齊次化思想在解題中的應(yīng)用探索

藍(lán)云波 張剛

摘 要：齊次化是數(shù)學(xué)解題的重要方法，通過(guò)在教學(xué)中對(duì)齊次化方法的深入探究，引導(dǎo)學(xué)生挖掘出齊次化的本質(zhì)其實(shí)就是化兩元為一元，減少代數(shù)字母數(shù)量，從而使齊次化方法上升為一類(lèi)解題思路。這種轉(zhuǎn)化思路在解決三角函數(shù)問(wèn)題、求取值范圍問(wèn)題、解析幾何問(wèn)題、證明不等式、證明數(shù)列不等式、函數(shù)綜合問(wèn)題等方面都可以得到廣泛的應(yīng)用。教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)設(shè)置不同角度的問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生自主探究，促進(jìn)學(xué)生理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向，將數(shù)學(xué)運(yùn)算這個(gè)學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展落到實(shí)處。

關(guān)鍵詞：齊次化；優(yōu)化解題；解題思想；學(xué)科素養(yǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.62 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2018）02-0009-05

齊次式各項(xiàng)的次數(shù)相同，因而具有對(duì)稱(chēng)美和結(jié)構(gòu)美的特征，這使得運(yùn)算的處理往往會(huì)更容易、更簡(jiǎn)潔、更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。同時(shí)，對(duì)于一些涉及非齊次式的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果學(xué)生能夠結(jié)合題設(shè)條件，將其轉(zhuǎn)化為齊次式問(wèn)題來(lái)處理，則往往能化繁為簡(jiǎn)，優(yōu)化解題過(guò)程，起到事半功倍的效果。齊次化方法的本質(zhì)是消參思想，齊次化運(yùn)算步驟是各類(lèi)考試中普遍熱點(diǎn)，是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算這個(gè)學(xué)科素養(yǎng)的具體考察——要求學(xué)生“理解運(yùn)算對(duì)象”，合理構(gòu)造滿(mǎn)足題干條件的算式；“掌握運(yùn)算法則”，能夠正確運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)概念、公式、定理；“探究運(yùn)算方向”——消除待求算式中與題干無(wú)關(guān)的參數(shù)。筆者以近年來(lái)的各類(lèi)試題為例，包括三角函數(shù)、代數(shù)式取值范圍、解析幾何、證明代數(shù)不等式、證明數(shù)列不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等方面的齊次化解法，供廣大一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師作為授課參考。

一、三角函數(shù)問(wèn)題

考點(diǎn)是源于教材，如人教A版必修④第一章《三角函數(shù)》中的一道習(xí)題：已tanα=2知，求的值.解題思路是將該分式轉(zhuǎn)化為只關(guān)于tanα的式子。以下這道高考試題就可以看作本例題的一個(gè)變式。

【例1】（2015年高考廣東卷）已知tanα=2.

（1）求tanα+的值；

（2）求的值.

【解析】（1）tanα+=-3（略）；

（2）

=

=

=

===1

【點(diǎn)評(píng)】本題的第二問(wèn)表面上不是齊次式，但在通過(guò)化簡(jiǎn)和變形后，可化為一個(gè)關(guān)于cosα的二次齊次式。所用到的思想方法和課本上的習(xí)題如出一轍。這體現(xiàn)出高考源于課本而高于課本的命題原則。齊次化的目標(biāo)是化多變量為單變量，如例1本來(lái)同時(shí)含有sinα，cosα，但在通過(guò)分子和分母同除以cosα之后，便轉(zhuǎn)化成只含有tanα的式子。

二、求取值范圍

關(guān)于求解在某個(gè)條件下代數(shù)式的取值范圍或最值的問(wèn)題，此時(shí)教師需要引導(dǎo)學(xué)生把所求的代數(shù)式設(shè)為一個(gè)參變量，通過(guò)適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算代入已知條件中，并設(shè)法實(shí)現(xiàn)齊次化。

【例2】（2016年河北省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽）實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x2+y2+xy=3，則x2+y2的取值范圍是 .

【解析】設(shè)S=x2+y2，則=1，

故x2+y2+xy=3·，

整理得（S-3）y2+Sxy+（S-3）x2=0.

①當(dāng)x=0時(shí)，由x2+y2+xy=3，得y2=3

此時(shí)S=x2+y2=3.

②當(dāng)x≠0時(shí)，且S≠3時(shí)，

方程（S-3）y2+Sxy+（S-3）x2=0，

可化為（S-3）2+S·+（S-3）=0.視此式為關(guān)于的一元二次方程，

則有△=S2-4（S-3）2≥0，即S2-8S+12≤0，結(jié)合S≠3，可解得2≤S≤6且S≠3.

由①②知2≤S≤6，故x2+y2的取值范圍是[2，6].

