基于位相變更的非相干數(shù)字全息自適應(yīng)成像?

周宏強 萬玉紅 滿天龍

(北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院,北京 100124)

1 引 言

菲涅耳非相干全息(Fresnel incoherent correlation holography,FINCH)作為一種非掃描三維成像技術(shù)得到了廣泛的關(guān)注和研究[1?5].采用準(zhǔn)單色的擴展光源(空間非相干光)照明物體,物體上每一物點發(fā)出的光通過合適的分光方法,如利用在空間光調(diào)制器(spatial light modulator,SLM)加載適當(dāng)?shù)奈幌嘌谀みM行衍射分光[6],分束后的兩束光在合適的平面進行自干涉產(chǎn)生點源全息圖,所有點源全息圖的非相干疊加便是整個物體的全息圖.全息圖重建過程在計算機實現(xiàn),經(jīng)過數(shù)值衍射傳播后得到重建像.為充分利用光源的時間相干性和系統(tǒng)的空間帶寬積,FINCH系統(tǒng)多采用同軸光路配置,結(jié)合相移技術(shù)[7]實現(xiàn)全息圖的記錄,在重建過程中去除零級項和孿生像的干擾.FINCH技術(shù)作為一種三維顯微成像技術(shù)[8],經(jīng)過理論和實驗研究已經(jīng)證明其具有超分辨率成像的特性.結(jié)合結(jié)構(gòu)照明或者漸變折射率透鏡等方法或元件,實現(xiàn)了FINCH的超分辨率成像[9,10].文獻(xiàn)[11]對FINCH成像速度的提高方法進行了研究,通過單通道單次曝光的全息圖即可再現(xiàn)出物體的三維信息,加快了記錄速度.近年來,在FINCH基礎(chǔ)上已發(fā)展出基于孔徑編碼的非相干全息技術(shù)(coded aperture correlation holography,COACH)[12,13].

面向?qū)嶋H應(yīng)用的成像系統(tǒng)不同程度地會受到系統(tǒng)像差的影響,導(dǎo)致系統(tǒng)成像性能下降,成像指標(biāo)達(dá)不到理論預(yù)期.基于FINCH技術(shù)的顯微成像系統(tǒng)中,全息圖記錄的過程中也會受到某些像差的影響[14,15],造成所記錄的全息圖含有像差以致于重建像質(zhì)量不高,分辨率降低.為解決這一問題,Kim[16,17]提出了基于引導(dǎo)星的非相干數(shù)字全息自適應(yīng)光學(xué),該方法先引入一個光軸上的點源作為引導(dǎo)星,記錄引導(dǎo)星的多幅相移全息圖,得到復(fù)值全息圖.利用系統(tǒng)引導(dǎo)星復(fù)值全息圖(點源全息圖)的復(fù)共軛與擴展物體的復(fù)值全息圖進行卷積運算,從而實現(xiàn)系統(tǒng)像差的補償.該方法需要記錄引導(dǎo)星和物體的多幅相移全息圖,數(shù)據(jù)量較大,記錄速度慢.并且引導(dǎo)星在實際成像系統(tǒng)中的選取往往是非常困難和復(fù)雜的,其直徑大小、光強度都需要根據(jù)實際系統(tǒng)優(yōu)化.位相變更(phase diversity,PD)是一種有效的基于兩幅具有固定位相差異的強度圖像計算波前像差的方法[18?21].Klapp和Rosen[15]在FINCH系統(tǒng)中實現(xiàn)了利用PD算法進行波前探測的自適應(yīng)光學(xué),但其研究工作只給出了簡單的模擬結(jié)果.

