多模光力系統(tǒng)中的非傳統(tǒng)聲子阻塞?

石海泉 謝智強 徐勛衛(wèi) 劉念華

1)(南昌大學材料科學與工程學院,南昌 330031)

2)(華東交通大學應用物理系,南昌 330013)

3)(南昌大學高等研究院,南昌 330031)

1 引 言

1997年,Imamo?lu等[1]在研究含克爾非線性介質腔中光子的統(tǒng)計性質時提出了光子阻塞概念,用以描述光子通過含有強克爾非線性介質光腔時表現(xiàn)出強反聚束的行為.光子阻塞效應的一項重要應用是可以用于實現(xiàn)理想的單光子源.自從2005年Birnbaum等[2]首次在腔QED系統(tǒng)中觀測到光子阻塞效應以來,人們已經(jīng)在很多不同系統(tǒng)中觀測到光子阻塞[3?7].近年來,光力系統(tǒng)研究作為量子光學發(fā)展的新方向之一,引起了人們的廣泛關注[8?13].光力系統(tǒng)由光腔與機械振子通過光壓力作用耦合組成,既可以用于改變光場的性質,也可以用于控制機械振子的行為.已有較多的研究發(fā)現(xiàn),在強光力耦合條件下光力系統(tǒng)中也可以出現(xiàn)光子阻塞效應[14?21],這為實現(xiàn)單光子源提供了一條新的途徑.

類比光子阻塞效應,聲子阻塞效應[22]可以作為實現(xiàn)單聲子源的機制之一.理論預言,當機械振子與二能級系統(tǒng)耦合時,在色散區(qū)[22?25]和共振區(qū)[26,27]都可以實現(xiàn)聲子阻塞效應.然而除少數(shù)文獻外[28?30],對于光力系統(tǒng)中聲子統(tǒng)計性質的專門研究還比較少,如何在光力系統(tǒng)中實現(xiàn)聲子阻塞還有待研究.多模光力系統(tǒng)作為光力系統(tǒng)的重要模型之一是目前研究的熱點之一.研究發(fā)現(xiàn),多模光力系統(tǒng)中可以出現(xiàn)很多獨特的有趣現(xiàn)象,例如非線性作用增強[31,32]、高保真度量子態(tài)傳輸[33?35]、聲子激光[29,36,37]、邊帶不可分辨條件下的基態(tài)冷卻[38?41]、弱光力耦合條件下的光子阻塞[42]、超高分辨率質量傳感[43]等.

本文研究多模光力系統(tǒng)中聲子的統(tǒng)計性質,其中多模光力系統(tǒng)由一個機械模與兩個光學模組成.本文主要關注弱光力耦合條件下的聲子阻塞,類比非傳統(tǒng)光子阻塞效應[42,44?54],它也被稱為非傳統(tǒng)聲子阻塞[27].與傳統(tǒng)聲子阻塞源于強非線性作用的物理機制[22?26]不同,非傳統(tǒng)聲子阻塞的物理起源是因為干涉相消作用[45,46],導致雙聲子態(tài)的占居概率被抑制,從而使得在弱非線性條件下也能出現(xiàn)強反聚束現(xiàn)象.

2 多模光力系統(tǒng)理論模型

本文將要研究的多模光力系統(tǒng)由一個機械模和兩個光學模組成[29,31,32,36,37],如圖1所示,其哈密頓量可以表示為(?=1)

圖1 多模光力系統(tǒng)示意圖 機械模b同時與環(huán)形微腔中光學模aL和aR產生光力作用;光學模之間線性耦合,強度為J0;機械模和光學模都受到外加驅動場作用,強度為ε和?i(i=1,2),?表示驅動場間的相位差Fig.1.Schematic diagram of a multimode optomechanical system:The mechanical mode b is optomechanical coupled to the optical modes aLand aRsimultaneously;the optical modes are linearly coupled together with strength J0;the mechanical and optical modes are driven by external fields with strengths ε and ?i(i=1,2),and ? denotes the phase difference of the driving fields.

