的測量、試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理等多種困難，因此Scanlan等提出利用試驗(yàn)得到的顫振導(dǎo)數(shù)直接得到氣動導(dǎo)納的方法。下面對這種方法進(jìn)行簡要的介紹。

(5)

在疊加原理成立的前提下，斷面受到的升力為

(6)

式中：φ為階躍升力函數(shù)；s=Ut/B為無量綱時間。

(7)

對上式做傅里葉變換可得

(8)

同時，不考慮與扭轉(zhuǎn)運(yùn)動有關(guān)的項(xiàng)，對式(1)做傅里葉變換可得

(9)

假設(shè)式(8)和式(9)兩種氣動力的表達(dá)式是等價的，則有

(10)

現(xiàn)在考慮斷面穿過任意形式的豎向湍流w(t)，這時θ=w(t)/U，與式(7)類似，斷面受到的抖振升力為

(11)

式中：Ψ為Kussner形式的階躍升力函數(shù)。

對式(11)進(jìn)行傅里葉變換可得

(12)

Scanlan假定φLh與ΨLw具有等效性，于是根據(jù)式(10)，上式可以寫為

(13)

式(13)的功率譜密度可以表示為

(14)

由式(3)表示的抖振升力的功率譜為(不考慮順風(fēng)向脈動風(fēng)的影響)

(15)

由式(14)和式(15)可以得到用顫振導(dǎo)數(shù)表示的氣動導(dǎo)納

(16)

同樣的道理可以得到用顫振導(dǎo)數(shù)表示的其它的氣動導(dǎo)納函數(shù)。

1.2 等效的Theodorsen函數(shù)表示的氣動導(dǎo)納

除了上述的方法以外，Hatanaka等通過等效的Theodorsen函數(shù)來推導(dǎo)氣動導(dǎo)納函數(shù)。這種方法的主要思路是是將式(17)所示的適合于機(jī)翼斷面的Theodorsen函數(shù)C(k)與Sears函數(shù)χs(k)的關(guān)系式應(yīng)用到任意的斷面形式

χs(k)=[J0(k)-iJ1(k)]C(k)+iJ1(k)

(17)

式中：k=0.5K，J0，J1為0階和1階的第一類Bessel函數(shù)。

通過傅里葉變化，Garrick[18]得到了Theodorsen函數(shù)與階躍函數(shù)的關(guān)系式

(18)

根據(jù)式(10)可以得到顫振導(dǎo)數(shù)與階躍函數(shù)的關(guān)系

(19)

將式(19)代入式(18)可以得到等效的Theodorsen函數(shù)Ceq(k)，再根據(jù)式(17)就可以得到等效的氣動導(dǎo)納函數(shù)：

χeq,s(k)=[J0(k)-iJ1(k)]Ceq(k)+iJ1(k)

(20)

用等效的Theodorsen函數(shù)表示的氣動導(dǎo)納與Scanlan提出的方法一樣，只需要知道顫振導(dǎo)數(shù)就可以得到氣動導(dǎo)納函數(shù)。但是，這種方法在邏輯上也是不成立的。首先，式(17)的成立是嚴(yán)格建立在非定常氣動力可疊加的條件之上的。對于具有流動分離的橋梁斷面，式(17)不再成立。此外，Theodorsen函數(shù)的表達(dá)式為[19]

(21)

式中：Y0、Y1分別為第二類的0階和1階Bessel函數(shù)。J0、J1、Y0、Y1的表達(dá)式為

(22)

(23)

(24)

(25)

顯然，式(20)中的J0、J1也是C(k)的組成函數(shù)，也即如果Theodorsen函數(shù)變化則其組成部分的子函數(shù)都會變化。如果在鈍體橋梁斷面中用某種等效的Theodorsen函數(shù)Ceq(k)來描述其氣動性能，那么式(20)中的J0、J1沒有理由維持原來機(jī)翼理論中的形式不變。但遺憾的是J0、J1是不可能從顫振導(dǎo)數(shù)入手得到的。