本文進一步發(fā)展了基于位相變更的非相干數(shù)字全息自適應(yīng)光學(xué)(PD-FINCH),并研究其成像特性.利用全息記錄過程中所得到的具有固定位相差的兩幅全息圖作為初始數(shù)據(jù),結(jié)合位相變更算法求解出系統(tǒng)像差的位相分布.在本文所提出的方法中,單獨提取出光學(xué)像差的具體相位分布形式,通過將該相位的共軛加載在光學(xué)系統(tǒng)中的空間光調(diào)制器上,在全息圖記錄的同時實現(xiàn)像差校正,從而提高重建像的質(zhì)量.與傳統(tǒng)PD算法中采取的數(shù)值校正方法相比,本文提出的方法具有可靈活調(diào)制補償位相、便于分析系統(tǒng)像差模式及像差對成像質(zhì)量的影響等優(yōu)勢.采用標(biāo)準(zhǔn)分辨率板作為物體進行實驗,在系統(tǒng)中存在單一像差和多類別像差的情況下,分別實現(xiàn)了波前像差的探測,經(jīng)過像差校正后,再現(xiàn)像的質(zhì)量得到明顯的提高.

2 基本原理

菲涅耳非相干關(guān)聯(lián)全息(FINCH)是一種非相干全息成像技術(shù),其全息圖記錄過程如圖1所示.

圖1 FINCH記錄過程示意圖Fig.1.FINCH recording principle diagram.

O是擴展型物體在軸上一物點,O到透鏡L的距離為d1,透鏡L是成像透鏡,焦距f1.P1是起偏器,透振方向與x方向成45°角.偏振光束傳播到SLM平面,在SLM加載焦距為fSLM的透鏡的包裹位相掩膜.根據(jù)SLM的偏振敏感特性,只對水平方向偏振的入射光敏感.當(dāng)入射光偏振方向為45°時,只有入射光的水平分量被調(diào)制,而垂直分量沒有被調(diào)制,且水平分量和垂直分量光強相等.這樣一束光經(jīng)過SLM就被分成兩束光,兩束光波傳播經(jīng)過P2(檢偏器,透振方向與P1平行).至探測器CCD(charge coupled device)平面干涉形成點源全息圖.z1,z2分別是物點經(jīng)過透鏡和SLM調(diào)制分光后所成的像到SLM的距離.zh為從SLM到CCD的記錄距離.

全息圖在CCD平面的光強分布可表示為理想的物像與系統(tǒng)點源全息圖的卷積,物體的全息圖表示為

其中o(x,y)是物體的理想像的強度分布,?代表二維卷積運算,hI(x,y)表示系統(tǒng)的點擴散函數(shù)(point spread function,PSF),這里的PSF即為系統(tǒng)點源全息圖.

由于FINCH系統(tǒng)為同軸光路配置,在全息圖再現(xiàn)過程中,再現(xiàn)像會受到零級項和孿生像的干擾,因此需要結(jié)合相移全息技術(shù),去除其對再現(xiàn)像的影響(本文中采用四步相移技術(shù)).FINCH中的PSF系統(tǒng)所記錄的點源全息圖具體形式為

這里Q(1/a)=exp[jπ(x2+y2)/λ/a],λ為光源中心波長;θi代表相移值,i=1,2,3,4,θi分別為0,π/2,π,3π/2.φa為系統(tǒng)像差在SLM面上的位相分布(這里加孔徑光闌限定SLM平面為光瞳面),φa由澤尼克多項式前N項的線性組合來描述:

其中,Zn為澤尼克多項式的第n項數(shù)學(xué)表達(dá)式,它和光學(xué)像差有直接對應(yīng)的關(guān)系,n=1,2,···,N;Cn表示澤尼克多項式對應(yīng)第n項的系數(shù),為區(qū)別仿真與實驗中的參數(shù),仿真中為Cn,實驗中為Cen.

