幾種堆石料雙曲線模型參數(shù)整理方法的比較

侯偉亞，張兆省，張幸幸，皇甫澤華，鄧 剛，溫彥鋒

(1.中國水利水電科學研究院流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國家重點實驗室，北京 100048；2.河南省前坪水庫建設管理局，河南 鄭州 450003)

0 引 言

雙曲線模型是土石壩應力變形分析中應用較廣的一類本構模型。1963年，康德等[1]提出用雙曲線擬合土體常規(guī)三軸試驗中偏差應力和軸向應變的關系，即

(1)

式中，a、b為試驗常數(shù)；(σ1-σ3)為偏差應力；εa為軸向應變。

鄧肯等[2-3]在此雙曲線關系的基礎上提出了目前廣泛應用的鄧肯-張E-v及鄧肯E-B增量彈性模型。沈珠江等[4]建議的雙屈服面模型中，仍建議用雙曲線來擬合常規(guī)三軸試驗條件下的(σ1-σ3)～εa關系。高蓮士等[5]建議在非線性解耦K-G模型中，假定常規(guī)三軸剪切試驗中應力比與剪應變之間存在雙曲線關系。以上幾種本構模型可統(tǒng)稱為雙曲線模型。雙曲線模型的顯著優(yōu)點是參數(shù)可以通過常規(guī)三軸試驗測定，物理意義明確，易于接受，因而在國內(nèi)外土石壩的靜力變形分析中得到廣泛采用[6]。

合理確定本構模型參數(shù)對土石壩應力變形分析結(jié)果的合理性有著至關重要的影響[7]，許多研究[8-11]都圍繞合理確定土石壩筑壩材料的本構模型參數(shù)展開。在土石壩工程實踐中，常用的雙曲線模型參數(shù)a、b的整理方法主要有兩種：一種是直線擬合法，將縱坐標軸變換為εa/(σ1-σ3)，對εa/(σ1-σ3)～εa的試驗點據(jù)進行直線擬合，可得b為直線的斜率，a為直線的截距；另一種是鄧肯等[2]提出的兩點法，在εa/(σ1-σ3)～εa坐標系中，過偏差應力為70%和95%抗剪強度的數(shù)據(jù)點做直線，該直線的截距、斜率分別為a、b。SL237—1999《土工試驗規(guī)程》[12]中建議用后一種方法來推求鄧肯E-B模型的參數(shù)；DLT 5355—2006《水電水利工程土工試驗規(guī)程》[13]則未對上述兩種方法做傾向性規(guī)定。在實踐中，對于同一種土石壩筑壩材料，這兩種方法求得的雙曲線模型參數(shù)通常是不同的；國內(nèi)一些研究者對兩種方法進行了比較，對于不同類型的土往往得出不同的結(jié)論[14-15]。還有一些研究者提出了新的參數(shù)整理方法，如朱俊高等[8]、陳力宏等[16]建議對一組三軸試驗結(jié)果進行反演，這一方法實際應用難度較高，由于反演策略的不同有時難以求得唯一解，同時，反演得到的參數(shù)只代表數(shù)值上的最優(yōu)解，并不一定符合其物理意義[17-18]；劉大康等[19]認為，堆石壩工程中堆石體的實際應變是比較小的，在整理參數(shù)時應該更加注重對小應變數(shù)據(jù)點的擬合，提出將鄧肯的兩點法中，過偏差應力為70%和95%抗剪強度對應的數(shù)據(jù)點，改為過偏差應力為50%和70%抗剪強度對應的數(shù)據(jù)點來做直線。

圖1 典型堆石料的三軸試驗結(jié)果

筆者認為，直線擬合法或兩點法是限于過去的計算條件、從簡便的角度出發(fā)提出的，在計算機技術已經(jīng)非常發(fā)達的今天，完全可以采用曲線擬合法，借助有關軟件直接對試驗點據(jù)進行曲線擬合來獲取雙曲線模型參數(shù)的最優(yōu)解，該方法更為便捷。

