要求三角形的面積，必須知道它的底和高嗎
——“三角形的面積”本體性知識復習與啟示

◇陳 敏

在“三角形的面積”新授課結(jié)尾時，常?？梢月牭饺缦聦υ挕?/p>

師：要求三角形面積必須知道什么？

生：它的底和高。

教師滿意地點頭。

要求三角形的面積，真的必須知道它的底和高嗎？我們不妨來回顧一下中小學教材中出現(xiàn)過的主要的三角形面積計算公式。

一般小學教材中，會通過割補的方法將平行四邊形轉(zhuǎn)化為相應的長方形，得到平行四邊形面積的一般求法，即 S平行四邊形=ah。進而，利用兩個全等的三角形可以拼成一個平行四邊形，推導出一般三角形的面積計算公式

三角函數(shù)中規(guī)定：對任一直角三角形ABC（如圖 1）中的銳角 A，有：（正弦）（余弦），（正切）

圖1

圖2

張景中院士曾建議，在小學里也可引入這一算法[1]?；驹O想是：從正方形出發(fā)，把單位正方形“壓扁”成菱形（菱形的一個銳角是∠A）。通過操作，可以直觀地發(fā)現(xiàn)，壓得越扁，即∠A越小，面積也越小。張院士將壓扁后菱形的面積與原正方形的面積之比妙喻為面積打的“折扣”，這個折扣就是∠A的正弦函數(shù)，即sinA。這樣，用單位菱形（面積為：1·1·sinA=sinA）來度量，得到相鄰兩邊長為b、c的平行四邊形面積為bcsinA，其中∠A是這兩邊的夾角。而與其相應的三角形的面積為

公式3：海倫-秦九韶公式

下面，我們來推導余弦定理。

仍以三角形ABC為例：

圖3

根據(jù)余弦定義，可知：bcosA+acosB=c（稱為式②）。同理有：ccosB+bcosC=a（稱為式③），acosC+ccosA=b（稱為式④）。

解由式子②③④組成的方程組，得：

這就是余弦定理。

繼續(xù)用余弦定理來證明正弦定理。

對比式①和式⑤，得：16S2=2（a2b2+b2c2+a2c2）-（a4+b4+c4）=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）。

這就是著名的海倫公式，傳說是古代的敘拉古國王海倫（Heron）二世發(fā)現(xiàn)的（約1世紀）。但根據(jù)克萊茵（Morris Kline）在1908年的著名考證，這個公式其實是阿基米德 （Archimedes）發(fā)現(xiàn)，假托海倫二世之名發(fā)表的[2]。我國南宋時期的數(shù)學家秦九韶（約公元1202—1261年）也獨立發(fā)現(xiàn)了相似的公式。

由于這兩個公式形式不同而實質(zhì)相同，而且兩人又是完全獨立發(fā)現(xiàn)的，因此，人們通常稱它們?yōu)椤昂?秦九韶公式”[3]。

自此，只需測量三角形三邊的長度，即可求得三角形的面積。

這一大堆公式的回顧，顯然已經(jīng)說明要求三角形的面積不一定非要知道它的底和高。我們只能說知道了三角形的底和高，可以求出它的面積，但其逆命題并不成立。即，三角形的底和高是求三角形面積的充分而非必要條件（有興趣的讀者可以查閱、復習相關(guān)知識）。

此外，還有很重要的一點，很多時候我們不是單從一個圖形內(nèi)部來思考和解決問題的，往往還會對圖形之間的關(guān)系進行溝通和轉(zhuǎn)化，達成更為靈活和精妙的推理。比如下面這一題：（如圖4）已知梯形ABCD的面積是50平方厘米，三角形ABD的面積是20平方厘米。求圖中陰影部分的面積。

圖4

解：S陰=S△BDC=50－20=30（平方厘米）。

如果學生一味苦思本題中各圖形的底、高的數(shù)據(jù)，就會陷入泥沼。很多時候，學生解題思路的刻板恰恰源于教師教學的僵化。慎之，慎之。

[1][2]張奠宙，孔凡哲，黃建弘等.小學數(shù)學研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]Chen Cheng-Yi h.Early Chinese work in Natural Science:a re-exam in action of the Physicsofmotion,Acoustics,Astronomy and Scientific Thoughts[M].HongKong University Press,1996.

[4]陳敏，許含英.一課研究叢書·圖形與幾何系列·三角形和梯形面積教學研究[M].北京：教育科學出版社，2014.