在實驗設(shè)計中,FINCH系統(tǒng)為同軸共路的系統(tǒng),為精確使用SLM補償像差,系統(tǒng)設(shè)計時,考慮光瞳面限制在SLM平面(圖1藍(lán)色箭頭處).在SLM上加載透鏡位相和像差位相的同時引入一定的相移,記錄兩幅具有固定相位差的全息圖,分別記為i(x,y)和id(x,y).基于PD算法的核心思想,為求得系統(tǒng)的像差,定義評價函數(shù)E(o,φa)[22,23]:

其中hI(x,y),hId(x,y)為成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)(PSF),這里分別為FINCH系統(tǒng)的兩個點源全息圖,分別對應(yīng)于記錄全息圖i(x,y)和id(x,y)時的情形.根據(jù)Parseval定理和傅里葉變換的性質(zhì)可知,在頻域中,

式中I,Id,O,OTF,OTFd分別為i,id,o,hI,hId的傅里葉變換;評價函數(shù)E(o,φa)表明通過采集到的兩幅具有固定相移差的圖像強度分布,可以估算出波前的位相分布(即像差分布).

在目標(biāo)物體分布函數(shù)未知情形下,為了在像差估算過程中使評價函數(shù)不受物體分布函數(shù)的影響,把函數(shù)E(O,φa)對O求偏導(dǎo),在偏導(dǎo)數(shù)為0時,函數(shù)取到最小值,此時評價函數(shù)的表達(dá)式可以寫為

(6)式是一個依賴于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一個函數(shù),它并不依賴于物函數(shù).采用遺傳算法(genetic algorithm,GA)[24],在不斷改變在光瞳面上像差的分布過程中,對上述評價函數(shù)的可能解執(zhí)行大規(guī)模并行搜索,找到評價函數(shù)的最小值.當(dāng)某一種像差分布對應(yīng)于函數(shù)取得最小值時,對應(yīng)的便是最接近實驗系統(tǒng)的像差位相.

根據(jù)前述理論以及圖2的計算過程流程,便可得到計算的像差位相.

圖2 算法流程圖(FT表示二維傅里葉變換)Fig.2.Flow chart of algorithm(FT:Fourier transform).

通過上述算法得到像差的位相函數(shù)φa后,將φa的復(fù)共軛加載到SLM上,結(jié)合相移技術(shù)記錄四幅全息圖,合成復(fù)值全息圖,經(jīng)衍射傳播的一定距離后,可得到經(jīng)過像差校正的再現(xiàn)像.另外,本文對計算的像差位相和剩余殘差用峰谷值(peak-valley value,P-V)和位相標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation,σ)描述和對比校正前后的光瞳面位相的變化程度.

φmax和φmin分別表示光瞳面位相的最大值和最小值;

N表示有效光瞳平面區(qū)域內(nèi)像素數(shù),xi表示各個像素值,i=1,2,···N,μ表示所有像素值的平均.

3 仿真與實驗

根據(jù)圖1中的光路結(jié)構(gòu)設(shè)計仿真,在FINCH系統(tǒng)中引入彗差,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為[25]

根據(jù)(3)和(9)式,使用彗差位相φa=C7×Z7,其系數(shù)為C7=0.37作為像差. 極坐標(biāo)參數(shù)非相干光源的中心波長為627 nm,物體到透鏡的距離d1=260 mm,透鏡L的焦距為f=150 mm,透鏡到SLM的距離d2=85 mm;SLM上加載的透鏡的焦距為fSLM=?4000 mm,大小為1024×1024像素,每個像素的大小為6.4μm×6.4μm.CCD到SLM的距離zh是279 mm.物光經(jīng)過起偏后形成與水平方向成45°的線偏振光,衍射傳播通過透鏡L后照射到SLM上,經(jīng)過SLM加載的掩膜的調(diào)制分光.最后經(jīng)過檢偏器P2使兩束光同一偏振態(tài)(與P1透振方向平行)后在CCD上干涉產(chǎn)生全息圖,改變SLM上的相移間隔,分別記錄兩幅相移全息圖作為PD計算波前像差的強度圖.