本文以鄧肯模型為例，采用4種方法(直線擬合法，鄧肯等建議的兩點法，劉大康等建議的兩點法，曲線擬合法)分別整理幾種典型堆石料的鄧肯-張模型參數(shù)K、n、Rf，并比較采用不同參數(shù)整理方法時模型預測結(jié)果與試驗結(jié)果的誤差。在此基礎上，探討不同雙曲線模型參數(shù)整理方法優(yōu)缺點和適應性。

1 分析過程簡述

1.1 典型堆石料的試驗曲線和強度參數(shù)

本文對文獻[19-21]中4座典型土石壩工程中壩殼料的典型試驗結(jié)果(如圖1所示)進行分析，其中茨哈峽、Salma和長河壩均為爆破堆石料的試驗結(jié)果，Renuka壩為砂礫石料的試驗結(jié)果。

堆石料和砂礫石料的抗剪強度均可用Leps等[22]建議的公式進行描述，即

φ=φ0-Δφ(σ3/pa)

(2)

式中，φ為圍壓為σ3時的內(nèi)摩擦角；pa為標準大氣壓；σ3為圍壓；φ0和Δφ為非線性強度指標。

4種堆石料的強度指標列于表1。已知強度指標，則可以求得任意圍壓下σ3的抗剪強度。即

(3)

式中,(σ1-σ3)f、σ3為圍壓；φ為圍壓為σ3時的內(nèi)摩擦角。

表1 4種堆石料的強度指標

1.2 模型參數(shù)的確定

對圖1所示的4組試驗數(shù)據(jù)分別通過下述4種方法來整理試驗常數(shù)a、b。

(1)直線擬合法。將所有試驗數(shù)據(jù)點繪在εa/(σ1-σ3)～εa坐標系中，通過Excel軟件進行直線擬合，通過Slope函數(shù)求取斜率b，通過Intercept函數(shù)求取截距a。

(2)鄧肯的兩點法。在試驗數(shù)據(jù)系列中，選取偏差應力最接近70%(σ1-σ3)f和95%(σ1-σ3)f的兩個試驗點據(jù)，過這兩點做直線，直線的截距為a，斜率為b。

(3)劉大康的兩點法。在試驗數(shù)據(jù)系列中，選取偏差應力最接近50%(σ1-σ3)f和70%(σ1-σ3)f的兩個試驗點據(jù)，過這兩點做直線，直線的截距為a，斜率為b。

(4)曲線擬合法。在(σ1-σ3)～εa坐標系中，通過Origin軟件進行雙曲線的曲線擬合，直接確定參數(shù)a、b。

求得不同圍壓下的試驗常數(shù)a、b后，根據(jù)鄧肯等建議，通過式(4)、(5)求取不同圍壓下的初始剪切模量Ei和應力比Rf。即

Ei=1/a

(4)

Rf=b(σ1-σ3)f

(5)

取各個圍壓下平均的Rf作為該土料的Rf；將不同圍壓下的Ei/pa和σ3/pa繪制在雙對數(shù)坐標中進行直線擬合，可以得到直線的斜率對應參數(shù)n，截距對應參數(shù)K。至此，可以求得鄧肯模型的3個重要參數(shù)K、n和Rf。

對于本文提到的4種典型堆石料的試驗結(jié)果，通過4種不同的方法整理參數(shù)a、b，進一步求得鄧肯模型的參數(shù)K、n和Rf，結(jié)果列于表2，可知不同的參數(shù)整理方法對求得的參數(shù)值有顯著影響，對于茨哈峽下游堆石料，不同參數(shù)整理方法得到的參數(shù)K可相差60%以上，n可相差超過100%，Rf的差異稍小，但也接近20%。

表2 不同方法整理得到的K、n和Rf

1.3 誤差分析

求得鄧肯模型參數(shù)K、n和Rf，可以推算任意圍壓σ3下堆石料的偏差應力-軸向應變關系曲線，即

(6)

一般情況下，模型表現(xiàn)與試驗不可能完全一致，式(6)推算的曲線與試驗曲線不可避免的存在一定的偏差。圖2給出了采用不同參數(shù)整理方法時，茨哈峽下游堆石料試驗點據(jù)與計算應力應變曲線的對比情況。

