“幾何概型”的教學(xué)設(shè)計(jì)*

王 佩 趙思林

內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641112) 四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 (610068)

“幾何概型”既是教學(xué)的重點(diǎn)，又是教學(xué)的難點(diǎn)．在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)之前認(rèn)真研讀了教材和相關(guān)期刊論文，以“幾何概型”教學(xué)已有研究成果作為教學(xué)設(shè)計(jì)的理論依據(jù)，對“幾何概型”的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)難點(diǎn)、教學(xué)內(nèi)容安排順序等作了分析，對教材的加工與處理作了說明．下面是對“幾何概型”的教學(xué)設(shè)計(jì)．

一、教材分析

(一)教學(xué)內(nèi)容與重要性分析

“幾何概型”是人教A版數(shù)學(xué)3(必修)第三章“概率”第三節(jié)的內(nèi)容，安排在“隨機(jī)事件的概率”和“古典概型”之后，其上位知識為概率的統(tǒng)計(jì)定義和等可能事件定義，下位知識為運(yùn)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)估計(jì)幾何概型的概率等內(nèi)容．“幾何概型”是新課程新增加的內(nèi)容之一，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將其定位為：信息化的現(xiàn)代社會(huì)“統(tǒng)計(jì)和概率的基礎(chǔ)知識已經(jīng)成為一個(gè)未來公民的必備常識”[1]．“幾何概型”在概率論中占有重要的地位，它將古典概型中等可能事件數(shù)量從有限推廣到了無限，更廣泛地滿足隨機(jī)模擬的需要，進(jìn)一步完善了人類對概率模型的認(rèn)識[2]．

(二)教學(xué)難點(diǎn)分析

“幾何概型”的特點(diǎn)(特征)指的是幾何概型所特有的性質(zhì)，是其區(qū)別于其他概型的關(guān)鍵．因此不能僅把等可能性與無限性作為幾何概型的特征，還應(yīng)加上連續(xù)性．舉一個(gè)典型的反例[3]：在全體實(shí)數(shù)中取一個(gè)數(shù)，求取到有理數(shù)的概率．這個(gè)試驗(yàn)中的基本事件是等可能的，有無數(shù)個(gè)，滿足幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn)，但是不能用幾何概型來解決．究其原因是忽略了幾何概型中，基本事件之間應(yīng)具有連續(xù)性．由于實(shí)數(shù)集R具有稠密性，即兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一個(gè)實(shí)數(shù)，既有有理數(shù)，也有無理數(shù)．而有理數(shù)集也具有稠密性，即兩個(gè)不相等的有理數(shù)之間有無窮多個(gè)有理數(shù)和無理數(shù)．因此，基本事件之間，即取出的無窮多個(gè)有理數(shù)之間，必然含有無理數(shù)，故不具有連續(xù)性．順便說明，連續(xù)性這一特征，在高中學(xué)生初步體會(huì)幾何概型時(shí)，勿需操之過急向?qū)W生介紹，因?yàn)檫B續(xù)的嚴(yán)格定義現(xiàn)行教材不作要求．

(三)內(nèi)容安排順序分析

“幾何概型”在人教A版數(shù)學(xué)3(必修)中，教學(xué)內(nèi)容安排的順序如下：復(fù)習(xí)兩種計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率的方法(一是實(shí)驗(yàn)法；二是古典概型法)→引入現(xiàn)實(shí)生活中可能出現(xiàn)無限多個(gè)結(jié)果的具體實(shí)例：如一個(gè)人到單位的時(shí)間可能是某時(shí)間段的任何一個(gè)時(shí)刻；往一個(gè)方格中投一個(gè)石子，石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)上→通過轉(zhuǎn)盤游戲，從古典概型中扇形區(qū)域B所占塊數(shù)，向扇形區(qū)域B圓弧長度過渡→抽象概括幾何概型概念及概率計(jì)算公式→例題：某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率．

筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)，本著簡化問題，簡化思維，簡化研究的理念，欲充分體現(xiàn)幾何概型的本質(zhì)、核心，在準(zhǔn)確理解教材編寫意圖的情況下，補(bǔ)充、調(diào)整教材內(nèi)容．如下：復(fù)習(xí)古典概型的基本特點(diǎn)和計(jì)算公式→問題引入：當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件有無限多個(gè)時(shí)，如果概率存在，能否用古典概型來計(jì)算事件發(fā)生的概率？→通過多角度分析轉(zhuǎn)盤游戲引入新知，從古典概型中扇形區(qū)域B所占塊數(shù)，到扇形區(qū)域B所占面積，再到扇形區(qū)域B所占圓弧長度→抽象概括幾何概型概念及概率計(jì)算公式→概率計(jì)算公式數(shù)學(xué)化、符號化→范例與練習(xí)：在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10ml，求含麥銹病種子的概率[4]．