模擬結(jié)果如圖3所示,圖3(a)為校正前全息圖,圖3(c)是四步相移全息圖的重建像.PD計算后得到的澤尼克彗差系數(shù)為C′7=0.371的像差位相.將得到的共軛位相加載到SLM上,補償系統(tǒng)像差.重新記錄四步相移全息圖,合成復(fù)值全息圖,經(jīng)過角譜傳播后得到再現(xiàn)像.圖3(b)為補償像差后記錄的全息圖.校正后的再現(xiàn)像如圖3(d)所示.模擬過程中引入系統(tǒng)的像差位相如圖3(e)所示,校正后剩余的像差位相如圖3(f)所示.

圖3 仿真結(jié)果 (a)記錄的全息圖(含有彗差);(b)加載共軛位相補償像差后記錄的全息圖;(c)校正前的全息圖重建像;(d)校正后全息圖重建像(紅框中為細(xì)節(jié)部分放大);(e)模擬中引入的彗差位相(C7=0.37);(f)像差校正后的剩余位相Fig.3.Simulated results:(a)Recorded hologram with coma aberration;(b)recorded hologram after correction coma;(c)reconstructed image with coma;(d)reconstructed image after correction(enlarge the details in the red block);(e)coma aberration phase(C7=0.37);(f)residual phase after correction.

由圖3(c)和圖3(d)可以看出,經(jīng)過PD校正后的重建像質(zhì)量更高,分辨率也提高了.像差位相的P-V由校正前(圖3(e))13.06 rad降低到(圖3(f))0.035 rad;位相的標(biāo)準(zhǔn)差σ由校正前(圖3(e))0.9859 rad降低到(圖3(f))0.0027 rad.

為進一步研究所發(fā)展的方法的像差校正特性,在系統(tǒng)中引入復(fù)雜像差的模式,像散(Z3)、彗差(Z9)、球差(Z12),像差系數(shù)為C3=0.4,C9=0.2,C12=?0.3,澤尼克多項式數(shù)學(xué)表達(dá)式如下[25]:

即加入像差位相φa=C3×Z3+C9×Z9+C12×Z12.記錄的全息圖如圖4(a),經(jīng)過PD計算之后的解為C′3=0.457,C′9=0.18,C′12=?0.284.將其共軛位相加載到SLM上補償系統(tǒng)像差后記錄全息圖如圖4(b).全息圖校正前和校正后的再現(xiàn)像分別如圖4(c)和圖4(d)所示.模擬過程中,引入系統(tǒng)的像差如圖4(e),校正后剩余的像差位相如圖4(f).

圖4 模擬結(jié)果 (a)記錄的全息圖(含有像差);(b)加載共軛位相補償像差后記錄的全息圖;(c)校正前的全息圖重建像;(d)校正后全息圖重建像(紅框中為細(xì)節(jié)部分放大);(e)模擬的像差位相(像散C3=0.4,彗差C9=0.2,高階球差C12=?0.3);(f)校正后的剩余位相Fig.4.Simulation results:(a)Hologram with aberrations;(b)hologram after aberrations correction;(c)reconstructed image with aberrations;(d)reconstructed image after correction(enlarge the details in the red block);(e)simulated aberration phase(astigmatism C3=0.4,coma aberration C9=0.2,spherical aberration C12=?0.3);(f)the residual phase.

綜上模擬結(jié)果分析,經(jīng)過PD校正后,重建像的分辨率得到明顯的提高,能看到第6組第6線對(圖4(d)).像差位相的峰谷值P-V由校正前(圖4(e))26.93 rad降低到(圖4(f))2.12 rad;位相的標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation,σ)由校正前(圖4(e))2.230 rad降低到(圖4(f))0.146 rad.

根據(jù)基本理論,設(shè)計實驗光路如圖5所示.

圖5 實驗光路配置Fig.5.Experimental set-up.