為了評價模型推求結(jié)果與試驗結(jié)果之間偏差，定義如下的誤差函數(shù)

(7)

為了便于分析，將表2所列幾種堆石料不同方法求取參數(shù)對應的誤差函數(shù)F以折線圖的形式繪制在圖3和圖4中。由于Renuka砂礫石料的誤差函數(shù)整體上比堆石料要小一個數(shù)量級左右，為了便于觀察，將Renuka砂礫石料和其他3種堆石料分開繪制。圖3是考慮所有試驗點據(jù)的條件下，模型推求結(jié)果與試驗結(jié)果之間的誤差函數(shù)值。大量的計算分析結(jié)果表明，堆石壩壩殼的壓縮應變很少超過5%，因此圖4繪制了只考慮軸向應變小于5%的試驗點據(jù)時的誤差函數(shù)F。

圖2 茨哈峽下游堆石料試驗和計算應力-應變關系對比

圖3 誤差函數(shù)F與參數(shù)整理方法的關系(所有試驗點據(jù))

圖4 誤差函數(shù)F與參數(shù)整理方法的關系(應變小于5%時)

從圖3可以看到，4種材料采用曲線擬合法及鄧肯的兩點法推求參數(shù)的誤差函數(shù)值F最??；采用劉大康的兩點法推求參數(shù)的誤差函數(shù)值F最大。從圖4可知，僅考慮軸向應變小于5%的試驗點數(shù)據(jù)時，對不同材料，參數(shù)整理方法對誤差的影響規(guī)律不甚一致。對茨哈峽，鄧肯的兩點法和劉大康的兩點法求得參數(shù)的誤差函數(shù)值F明顯大于直線擬合法和曲線擬合法，對Renuka砂礫石料，采用直線擬合法和劉大康的兩點法整理參數(shù)的誤差稍大。綜合來看，采用曲線擬合法整理參數(shù)的誤差較小。

2 討 論

2.1 模型預測與試驗數(shù)據(jù)之間誤差的來源

本文中誤差函數(shù)F表征了模型預測曲線與試驗點據(jù)之間的偏差，這與一般曲線擬合誤差的含義不同，實際上包含了兩個層面的誤差。一是整理試驗常數(shù)a、b的過程產(chǎn)生的誤差，由于曲線擬合本身就是求使得單條曲線誤差函數(shù)F最小的參數(shù)，從理論上即可直接推斷“曲線擬合法”的誤差最?。欢峭ㄟ^a、b求鄧肯模型參數(shù)K、n和Rf的過程產(chǎn)生的誤差。一般而言，不同圍壓下求得的Rf并不一致，只能取平均值作為材料的Rf，lg(Ei/pa)和lg(σ3/pa)通常也并不嚴格地符合直線關系，只能通過直線擬合求得K和n，這一過程會產(chǎn)生新的誤差。圖5以茨哈峽下游堆石料為例，反映了這一現(xiàn)象。理論上，第二個層面的誤差與參數(shù)整理方法沒有直接聯(lián)系。在整理本文所述幾種堆石料的參數(shù)時發(fā)現(xiàn)，對于茨哈峽下游堆石料，采用兩點法整理參數(shù)時，不同圍壓下確定的Rf差異較大，lg(Ei/pa)和lg(σ3/pa)的關系偏離直線關系也較明顯(如圖5和圖6所示)；對于其他3種堆石料，4種整理方法在第二個層面的誤差上沒有顯著差別。

