切觸有理插值新方法

經(jīng)慧芹

(昆明理工大學(xué)成人教育學(xué)院,云南 昆明 650051)

1 引言

有理插值就是根據(jù)已知的點(diǎn)和函數(shù)值構(gòu)造一個有理函數(shù)代替未知函數(shù),并使所構(gòu)造的函數(shù)在已知點(diǎn)處的值等于預(yù)定的值.帶導(dǎo)數(shù)條件的有理插值稱為切觸有理插值,切觸有理插值應(yīng)用廣泛,可應(yīng)用于現(xiàn)代力學(xué)的諸多領(lǐng)域,還應(yīng)用于圖像處理[1-3]、機(jī)械、建筑、航空航天、艦船、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的曲線或曲面造型[4-8].切觸有理插值的傳統(tǒng)方法是連分式,具體計(jì)算時需要把已知節(jié)點(diǎn)、函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值代入固定格式循環(huán)迭代,不僅計(jì)算量大,而且在計(jì)算過程中有時會出現(xiàn)分母為零或者插值函數(shù)不滿足某些插值條件的情況.解決的方法是:把使得分母為零的節(jié)點(diǎn)調(diào)整至插值點(diǎn)列的最后,從頭再來計(jì)算[9-10];在不滿足插值條件之點(diǎn)處定義另一個插值函數(shù)[11],或者增加不滿足條件的節(jié)點(diǎn)重數(shù)[12].這些方法雖然解決了一定的問題,但更增大了計(jì)算量,應(yīng)用不便.近年來又相繼出現(xiàn)了一些構(gòu)造切觸有理插值函數(shù)的方法,如用分段組合和牛頓插值多項(xiàng)式構(gòu)造[13],用埃米特基函數(shù)構(gòu)造[14],用Taylor算子構(gòu)造[15].這些方法雖好,但計(jì)算復(fù)雜度高的問題仍未得到有效解決.本文給出了完全不同于以上各種方法的一類切觸有理插值的新方法,該方法所構(gòu)造的插值函數(shù),其分母在已知節(jié)點(diǎn)處不為零,滿足所有插值條件,計(jì)算簡單,過程公式化,應(yīng)用很方便.

2 預(yù)備知識

定義 2.1若?P(x)≤m,?Q(x)≤h,則稱有理函數(shù)的次數(shù)類型為[m|h]型,記

其中?表示多項(xiàng)式次數(shù).

定義 2.2稱形如

的分式為連分式,記作

定義 2.3已知函數(shù)f(x),S={xp|p=0,1,2,···}為一個點(diǎn)集,令

稱上述式子確定的ξ[x0,x1,···,xl]為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0,x1,···,xl處的l階逆差商.

定義 2.4稱連分式

為逆差商-Thiele型連分式;稱連分式

為Salzer型切觸有理插值連分式.

定義 2.5已知插值節(jié)點(diǎn)x0＜x1＜···＜xn及導(dǎo)數(shù)值所謂切觸有理插值就是尋求一個有理分式函數(shù)使得

其中

定義 2.6令

定義 2.7令

3 主要結(jié)論

定理 3.1已知插值節(jié)點(diǎn)x0＜x1＜···＜xn及相應(yīng)的函數(shù)值fi,則有理分式函數(shù)

滿足插值條件R(xi)=fi(i=0,1,···,n).

證明因?yàn)?/p>

所以P(xi)=σi(xi)fi,Q(xi)=σi(xi),因此

定理 3.2已知插值節(jié)點(diǎn)x0＜x1＜···＜xn及相應(yīng)的函數(shù)值fi,一階導(dǎo)數(shù)值則有理分式函數(shù):

證明由定義2.7知,

根據(jù)公式(2),

于是

從而

又因?yàn)?/p>

故

定理 3.3已知插值節(jié)點(diǎn)x0＜x1＜···＜xn及相應(yīng)的函數(shù)值fi,一階導(dǎo)數(shù)值二階導(dǎo)數(shù)值則有理分式函數(shù)

滿足插值條件

證明由定義2.7知,

根據(jù)公式(3),

從而

于是

又因?yàn)?/p>

故

又

故

特例已知插值節(jié)點(diǎn)x0＜x1＜···＜xn及相應(yīng)的函數(shù)值fi,二階導(dǎo)數(shù)值則有理分式函數(shù)