2 顫振導(dǎo)數(shù)與氣動導(dǎo)納的直接試驗(yàn)識別

本文節(jié)段模型強(qiáng)迫振動試驗(yàn)與氣動導(dǎo)納試驗(yàn)在湖南大學(xué)HD-2風(fēng)洞試驗(yàn)室的高速段進(jìn)行，試驗(yàn)段尺寸為高2.5 m×寬3.0 m。選取兩種斷面形式，分別為流線型的平板斷面和長寬比為4的矩形斷面。兩者的展向長度為154 cm，寬度為36 cm。對于強(qiáng)迫振動試驗(yàn)，采用五分量天平測量斷面受到的氣動力，激光位移計記錄斷面的運(yùn)動狀態(tài)。而對于氣動導(dǎo)納試驗(yàn)，為了避免抖振力沿展向相關(guān)性的問題，采用了測壓試驗(yàn)。沿斷面長度方向總共布置了3排測壓孔，其中兩端的測壓面各距模型兩端47 cm。平板斷面每個測壓面布置了64個測壓孔，矩形斷面每個測壓面布置了61個測壓孔，測壓孔的分布如圖1所示。矩形斷面的掃描閥放置在模型的內(nèi)部，測壓管長度為30 cm。平板斷面由于斷面內(nèi)部尺寸限制，掃描閥放置于模型的外部，最右側(cè)測壓面的測壓管長度為65 cm。值得一提的是，本文雖然布置了三個測壓面，但氣動導(dǎo)納的識別只需要用到一個測壓面的數(shù)據(jù)，統(tǒng)一選取最右側(cè)的斷面。強(qiáng)迫振動試驗(yàn)中的平板模型，如圖2所示。

(a) 平板斷面

(b) 矩形斷面

2.1 顫振導(dǎo)數(shù)的試驗(yàn)識別

HD-2風(fēng)洞試驗(yàn)室的節(jié)段模型三自由度強(qiáng)迫振動裝置既可以實(shí)現(xiàn)三個自由度的耦合運(yùn)動也可以實(shí)現(xiàn)三個方向單自由度的運(yùn)動，振動頻率在0.1～3 Hz范圍內(nèi)可調(diào)，最大豎向振幅為±2 cm，最大扭轉(zhuǎn)振幅為±5°。本文采取單自由度識別方法，豎向運(yùn)動振幅為2 cm，扭轉(zhuǎn)振幅為2°，振動頻率采用2 Hz。此外，為了得到更小折算風(fēng)速下的顫振導(dǎo)數(shù)，低風(fēng)速下的兩個工況采用3 Hz的振動頻率，這樣最終實(shí)現(xiàn)的最低折算風(fēng)速vr=U/fB=1.1，對應(yīng)于無量綱折算頻率K/2π=0.91。

圖2 風(fēng)洞試驗(yàn)中的平板模型

2.2 氣動導(dǎo)納的試驗(yàn)識別

風(fēng)洞試驗(yàn)識別氣動導(dǎo)納的關(guān)鍵一步是湍流風(fēng)場的模擬。從以往的文獻(xiàn)可以看出[23-24]，采用被動格柵模擬的湍流風(fēng)場識別出的氣動導(dǎo)納，普遍因?yàn)槿鄙俅蟪叨鹊匿鰷u導(dǎo)致識別的氣動導(dǎo)納反而在低頻處有向下的趨勢。這種現(xiàn)象顯然是不合理的。本文采用非均勻布置的格柵，并且加大格柵橫向和豎向的尺度。這樣做，一方面是因?yàn)榉蔷鶆虿贾玫母駯趴梢詫α鲌霎a(chǎn)生不同尺度的干擾，從而使湍流的能量分布在更寬的范圍內(nèi)；另一方面，適當(dāng)加大格柵兩個方向的斷面尺寸，可以在一定程度上提高流場的湍流積分尺度。經(jīng)過調(diào)試，格柵置于模型斷面上游3.8 m的位置處，格柵的布置如圖5所示。從風(fēng)洞底面開始，每道格柵之間的靜距分別為：70 cm、39 cm、38 cm、58 cm；三道格柵的尺寸分別為：22.5 cm×7.0 cm、7.5 cm×7.0 cm、15 cm×7.0 cm。節(jié)段模型固定在離風(fēng)洞底面125 cm的位置處。

