一道2017年高考試題的解法探析

馮小明

（甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué)，甘肅 嘉峪關(guān)）

近年來許多省市的高考壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，在考查基礎(chǔ)知識和基本方法的同時(shí)，注重考查學(xué)生綜合能力，特別是對函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用.本文以2017年全國新課標(biāo)II卷文科壓軸題為例，探析利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的方法和策略，以期為高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)提供參考.

1.考題再現(xiàn)

（2017年新課標(biāo)II·文21）設(shè)函數(shù)f（x）=（1-x2）ex.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍.

2.標(biāo)準(zhǔn)解法

解（1）略

（2）f（x）=（1+x）（1-x）ex.

①當(dāng)a≥1時(shí)，設(shè)函數(shù)h（x）=（1-x）ex，h′（x）=-xex＜0（x＞0）

因此 h（x）在［0，+∞）單調(diào)遞減，而 h（0）=1，故 h（x）≤1，

所以f（x）=（x+1）h（x）≤x+1≤ax+1.

②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=ex-x-1，g′（x）=ex-1＞0（x＞0）

所以 g（x）在［0，+∞）單調(diào)遞增，而 g（0）=0，故 ex≥x+1.

當(dāng)時(shí)0＜x＜1，f（x）＞（1-x）（1+x）2，（1-x）（1+x）2-ax-1=x（1-a-x-x2），

綜上所述，a的取值范圍是［1，+∞）.

評注 標(biāo)準(zhǔn)答案采用分類討論和舉反例的方法.先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而研究不等式恒成立，分三種情況討論：①a≥1；②0＜a＜1；③a≤0，其間又用了舉反例的方法，這種方法過于繁雜，學(xué)生不易想到.而且這類問題根據(jù)題型不同所涉及的解法也不相同，這是高中教學(xué)的難點(diǎn)，即便通過訓(xùn)練也很難提升.

筆者通過對該問題的探析，結(jié)合學(xué)生的思維模式，給出了以下四種行之有效的解法.

3.拓展解法

解法1 分離參數(shù)法

解當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，即αx≥（1-x2）ex-1（*）對?x≥0恒成立.

①當(dāng)x=0時(shí)，（*）顯然恒成立，此時(shí)a∈R.

則g′（x）與h（x）同號.

而h′（x）=-xex（x2+4x+1）＜0，所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

所以 h（x）＜h（0）=0.

所以g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減,由洛必達(dá)法則有

即當(dāng) x→0 時(shí)，g（x）→1，即當(dāng) x＞0 時(shí)，g（x）＜1.

因?yàn)?a≥g（x）恒成立，所以 a≥1.

因?yàn)椋?）式對?x≥0恒成立，所以由①②得a≥1.

評注 將該問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生普遍習(xí)慣采用的分離參數(shù)法，重新構(gòu)造不含參的函數(shù)，再利用“洛必達(dá)法則”求解未定式的極限，該問題便迎刃而解.

解法2 二次求導(dǎo)法

解當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，即（1-x2）ex-ax-1≤0對?x≥0恒成立.

令g（x）=（1-x2）ex-ax-1，則g′（x）=ex（-x2-2x+1）-a

而g″（x）=ex（-x2-4x-1）＜0，即g′（x）在［0，+∞）是減函數(shù)，所以g′（x）≤g′（0）=1-a.

當(dāng) 1-a≤0 時(shí)，即 a≥1 時(shí)，g′（x）≤0，此時(shí) g（x）在［0，+∞）是減函數(shù)，

所以 g（x）≤g（0）=0，故 a≥1.

評注 構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)二次求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的性質(zhì)，不失為解決導(dǎo)數(shù)壓軸題的良策.

解法3 數(shù)形結(jié)合法

解令g（x）=（1-x2）ex-ax-1，則g′（x）=ex（-x2-2x+1）-a.

因?yàn)間（0）=0，所以一定?x0＞0，使得x∈［0，x0）時(shí)，g′（x）≤0，

即使得g（x）在［0，x0）單調(diào)遞減，即g′（0）=a-1≤0，得a≥1.

評注 對函數(shù)進(jìn)行圖像分析也即數(shù)形結(jié)合，利用圖像的直觀性分析去解決問題，從而得到解題的思路和方法.

解法4 巧用結(jié)論法

解 由人教A版教材選修1-1第99頁B組習(xí)題“利用函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式，ex＞x+1，x≠0”，可得 ex≥x+1，將 x 代換為-x，則（1-x）ex≤1.

而f（x）=（1-x2）ex=（1+x）（1-x）ex≤x+1，又當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，故 a≥1.

評注 課本是知識和方法的重要載體，也是高考命題的主要來源，本試題充分體現(xiàn)了“源于教材而又高于教材”的高考命題原則.

4.教學(xué)啟示

高考作為選拔性考試，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，試題往往靈活多樣，作為一線教師，教學(xué)時(shí)通過對一些典型試題的探析，將它轉(zhuǎn)化為教學(xué)的素材，優(yōu)化教學(xué)過程，提高課堂教學(xué)的時(shí)效性；同時(shí)通過典型試題從專業(yè)知識的廣度和深度上拓展充實(shí)自我，從觀念、理念的更新上豐富自我，不斷提升自己的教學(xué)素養(yǎng).