圖5 茨哈峽下游堆石料Rf與 σ3和參數(shù)整理方法的關系

圖6 茨哈峽下游堆石料lg(Ei/pa)與lg(σ3/pa)和參數(shù)整理方法的關系

2.2 直線擬合法和兩點法的對比

在求取堆石料雙曲線模型參數(shù)的實踐中，小應變條件下εa/(σ1-σ3)～εa點據(jù)偏離直線段，是一種比較常見的現(xiàn)象，此時，如果對所有的數(shù)據(jù)點進行直線擬合，則擬合直線受起始段數(shù)據(jù)點的影響較大，偏離試驗曲線的直線段。因此，鄧肯等建議采用偏差應力為70%(σ1-σ3)f和95%(σ1-σ3)f的兩個試驗點據(jù)的連線來代替擬合直線，該方法能較好的回避試驗曲線起始段偏離直線段的問題。一些研究者提出改變這兩個點的位置，取偏差應力更小的數(shù)據(jù)點(如偏差應力為抗剪強度的50%和70%)來做直線，以期提高對小應變條件下應力應變關系的擬合精度。從本文的誤差分析結(jié)果來看，這種方法收效不佳。圖7以Salma堆石料為例做出說明。對于0.4 MPa圍壓下的試驗點據(jù)，由于起始段偏差較明顯，擬合直線偏離試驗曲線的直線段；偏差應力為70%(σ1-σ3)f和95%(σ1-σ3)f的兩個試驗點據(jù)的連線與試驗曲線的直線段符合較好；偏差應力為50%(σ1-σ3)f和70%(σ1-σ3)f的兩個試驗點據(jù)恰好跨越試驗曲線的拐點，過這兩點的直線與試驗曲線有較大程度的偏離。

圖7 Salma堆石料的參數(shù)整理方法對比

2.3 曲線擬合法的優(yōu)勢

對本文討論的4種堆石料而言，采用鄧肯等建議的兩點法或者曲線擬合法整理雙曲線模型參數(shù)，均可使鄧肯模型的預測值與試驗值的誤差較小。但對一些特殊問題，曲線擬合的靈活性更強。

圖8 九甸峽墊層料的三軸試驗結(jié)果和參數(shù)整理方法對比

圖8給出了一種細堆石料(九甸峽面板堆石壩墊層料)的一組三軸試驗結(jié)果，在εa/(σ1-σ3)～εa坐標系中部分試驗右端上翹的趨勢。對于這種情況，如果對所有數(shù)據(jù)點進行直線擬合，則可能會出現(xiàn)截距(初始模量的倒數(shù))為負的情況；如果僅對偏差應力峰值以前的數(shù)據(jù)點進行直線擬合或采用兩點法，則會出現(xiàn)不同圍壓下擬合直線截距非常接近(此時n≈0，即材料幾乎沒有壓硬性)、擬合直線偏離大部分試驗數(shù)據(jù)點的情況。無論哪種情況，均與鄧肯模型參數(shù)的物理意義不甚相符。曲線擬合可以根據(jù)需要，僅對峰值以前的數(shù)據(jù)點擬合(圖8c)或者對整條試驗曲線進行擬合(圖8d)。結(jié)合一些研究者的建議，模型參數(shù)確定應更注重對小應變下堆石料的應力應變數(shù)據(jù)的擬合，也可采用曲線擬合法來處理，自定義擬合數(shù)據(jù)點的范圍。

3 結(jié) 論

本文對雙曲線模型參數(shù)整理方法進行了探討。結(jié)合4種典型堆石料的三軸試驗結(jié)果，比較了采用4種不同的參數(shù)整理方法時，模型預測結(jié)果與試驗結(jié)果之間的誤差。在此基礎上，對不同參數(shù)整理方法的優(yōu)缺點進行了分析，得到主要結(jié)論如下：

(1)對于對應力-應變規(guī)律與雙曲線符合較好的堆石料而言，采用鄧肯的兩點法或曲線擬合法都可使鄧肯模型預測結(jié)果與試驗結(jié)果之間的誤差較??；采用直線擬合法或劉大康的兩點法時，參數(shù)整理結(jié)果易受到試驗曲線起始段偏離直線關系的影響，導致模型預測結(jié)果與試驗結(jié)果之間的誤差較大。

(2)僅從堆石料模型預測和試驗結(jié)果的誤差而言，鄧肯的兩點法和曲線擬合法都可以較好的控制誤差，但曲線擬合方法具有更好的適應性和靈活性，對于一些特殊情況，傳統(tǒng)方法受到較大限制時，曲線擬合也可較好地解決問題。