圖5 格柵布置示意圖

由于脈動風(fēng)速和模型受到的抖振力都是隨機(jī)的，因此識別得到的氣動導(dǎo)納也是隨機(jī)的。為了便于比較且考慮到工程實(shí)際應(yīng)用的需要，需要對結(jié)果進(jìn)行預(yù)處理，以得到更加光滑的結(jié)果，這里采用盒式濾波的方法。平板斷面升力氣動導(dǎo)納濾波前濾波后的結(jié)果，如圖6所示。從圖6可以看到，雖然濾波后的結(jié)果比原始數(shù)據(jù)要光滑的多，但是在高頻范圍內(nèi)仍然呈現(xiàn)出較大的波動，這是因?yàn)樵谡麄€頻率范圍內(nèi)采用了均勻?yàn)V波的方式。為了降低高頻范圍內(nèi)數(shù)據(jù)的波動，可以在高頻范圍內(nèi)采用較大的濾波寬度，即非均勻?yàn)V波的方式。

圖6 濾波前和濾波后氣動導(dǎo)納的比較

圖7為平板斷面和B/D=4矩形斷面的氣動導(dǎo)納，同時給出了Sears函數(shù)作為對比。從圖中可以看出，平板斷面的氣動導(dǎo)納和Sears函數(shù)較為接近，而矩形斷面的氣動導(dǎo)納在低頻段明顯比Sears函數(shù)要大。

3 顫振導(dǎo)數(shù)與氣動導(dǎo)納關(guān)系的試驗(yàn)驗(yàn)證

在得到了風(fēng)洞試驗(yàn)識別的顫振導(dǎo)數(shù)和氣動導(dǎo)納后，下面由試驗(yàn)顫振導(dǎo)數(shù)入手，根據(jù)第2節(jié)介紹的方法得到氣動導(dǎo)納并與直接識別的結(jié)果相比較。

(a)平板斷面(b)B/D=4矩形斷面

圖7 試驗(yàn)識別的氣動導(dǎo)納

Fig.7 Aerodynamic admittances from wind tunnel tests

(a)平板斷面(b)B/D=4矩形斷面

圖8 顫振導(dǎo)數(shù)擬合

Fig.8 Polynomial fitting of the flutter derivatives

3.1 階躍函數(shù)等效推導(dǎo)的氣動導(dǎo)納的試驗(yàn)驗(yàn)證

利用式(16)得到的平板斷面和矩形斷面的氣動導(dǎo)納如圖9所示。從圖中可以看出，兩種斷面根據(jù)階躍函數(shù)等效推導(dǎo)的氣動導(dǎo)納在低頻范圍內(nèi)與試驗(yàn)識別的氣動導(dǎo)納較為接近，但是隨著折算頻率的增加，與試驗(yàn)直接識別的結(jié)果的差距卻越來越大，最終都有趨向于一個極限值的趨勢。對于理想的二維薄機(jī)翼斷面，根據(jù)文獻(xiàn)[15]和[16]的分析可以知道，這個極限值為0.25。相比較而言，Sears氣動導(dǎo)納函數(shù)的極限特性卻為0，這就說明了為什么兩者的結(jié)果在高頻范圍內(nèi)的差距越來越大。

正如上文所說，用Wagner函數(shù)來表示Kussner函數(shù)這種處理方式，忽略了代表物體柔性運(yùn)動的高階運(yùn)動模式，而這些高階運(yùn)動模式可以用來表示脈動風(fēng)沿斷面的分布。這種等效在低頻范圍內(nèi)，即脈動風(fēng)波長遠(yuǎn)大于物體特征尺寸時是成立的。本文的結(jié)果也驗(yàn)證了這個結(jié)論。