滿足插值條件一般地，已知節(jié)點(diǎn)x0＜x1＜···＜xn及函數(shù)值fi,一階導(dǎo)數(shù)值二階導(dǎo)數(shù)值階導(dǎo)數(shù)值則有理分式函數(shù)

滿足插值條件

在(5)式中添加適當(dāng)?shù)膮?shù)ρi(i=0,1,···,n),可降低插值函數(shù)R(x)的次數(shù),即

4 數(shù)值算例

例 4.1已知數(shù)據(jù)求有理函數(shù)使得

解法一(用本文的新方法)

根據(jù)公式(1),有理插值函數(shù)的分子P(x),分母Q(x)分別計(jì)算如下:

于是,插值函數(shù)經(jīng)過檢驗(yàn)所得有理插值函數(shù)R(x)滿足全部插值條件,即

解法二(用逆差商-Thiele型連分式算法)

設(shè)所求有理函數(shù)為:

其中

計(jì)算q3時出現(xiàn)了分母為零,運(yùn)算無法進(jìn)行下去.

例 4.2已知函數(shù)f(x)=ex,插值節(jié)點(diǎn)x1=0,x2=1,求有理插值函數(shù)使得

解法一（用本文的新方法）

因?yàn)?/p>

根據(jù)公式(2)，

于是,插值函數(shù)經(jīng)過檢驗(yàn)所得有理插值函數(shù)R(x)滿足全部插值條件,即

解法二（用Salzer型切觸有理插值連分式算法）

設(shè)插值函數(shù)

根據(jù)Salzer型連分式的系數(shù)算法,

所以

經(jīng)過檢驗(yàn)R(x)滿足全部插值條件

注 4.1①在例 4.2中,雖然用 Salzer型連分式算法求出了插值函數(shù)R(x),但前提是必須已知被插函數(shù)R(x).如果只知道幾個離散數(shù)據(jù)點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)值,則無法計(jì)算連分式的系數(shù)q1,0,q1,1,q2,0,q2,1,也就無法應(yīng)用連分式插值.

②本文的新方法無需知道被插函數(shù),只要已知幾個數(shù)據(jù)點(diǎn)就可以求插值函數(shù).由此可見,本文的新方法,不需要任何附加條件,它比連分式應(yīng)用范圍更廣,功能更強(qiáng),使用更方便.

③本文新方法比連分式算法簡單.

例 4.3已知求有理函數(shù)使得

解由于

根據(jù)公式(2),

由 (7)、(8)兩式得

經(jīng)過檢驗(yàn)所得插值函數(shù)R(x)滿足全部插值條件,即

注 4.2①例三中因被插函數(shù)f(x)未知,所以用傳統(tǒng)的Salzer型連分式算法,無法計(jì)算;

②例三說明,本文的新方法比切觸有理插值的傳統(tǒng)Salzer型連分式算法適用面更廣,只要知道了數(shù)據(jù)點(diǎn)及相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值,用本文的新方法都能簡單、順利地進(jìn)行運(yùn)算.

下面引進(jìn)參數(shù)ρi(i=0,1,2),將(9)式中分母Q(x)的次數(shù)降低.

令有理插值函數(shù)為:

則

若要把Q(x)的次數(shù)降低2次,只要解方程組

該方程組有非平凡解,取ρ0=1,ρ1=?3,ρ2=2為其解.

此時

并且

由 (11)、(12)兩式得

經(jīng)過檢驗(yàn),(13)式的插值函數(shù)R(x)仍然滿足

5 結(jié)束語

切觸有理插值的應(yīng)用非常廣泛,從工業(yè)產(chǎn)品的外形設(shè)計(jì)到現(xiàn)代醫(yī)學(xué)的3D打印等都有所涉及.因此,探究簡單方便的插值方法顯得尤為重要.本文方法是構(gòu)造性的,計(jì)算復(fù)雜度低,實(shí)際應(yīng)用方便,并且有效克服了傳統(tǒng)連分式插值的缺陷,使任意階導(dǎo)數(shù)的有理插值變得可行且容易,具有應(yīng)用前景,創(chuàng)新點(diǎn)如下:

(1)構(gòu)造了各階導(dǎo)數(shù)有理插值新公式,計(jì)算簡單,無需附加條件;

(2)插值函數(shù)的分母在節(jié)點(diǎn)處不等于零,運(yùn)算始終能順利進(jìn)行,且滿足全部插值條件;

(3)添加參數(shù)可降低插值函數(shù)的次數(shù).

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