為了后續(xù)討論方便,對系統(tǒng)哈密頓量(1)式進行簡化.首先,將耦合光學模算符變換為對稱和反對稱模式,即做變換和可得

其中g≡(gL+gR)/2和g′≡(gR?gL)/2.接下來,對哈密頓量做變換,H′=UH0U?,其中

假設系統(tǒng)參數(shù)滿足弱光力耦合和邊帶可分辨條件g＜γc?ωm,以及共振條件和在旋轉波標架下其中R(t)=忽略高頻振蕩項和高階小量,系統(tǒng)的哈密頓量可以近似寫為

其中失諧量Δ1=ωc?J0?ωa,1,Δ2=ωc+J0?ωa,2,Δm=ωm?ωb.假設驅動場強度滿足不等式?1?γc＞{g,ε,?2,γm},這時光學模a1中的平均光子數(shù)很大,〈a1〉?1,光學模a2中的平均光子數(shù)很小,〈a2〉＜1,機械模中的平均聲子數(shù)也較小,〈b〉＜1.為了討論簡單,光學模a1可以作為經(jīng)典場近似處理,即a1→〈a1〉;另外假設失諧量由此系統(tǒng)的哈密頓量可以進一步簡化為

其中等效非線性作用強度U≡?g2/ωm,等效線性耦合強度J=g′〈a1〉.〈a1〉的相位可以通過改變外加驅動場的相位調節(jié),不失一般性,本文假設J,?2和ε都為實數(shù),不同驅動場之間的相位差用?表示.下面從哈密頓量(5)式出發(fā),研究機械模中的聲子阻塞效應.

在穩(wěn)態(tài)下(t→+∞),系統(tǒng)中聲子的統(tǒng)計性質可以由二階相關度來表征.聲子二階相關度的定義為

其中nb≡b?(t)b(t)為平均聲子數(shù),平均聲子數(shù)和二階相關度都可以利用系統(tǒng)密度算符ρ計算得出.系統(tǒng)的密度算符ρ隨時間的演化行為滿足以下主方程[56]

其中nth為機械模中的平均熱聲子數(shù).根據(jù)玻色-愛因斯坦統(tǒng)計可得nth=[exp(?ωm/kBT)?1]?1,其中kB為玻爾茲曼常數(shù),T為機械振子所處環(huán)境的平衡溫度.由于光學模本征頻率較高,可以忽略環(huán)境中熱光子的影響.

3 聲子阻塞最優(yōu)條件

本節(jié)討論觀測聲子阻塞的最佳條件.雖然系統(tǒng)哈密頓量(7)式從數(shù)學上看與文獻[50]中的類似,但是本文所選取的參數(shù)范圍與文獻[50]有所不同:光腔的衰減率遠大于機械振子的衰減率,即γc?γm.這一不同會導致聲子阻塞出現(xiàn)的最優(yōu)條件與文獻[50]中給出的條件大不相同.所以有必要根據(jù)文獻[45]中給出的方法,重新推導聲子阻塞出現(xiàn)的最佳條件.

首先,假設系統(tǒng)狀態(tài)可以用下列波函數(shù)來描述

其中|n,m〉代表系統(tǒng)處于n個光子m個聲子的態(tài),對應系數(shù)Cnm(n和m為非負整數(shù))為其概率幅.由于驅動場強度?2和ε都較弱,平均光子數(shù)和聲子數(shù)都較少,聲子或者光子數(shù)越多的態(tài)出現(xiàn)的概率越小,可以近似認為:C00?{C10,C01}?{C20,C11,C02}?···.將波函數(shù)(8)式和哈密頓量(5)式代入薛定諤方程,id|ψ〉/dt=H|ψ〉,可得波函數(shù)中的系數(shù)Cnm滿足的動力學方程

在穩(wěn)態(tài)下,取dCnm/dt=0,于是系數(shù)Cnm滿足線性方程組

由(14)和(15)式解得

將其代入(16)—(18)式中,并利用聲子阻塞出現(xiàn)的條件,即C02=0,可得系數(shù)C20,C11,C00滿足線性方程組

其中

上述方程組(21)—(23)式有非零解的充要條件是其系數(shù)矩陣行列式為零.

當光學模a2不受外加驅動場作用,即?2ei?=0時,由方程組(21)—(23)式系數(shù)矩陣行列式實部和虛部分別為零可得

由此推導出聲子阻塞效應的最佳失諧量和光力耦合強度分別為

當?shù)刃Ь€性耦合強度遠大于光腔的衰減率,即J?γc/2時,(29)和(30)式簡化為

當光學模a2受到外加驅動場作用,即?2ei?/=0時,定義強度比值η=ε/?2.由方程組(21)—(23)式系數(shù)矩陣行列式為零可得

當?=0時,上式中的實部和虛部分別為零可得

由此推導可得,觀測聲子阻塞效應的最佳失諧量滿足以下方程

其中系數(shù)si(i=0,1,2,3,4)分別定義為

另外,觀測聲子阻塞效應的最佳非線性強度和最佳光力耦合強度由下式給出:

其中為了保證gopt為實數(shù),Uopt的取值必須小于零.通過(36)—(42)式可以看出,觀測聲子阻塞效應的最佳失諧量和非線性強度都與驅動強度比值η有關.換言之，我們可以通過改變驅動強度比值η調節(jié)聲子阻塞現(xiàn)象出現(xiàn)的條件,該性質可以用于實現(xiàn)可調單聲子源.