圖6 實驗結(jié)果 (a)記錄的全息圖(含有彗差);(b)補償像差后記錄的全息圖;(c)校正前的重建像;(d)校正后的重建像(紅框中為細(xì)節(jié)部分放大);(e)光瞳面彗差位相(Ce7=0.37);(f)校正后像差的剩余位相Fig.6.Experimental results:(a)recorded hologram with coma aberration;(b)recorded hologram after correction coma;(c)reconstructed image with coma(enlarge the details in the red block);(d)reconstructed image after correction;(e)coma aberration phase(Ce7=0.37);(f)residual phase after correction.

圖7 實驗結(jié)果 (a)記錄的全息圖含有像差;(b)加載共軛位相補償像差后記錄的全息圖;(c)校正前的全息圖重建像;(d)校正后全息圖重建像;(e)光瞳面像差位相(像散Ce3=?0.3,彗差Ce9=?0.4,高階球差Ce12=0.2);(f)校正后的剩余位相;(g)歸一化校正前(c)和校正后(d)條紋對比度曲線(紅線(d);藍(lán)線(c))Fig.7.Experimental results:(a)Hologram with aberrations;(b)hologram after correcting aberrations;(c)reconstructed image with aberrations;(d)reconstructed image after correction(bottom right:normalized fringe contrast curve,the red is after correction);(e)simulated aberration phase(astigmatism Ce3=?0.3,coma aberration Ce9=?0.4,spherical aberration Ce12=0.2);(f)phase distribution of the residual aberration;(g)the normalized contrast curve before and after correction(red(d);blue(c)).

實驗系統(tǒng)中,照明光源采用LED,中心波長為627 nm,帶寬是16 nm.CL是準(zhǔn)直透鏡,焦距為75 mm.光束經(jīng)過準(zhǔn)直后起偏器P1后變成線偏振光.將P1的透振方向調(diào)節(jié)到與水平方向成45°角的方向.A為可變光闌.采用標(biāo)準(zhǔn)分辨率板(USAF 1951)作為物體O,分辨率板到透鏡L的距離大約為262 mm.透鏡L的焦距為f=150 mm.經(jīng)過分光棱鏡(beam splitter,BS)后照射到空間光調(diào)制器(SLM,Holoeye LETO 3.0)上面.SLM像素數(shù)為1920×1080,像元尺寸6.4μm×6.4μm.SLM是LCOS純位相型的反射式空間光調(diào)制器.由于該SLM只對水平偏振的入射光敏感,將P1的透振方向旋轉(zhuǎn)至與水平方向呈45°角,此時入射到SLM上的光波的為線偏振,并為與水平方向夾角為45°,光強比近似為1:1只有水平分量的光波前被調(diào)制,垂直分量沒有被調(diào)制.物光經(jīng)過透鏡和SLM調(diào)制分光后在CCD平面自干涉產(chǎn)生全息圖.CCD與SLM間距為279 mm.其中CCD(Thorlabs DCU224 M,1280×1024)像元尺寸4.65μm×4.65μm.

實驗過程中,在SLM平面加載直徑為800像素的圓形掩膜作為孔徑光闌將系統(tǒng)的光瞳面限制在SLM 平面.并將透鏡位相掩膜和像差(彗差系數(shù)Ce7=0.37)加載到SLM上,記錄四幅相移全息圖,組合成復(fù)值全息圖.經(jīng)過角譜傳播一段距離得到再現(xiàn)像,實驗中再現(xiàn)距離為4.5 mm.實驗結(jié)果如圖6所示,其中圖6(a)和圖6(c)為校正前全息圖和重建像.利用記錄的前兩幅全息圖和相移值,經(jīng)過PD算法計算后,得到的彗差系數(shù)為Ce′7=0.36.為補償系統(tǒng)像差,將得到的共軛位相加載到SLM上,重新記錄四幅相移全息圖,合成復(fù)值全息圖,經(jīng)過角譜傳播到指定距離,便可得到清晰的重建像.校正后的全息圖和再現(xiàn)像分別如圖6(b)和圖6(d)所示.同時可以看到系統(tǒng)的彗差像差位相以及補償后的剩余位相如圖6(e)和圖6(f).