【點(diǎn)評(píng)】取值范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法是利用基本不等式進(jìn)行求解，技巧性較強(qiáng)。本題的關(guān)鍵是通過(guò)把=1代入已知條件并實(shí)現(xiàn)齊次化，然后利用整體思想將原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程有解問(wèn)題，使問(wèn)題的思路清晰，直接套用公式求取答案。

三、解析幾何問(wèn)題

眾所周知，在各類(lèi)考試中，解析幾何解答題通常以運(yùn)算量大著稱(chēng)，解題的最核心的方法是設(shè)而不求，在涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的問(wèn)題中，常見(jiàn)的做法是曲線(xiàn)方程組進(jìn)行消元。然而筆者發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造齊次式是解答解析幾何題的一大利器，具有一定的通性通法，視角獨(dú)特，令人耳目一新！由橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率公式e=可知，若能在解題中，設(shè)法構(gòu)建出關(guān)于a，c的n次齊次式，然后再同除以an，離心率問(wèn)題便能快速實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。

【例3】（2016年甘肅高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）雙曲線(xiàn)-=1（a>1，b>0）的焦距為2c，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（a，0）和（0，b），且點(diǎn)（1，0）到直線(xiàn)l的距離與點(diǎn)（-1，0）到直線(xiàn)l的距離之和s≥c，則雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍是 .

【解析】 依題意可設(shè)直線(xiàn)l的方程為

+=1，即bx+ay-ab=0.

所以點(diǎn)（1，0）到直線(xiàn)l的距離

d1=，又因?yàn)閍>1，

所以d1=.

又因?yàn)辄c(diǎn)到直線(xiàn)的距離.

所以s=d1+d2=+

==.

由s≥c得≥c，即5ab≥2c2，

所以5a≥2c2，

所以25a2（c2-a2）≥4c4，

即4c4-25a2c2+25a4≤0，

所以4·4-25·2+25≤0，

即4e4-25e2+25≤0，解得≤e≤5，

又e>1，所以≤e≤。即雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是[，].

【點(diǎn)評(píng)】本題是經(jīng)典的可通過(guò)構(gòu)造齊次式解決的離心率問(wèn)題，通過(guò)消去b，并構(gòu)建不等式，得到一個(gè)關(guān)于a，c的四次齊次式，然后同除以a4，轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，問(wèn)題便迎刃而解.

【例4】（2015年廣東省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）設(shè)拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A（x1，y1）（y1>0），B（x2，y2）（y2<0）.

（1）設(shè)直線(xiàn)AB的連線(xiàn)與x軸交于C，拋物線(xiàn)在A、B的切線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)D（x3，y3），證明：OD+x3=0，其中為O坐標(biāo)原點(diǎn)；

（2）若OA⊥OB，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的軌跡方程.

【解析】（1）略；

（2）設(shè)AB中點(diǎn)為M（x0，y0），直線(xiàn)AB方程為mx+ny=1，聯(lián)立y2=2pxmx+ny=1.

齊次化可得y2=2px（mx+ny），

即2-2mp-2mp=0。

由韋達(dá)定理可得·=-2mp，又·=-1，

所以-2mp=-1，即m=.

所以直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（2p，0）.

以下對(duì)直線(xiàn)AB的斜率分兩種情形討論：

①若直線(xiàn)AB的斜率存在，

則kAB===；

又因?yàn)閗BM=，且kAB=kBM，

所以=，即y=p（x0-2p）；

②若直線(xiàn)AB斜率不存在，此時(shí)M的坐標(biāo)為（2p，0），它顯然滿(mǎn)足y=p（x0-2p）；綜上所述，AB中點(diǎn)軌跡方程為y2=p（x-2p）.

【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)使用齊次化思想，可以大幅減低運(yùn)算量，提高解題效率。

四、證明不等式

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的重要考點(diǎn)，具有舉足輕重的地位。由于其方法繁多，技巧性極強(qiáng)，因此通常難度較大。在不等式的證明方法中，齊次化是一種較為重要的方法，通過(guò)齊次化處理，使得不等式更對(duì)稱(chēng)、更完美，使得問(wèn)題的難度降低，從而有利于求解。

【例5】（2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試）設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a+b+c=1，abc>0。

求證：ab+bc+ca<+.

【證明】不妨設(shè)a≥b≥c.

（1）若c>0，因?yàn)閍+b+c=1，故（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，原不等式等價(jià)于ab+bc+ca<+，即等價(jià)于的齊次式：2（ab+bc+ca）-（a2+b2+c2）<

2.

若2（ab+bc+ca）≤（a2+b2+c2），原不等式顯然成立；

若2（ab+bc+ca）>（a2+b2+c2），兩邊平方后等價(jià)于∑a4+6∑a2b2<4∑（a3b+ab3）.

注意到

2（ab+bc+ca）-（a2+b2+c2）·

（a2+b2+c2）-（ab+bc+ca）=

3∑（a3b+ab3）-4∑a2b2-abc（a+b+c）-∑a4≥0

故有4∑（a3b+ab3）>∑（a3b+ab3）+∑a4+4∑a2b2≥∑a4+6∑a2b2，故原不等式成立.

（2）若c<0，則b<0，a>0，

ab+bc+ca≤a（b+c）+

=（b+c）<0<+.

綜上，原不等式得證.