4 數(shù)值結果與分析

本節(jié)數(shù)值求解主方程得到密度矩陣ρ,然后通過繪圖研究聲子二階相干度隨系統(tǒng)參數(shù)的變化趨勢.

4.1 非傳統(tǒng)聲子阻塞

首先,討論光學模a2不受外加驅動場作用,即?2ei?=0時,聲子的統(tǒng)計性質.圖2(a)中給出了聲子二階相干度log10[g(2)b(0)]隨失諧量Δ/γc和光力耦合強度g/γc變化的等高線圖,圖2(b)和圖2(c)中分別給出了log10[g(2)b(0)]隨失諧量Δ/γc和光力耦合強度g/γc的變化曲線,可以看出聲子阻塞出現(xiàn)的最佳失諧量為Δ≈?0.217γc,最佳光力耦合強度為g≈0.819γc,這與(29)—(32)式預言的最佳條件符合.圖2(d)中給出了隨時間延遲τ/(2π/J)變化曲線.隨時間延遲τ出現(xiàn)振蕩行為,振蕩周期為2π/J.該振蕩行為是由于粒子在光學模與機械模之間躍遷導致的.振蕩幅度隨著時間延遲τ/(2π/J)延長逐漸衰減,衰減速率與光學模的衰減率為同一量級.

圖2 (a)聲子二階相干度隨失諧量Δ/γc和光力耦合強度g/γc變化的等高線圖;(b)log10[gb(2 )(0)]隨失諧量Δ/γc的變化曲線,g=0.819γc[取值由(30)式計算得出];(c)log10[gb(2 )(0)]隨光力耦合強度g/γc的變化曲線,Δ=?0.217γc[取值由(29)式計算得出];(d)gb(2 )(τ)隨時間延遲τ/(2π/J)變化曲線,Δ = ?0.217γc和g=0.819γc;其他參數(shù)為J=3γc,ωm=30γc,γm=0.01γc,ε=0.1γc,?2ei? =0,nth=0Fig.2.(a)Contour plot of the second-order correlation functions log10[gb(2)(0)]vs detuning Δ/γcand optomechanical coupling strength g/γc;(b)log10[gb(2)(0)]vs detuning Δ/γcwith g=0.819γcgiven by Eq.(30);(c)log10[gb(2 )(0)]vs optomechanical coupling strength g/γcwith Δ = ?0.217γcgiven by Eq.(29);(d)gb(2 )(τ)vs time delay τ/(2π/J)with Δ = ?0.217γcand g=0.819γc.The other parameters are J=3γc, ωm=30γc, γm=0.01γc, ε =0.1γc,?2ei? =0,nth=0.

圖3 (a)隨線性耦合強度J/γc和光力耦合強度g/γc變化的等高線圖;(b)隨光力耦合強度g/γc的變化曲線;其中其他參數(shù)與圖2一致Fig.3.(a)Contour plot of>vs linear coupling strengthand optomechanical coupling strength g/γc;(b)vs optomechanical strength g/γc.Here=10J and the other parameters are the same as in Fig.2.

4.2 可調聲子阻塞

本小節(jié)研究外加驅動場作用于光學模a2,即?2ei?/=0時,聲子的統(tǒng)計性質隨外加驅動場間強度的比值和相位差的變化行為.通過數(shù)值求解方程(36)—(42)式,圖4(a)中給出了最佳光力耦合強度gopt/γc和最佳失諧量Δopt/γc隨驅動場強度比值η的變化曲線.從圖中可以看出,最佳光力耦合強度gopt/γc和最佳失諧量Δopt/γc隨驅動場強度比值η變化而變化.另外,當η＞4.65時,gopt＜γc,這為在弱光力耦合條件下實現(xiàn)聲子阻塞提供了有利條件.圖4(b)中給出了隨驅動場強度比值η和失諧量Δ/γc變化的等高線圖,其中紅色虛線由(36)式給出.由此可以看出,聲子反聚束現(xiàn)象出現(xiàn)的條件(深藍色區(qū)域)與(36)式給出的最佳失諧量(紅色虛線)符合得很好.

圖4 (a)gopt/γc[(42)式]與Δopt/γc[(36)式]隨驅動場強度比值η的變化曲線;(b)log10[g(2)b (0)]隨驅動場強度比值η和失諧量Δ/γc變化的等高線圖;其他參數(shù)取值與圖2一致Fig.4. (a) Δopt/γc[from Eq.(36)]and gopt/γc[from Eq.(42)]vs the strength ratio η;(b)contour plot of log10[g(2)b(0)]vs the strength ratio η and detuning Δ/γc.The other parameters are the same as in Fig.2.