(a) 平板斷面

(b)矩形斷面

3.2 等效的Theodorsen函數(shù)表示的氣動導(dǎo)納的試驗(yàn)驗(yàn)證

利用式(20)得到的平板斷面和矩形斷面的氣動導(dǎo)納如圖10所示。從圖中可以看出，在低折算頻率范圍內(nèi)，平板斷面和矩形斷面的氣動導(dǎo)納與試驗(yàn)直接識別的氣動導(dǎo)納較為接近，在高頻范圍內(nèi)差別較大。相比于根據(jù)階躍函數(shù)等效推導(dǎo)的氣動導(dǎo)納，由等效的Theodorsen函數(shù)表示的氣動導(dǎo)納與試驗(yàn)直接識別的氣動導(dǎo)納在整體上趨勢一致，但是在高頻范圍內(nèi)卻表現(xiàn)出一定程度的波動。與平板斷面相比較，矩形斷面氣動導(dǎo)納的波動更加劇烈。

從Hatanaka和Costa的結(jié)果同樣可以看出采用這種方法得到的結(jié)果存在波動。Costa在文獻(xiàn)[13]中給出的氣動導(dǎo)納處于K/2π=[0，0.5](實(shí)際的試驗(yàn)數(shù)據(jù)在K/2π=[0.045，0.135]，在這范圍之外的數(shù)據(jù)根據(jù)外推法得到)，在觀察到高頻范圍的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)下凹的趨勢后，Costa提出在低頻段采用等效Theodorsen法得到的氣動導(dǎo)納，而在高頻處采用Sears函數(shù)，這樣可以得到一個保守的估計。從本文的結(jié)果來看，對于平板斷面在K/2π=[0.2，0.5]，對于矩形斷面在K/2π=[0.3，0.4]之間確實(shí)存在一個下凹，但是這種下凹的趨勢顯然不是氣動導(dǎo)納真實(shí)的性質(zhì)。很顯然，這種周期性的波動來源于Bessel函數(shù)的周期性變化。正如上文所提到的，Bessel函數(shù)既是Theodorsen函數(shù)的組成部分，也是式(20)關(guān)于Sears函數(shù)與Theodorsen函數(shù)關(guān)系式的組成部分。在采用某種等效的Theodorsen函數(shù)后，式(20)中的其它部分沒有理由保持不變。這種處理方法上的錯誤直接導(dǎo)致了識別的氣動導(dǎo)納表現(xiàn)出周期性的波動。

(a) 平板斷面

(b)矩形斷面

4 結(jié) 論

本文通過理論與試驗(yàn)討論了兩類在橋梁風(fēng)工程中較廣泛應(yīng)用的氣動導(dǎo)納模型。這兩類模型均建立在已知顫振導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上，在形式上大大簡化了氣動導(dǎo)納的識別。根據(jù)本文的研究結(jié)果可得出以下主要結(jié)論：

(1) 通過等效階躍函數(shù)推導(dǎo)的氣動導(dǎo)納函數(shù)，因?yàn)楹雎粤烁唠A運(yùn)動模式，導(dǎo)致得到的氣動導(dǎo)納隨著折算頻率的增加而與試驗(yàn)直接識別的氣動導(dǎo)納的差距也逐漸增大，并最終趨向于一個非零極限值。理論上，這種方法在低頻范圍內(nèi)，即脈動風(fēng)波長遠(yuǎn)大于物體特征尺寸時是成立的。本文的試驗(yàn)結(jié)果也驗(yàn)證了這個結(jié)論。

(2) 根據(jù)等效的Theodorsen函數(shù)表示的氣動導(dǎo)納函數(shù)，在低頻范圍內(nèi)也與直接試驗(yàn)結(jié)果較為接近，但是在高頻范圍內(nèi)卻表現(xiàn)出周期性的波動，而且對于鈍體的矩形斷面這種波動性更大。這種波動是由于采用了“等效”的Theodorsen函數(shù)來描述斷面的氣動性能時，原Theodorsen函數(shù)已經(jīng)變化了，但仍讓其組成函數(shù)維持不變。顯然，這在邏輯上是不成立的。

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