利用PD算法求解得到系統(tǒng)的澤尼克系數(shù)為Ce′7=0.36. 比較圖6(c)和圖6(d)中校正前后的重建像,紅色方框中細(xì)節(jié)部分可以清楚地看到,校正后的圖像質(zhì)量得到明顯的改善,分辨率也有明顯的提高.像差位相的峰谷值P-V由校正前(圖6(e))13.06 rad降低到(圖6(f))0.353 rad; 位相的標(biāo)準(zhǔn)差σ由校正前(圖6(e))0.9859 rad降低到(圖6(f))0.0266 rad.

在系統(tǒng)中引入復(fù)雜像差模式,以研究本文所提出的自適應(yīng)成像方法對不同像差類型的校正性能.該方法對于澤尼克多項式描述的前12項像差均有校正作用,本文針對熒光顯微成像中可能存在對成像質(zhì)量影響較大的低階像差(前12項如像散,彗差,球差),模擬和實驗都選取了不同的像差模式和不同系數(shù)大小進行實驗驗證,都得到了良好的校正效果.這里展示的是在系統(tǒng)中引入像散(Z3),彗差(Z9),球差(Z12),其中像差系數(shù)分別為Ce3=?0.3,Ce9=?0.4,Ce12=0.2.經(jīng)過實驗并計算求解之后的解為Ce′3=?0.29,Ce′9=?0.48,Ce′12=0.28.實驗結(jié)果如圖7所示.其中圖7(a)和圖7(c)為像差校正前的全息圖和重建像,校正后的全息圖和再現(xiàn)像如圖7(b)和圖7(d)所示.同時可以看到系統(tǒng)所引入的像差位相以及補償后的剩余像差位相如圖7(e)和圖6(f).圖7(g)給出了圖7(c)和圖7(d)中沿紅線標(biāo)示方向的再現(xiàn)像圖像強度分布.

從實驗結(jié)果上看,校正效果明顯,分辨率提高,校正前后的條紋對比度都有明顯的提高.像差位相的峰谷值P-V由校正前(圖7(e))34.36 rad降低到(圖7(f))3.73 rad;位相的標(biāo)準(zhǔn)差σ由校正前(圖7(e))2.34 rad降低到(圖7(f))0.30 rad.

4 結(jié)論與討論

本文結(jié)合位相變更算法發(fā)展了一種基于非相干數(shù)字全息的自適應(yīng)光學(xué)成像技術(shù)(PD-FINCH).所提出的方法僅需利用全息記錄過程中所得到的具有固定位相差的兩幅全息圖即可實現(xiàn)系統(tǒng)像差的探測.并且光學(xué)像差的具體相位分布形式被單獨提取出來,校正過程采用加載共軛位相到SLM進行靈活補償,校正過程可分離出系統(tǒng)像差分析,校正效果可定量評價.與基于引導(dǎo)星的非相干數(shù)字全息自適應(yīng)光學(xué)的方法相比,該方法記錄速度更快,校正補償方便靈活并且校正效果可以定量地評價.本文通過模擬和實驗驗證了該方法的可行性,并研究了PD-FINCH系統(tǒng)的自適應(yīng)成像特性.研究表明,利用所發(fā)展的方法,FINCH系統(tǒng)內(nèi)存在的像差得到了有效校正,成像性能提升,分辨率和校正前后的條紋對比度都有明顯的提高.PD-FINCH系統(tǒng)成像性能的提升,將有力推進其在熒光成像系統(tǒng),三維顯微成像領(lǐng)域的應(yīng)用進展.

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[24]Lei Y J,Zhang S W 2014Matlab Genetic Algorithm Toolbox and Applications(2nd Ed.)(Xi’an:Xidian University Press),pp143–182(in Chinese)[雷英杰, 張善文2014 MATLAB遺傳算法工具箱及應(yīng)用(第二版)(西安:西安電子科技大學(xué)出版社第143—182頁]

[25]Noll R J 1976J.Opt.Soc.Am.66 207