圖5 (a)和(b)隨相位差?/π和驅動場強度比值η變化等高線圖;(c)log10[gb(2 )(0)]隨驅動場強度比值η變化曲線,其中?=0.634π;(d)log10[gb(2 )(0)]隨相位差?/π變化曲線,其中η=6;(a)和(c)中,Δ 和g的取值由(29)和(30)式計算得出;(b)和(d)中,Δ和g的取值由(36)—(42)式計算得出,其他參數(shù)取值與圖2一致Fig.5.(a)and(b)Contour plot of vs the phase difference ?/π and strength ratio η;(c)log10[gb(2 )(0)]vs the strength ratio η with ? =0.634π;(d)log10[gb(2 )(0)]vs the phase difference ?/π with η =6.(a)and(c) Δ and g are given by Eqs.(29)and(30);(b)and(d) Δ and g are given by Eqs.(36)–(42).The other parameters are the same as in Fig.2.

將圖5(a)和圖5(c)中參數(shù)代入上式可得,η≈5.5和?≈0.634π,這與圖中聚束效應出現(xiàn)的條件一致.

4.3 環(huán)境中熱聲子的影響

與光子阻塞不同,由于聲子的頻率較低,聲子阻塞和隧穿現(xiàn)象容易受到環(huán)境中熱聲子的影響.圖6(a)和圖6(b)中給出了隨平均熱聲子數(shù)nth和機械驅動強度ε/γc變化等高線圖;圖6(c)和圖6(d)中給出了不同熱聲子條件下隨機械驅動強度ε/γc變化曲線.圖6(a)和圖6(c)中選取了圖5(a)中聲子阻塞出現(xiàn)的最優(yōu)參數(shù)η ≈2.764和? ≈0.634π;圖6(b)和圖6(d)中選取了圖5(a)中聲子隧穿出現(xiàn)的最優(yōu)參數(shù)η≈5.5和?≈0.634π.從圖中可以看出,當考慮環(huán)境熱聲子影響時,適當提高驅動強度ε/γc利于觀測聲子阻塞效應;隨著環(huán)境中熱聲子數(shù)的增加,觀測聲子阻塞和隧穿現(xiàn)象需要的機械驅動強度ε/γc逐漸增強.另外,隨著環(huán)境中熱聲子數(shù)的增加,log10[g(2)b(0)]的最小值逐漸增大(或者最大值逐漸減小),即聲子阻塞(隧穿)效應越來越弱.

5 結 論

本文研究了多模光力系統(tǒng)中的聲子阻塞效應,給出了聲子阻塞出現(xiàn)的最佳條件.研究發(fā)現(xiàn),聲子阻塞效應在弱光力耦合條件下也能出現(xiàn),而且出現(xiàn)聲子阻塞效應所需要的最佳光力耦合強度可以通過外加驅動場來調節(jié).另外,我們還研究了多驅動條件下,驅動場間的強度比值和相位差對聲子阻塞效應的影響.發(fā)現(xiàn)通過調節(jié)驅動場強度比值或者相位差,可以觀測到機械模中的聲子在反聚束和聚束之間轉換.這為實現(xiàn)可調單聲子源提供了一個備選方案.最后,討論了環(huán)境中熱聲子對聲子阻塞效應的影響,發(fā)現(xiàn)熱聲子對聲子阻塞效應有破壞作用.為了觀測聲子阻塞效應,必須克服環(huán)境中熱聲子的影響,例如降低環(huán)境的溫度,或者通過其他方法降低機械振子的有效溫度,提高機械振子的共振頻率.近年來,光力系統(tǒng)中已經(jīng)制備出了吉赫茲量級的高頻機械振子[57,58],這為實現(xiàn)聲子阻塞效應提供了有利條件.

圖6 (a)和(b)log10[g(2)b (0)]隨平均熱聲子數(shù)nth和機械驅動強度ε/γc變化等高線圖;(c)和(d)log10[g(2)b (0)]隨機械驅動強度ε/γc變化曲線;(a)和(c)中選取η≈2.764;(b)和(d)中選取η≈5.5;其他參數(shù)與圖5(c)一致Fig.6.(a)and(b)Contour plot of log10[g(2)b (0)]vs mean thermal phonon number nthand mechanical driving strength ε/γc;(c)and(d)log10[g(2)b(0)]vs mechanical driving strength ε/γc. η≈ 2.764 in(a)and(c);η≈ 5.5 in(b)and(d).The other parameters are the same as in Fig.5(c).

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