【點(diǎn)評(píng)】本題的難點(diǎn)在于c>0時(shí)的證明，本文給出的解法的關(guān)鍵是通過(guò)a+b+c=1這個(gè)條件，并通過(guò)平方之后，從而使得所要證明的不等式化為一個(gè)四次齊次式從而使問(wèn)題的方向更明確，并最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的圓滿(mǎn)解決.

五、證明數(shù)列不等式

前面所舉的例題都是都過(guò)化為完全齊次式使問(wèn)題得到巧妙的解決的。事實(shí)上，對(duì)于某些不能完全化為齊次式的問(wèn)題，也可以利用相關(guān)的思想方法使問(wèn)題得到完美的解決。這類(lèi)問(wèn)題，由于式子中只是部分齊次的，故可以稱(chēng)之為部分齊次問(wèn)題。這樣，可以使齊次化方法得到更為廣泛的應(yīng)用，在指導(dǎo)學(xué)生備考階段有助于其拓展視野。以下是一道具有獨(dú)特處理方法的經(jīng)典考題。

【例6】（2011年高考廣東卷理科）設(shè)b>0，

數(shù)列an滿(mǎn)足a1=b，an=（n≥2）.

（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，an≤+1.

【解析】（1）an=2，b≠2b≠2略；

（2）若b=2，顯然成立；

若b≠2，要證an≤+1，

即證≤+1，

即≤n+1+1.

令x=，不等式轉(zhuǎn)化為≤xn+1+1，

若x>1，不等式可化為

f（x）=x2n+1-（2n+1）xn+1+（2n+1）xn-1≥0（*）

注意到f（1）=0，

而f′（x）=（2n+1）x2n-（2n+1）（n+1）xn+n（2n+1）xn-1

=xn-1（2n+1）xn+1-（2n+1）（n+1）x+n（2n+1）

令g（x）

=（2n+1）xn+1-（2n+1）（n+1）x+n（2n+1），

且g（1）=0，

g′（x）=（2n+1）（n+1）xn-（2n+1）（n+1）>0，

故g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以g（x）>g（1）=0，

故f′（x）>0，故f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以f（x）>f（1）=0，所以（*）得證；

若0

綜上，對(duì)于一切正整數(shù)n，an≤+1.

【點(diǎn)評(píng)】本題官方給出的答案是利用試卷中給出的一個(gè)參考公式進(jìn)行解答的，事實(shí)上，不用這個(gè)參考公式同樣可以使問(wèn)題得到解決。本題中，雖然不能化為完全的齊次式，但是通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，在≤+1中，，雖然不是齊次式，但是卻是齊次式，故可順手推舟，轉(zhuǎn)化為用n表示，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題維度的降低，最后再通過(guò)導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的不等式的證明.

六、函數(shù)綜合問(wèn)題

近幾年，隨著高考命題工作的不斷探索，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題興起了雙變量問(wèn)題。對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，雖然也不能化為完全齊次式，但是卻同樣可化為部分齊次問(wèn)題。

【例7】（2016年湖南省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）已知函數(shù)f（x）=xlnx-mx2-x，m∈R.

（1）當(dāng)m=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的所有零點(diǎn)；

（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1e2.

【解析】（1）略；

（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，

則導(dǎo)函數(shù)f′（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2.

由f′（x）=1nx-mx，

可知1nx1-mx1=01nx2-mx2=0要證x1x2>e2，

即證明1nx1+1nx2>2.

由1nx1-mx1=01nx2-mx2=0得m=，

m=.

所以=，

即1nx1+1nx2=.

故只需證>2，

因?yàn)閤1

即證1n-<0，設(shè)t=，則0

故只需證1nt-<0（0

設(shè)g（t）=1nt-（0

故只需證g（t）<0.

因?yàn)間′（t）=-=>0。

所以g（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，

所以g（t）e2得證.

【點(diǎn)評(píng)】本題以重要不等式——對(duì)數(shù)平均不等式為背景，考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵在于對(duì)通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化后，雙變量的處理，解答過(guò)程使用了消元思想，解題的關(guān)鍵把>2化為1nx1-1nx2<，右邊局部是一個(gè)一次齊次式，在通過(guò)化為用表示的不等式后，要構(gòu)造的函數(shù)便呼之欲出.需要注意的是，在近幾年的各類(lèi)考試中，以對(duì)數(shù)平均不等式為背景的試題屢見(jiàn)不鮮，且?？汲Ｐ?，應(yīng)引起足夠的重視。

通過(guò)以上的案例可以說(shuō)明，齊次化是源于課本的一種非常重要的數(shù)學(xué)方法。齊次化的本質(zhì)就是通過(guò)代數(shù)變形，減少字母量，以此降低解題的維度。將齊次化僅僅作為一種解題策略實(shí)施教學(xué)是不夠的，應(yīng)當(dāng)使其升華成發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的手段，并指導(dǎo)學(xué)生更為高效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

教師在平時(shí)的備課中，要重視對(duì)課本的理解和挖掘，并從中找出體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，并引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中運(yùn)用。對(duì)重要的數(shù)學(xué)思想，教師還應(yīng)使其從不同角度呈現(xiàn)出來(lái)，提高知識(shí)系統(tǒng)與數(shù)學(xué)思想的整合性，以達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

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