二、對教材加工與處理的說明

(一)更換教材引入的說明

教材引入：“一個(gè)人到單位的時(shí)間可能是某時(shí)間段的任何一個(gè)時(shí)刻；往一個(gè)方格中投一個(gè)石子，石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)上．”[5]雖然這兩例均來自于具體的生活情境，能讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的密切關(guān)聯(lián)，且學(xué)生容易獲得“基本事件有無限個(gè)”的感性認(rèn)識，但這會(huì)增加學(xué)生對“背景知識”加工的“組塊”量，如為理解“任何一個(gè)時(shí)刻”的無限性，需事先了解或課上補(bǔ)充，比秒更小的時(shí)間單位有：毫秒、微秒、納米秒、皮秒、飛秒、阿托秒等．因此，筆者決定，以簡單、直接的數(shù)學(xué)問題：“當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件有無限多個(gè)時(shí)，如果概率存在，能否用古典概型來計(jì)算事件發(fā)生的概率？”引入新課．

(二)多角度分析轉(zhuǎn)盤的說明

將教材對于轉(zhuǎn)盤游戲的分析為“塊數(shù)——長度”，補(bǔ)充、調(diào)整為“塊數(shù)——面積——長度”．這樣調(diào)整的原因有三：一是解決如何在實(shí)際背景中確定事件幾何區(qū)域的困惑；二是重點(diǎn)突出有限到無限的思維過渡；三是通過扇形面積與圓弧長度的一一對應(yīng)，更自然地實(shí)現(xiàn)“面積——長度”的過渡，避免直接從塊數(shù)到“塊數(shù)——長度”的突然性．

(三)更換例題的說明

由于在分析轉(zhuǎn)盤游戲時(shí)，已經(jīng)討論過當(dāng)基本事件構(gòu)成的幾何區(qū)域?yàn)槊娣e和長度的情況，因此想通過再討論“體積”，使學(xué)生全面感悟怎樣構(gòu)造適當(dāng)?shù)膸缀螆D形．而教材中的例1仍是“長度”，故將其更換為來自蘇教版數(shù)學(xué)3(必修)中“體積”的例題．

三、“幾何概型”教學(xué)過程設(shè)計(jì)

(一)復(fù)習(xí)舊知

思考請同學(xué)們回憶古典概型的基本特點(diǎn)和計(jì)算公式．

基本特點(diǎn)：1. 試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；2. 每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．簡言之，古典概型中基本事件的兩個(gè)特點(diǎn)，分別為有限性和等可能性．

設(shè)計(jì)意圖:利用古典概型與即將學(xué)習(xí)的幾何概型之間的內(nèi)在聯(lián)系，特別是蘊(yùn)涵在古典概型中的數(shù)學(xué)思想方法，啟發(fā)和引導(dǎo)同學(xué)們學(xué)習(xí)類比、推廣、特殊化、化歸等數(shù)學(xué)思考的常用邏輯方法．

問題1 當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件有無限多個(gè)時(shí)，如果概率存在，能否用古典概型來計(jì)算事件發(fā)生的概率？

設(shè)計(jì)意圖:不能，因?yàn)橐巡环瞎诺涓判椭杏邢扌缘臈l件，那到底該如何計(jì)算，據(jù)此引出新知——幾何概型．學(xué)習(xí)始于疑問，通過適當(dāng)?shù)膯栴}，引出需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更主動(dòng)、更生動(dòng)、更富探索性．

(二)探究新知

1.問題情境

如圖1，圖中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲．規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝．在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少[5]?

圖1

思考方法一：有限—古典概型

分析1:將指針指向某個(gè)扇形區(qū)域，作為基本事件，從圖中觀察到扇形區(qū)域的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，這符合古典概型的有限性，據(jù)此聯(lián)想考察基本事件是否具有等可能性這一特點(diǎn)，若不具有，則需要構(gòu)造等可能事件，反之，直接使用古典概型概率計(jì)算公式即可．

圖2 圖3

設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生從已學(xué)過的古典概型，找到解決問題的靈感，如通過從未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識向舊知識轉(zhuǎn)化等化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，尋求學(xué)習(xí)新知識幾何概型最經(jīng)濟(jì)的思維路徑；通過彌補(bǔ)教材中問題情境的小瑕疵，即說明轉(zhuǎn)盤(2)中5個(gè)扇形區(qū)域的面積相等，使學(xué)生明確數(shù)學(xué)是不存在絲毫的含糊，數(shù)學(xué)中每一步演繹推理都應(yīng)是合情合理的．

思考方法二：無限—面積

點(diǎn)是幾何中最基本的組成部分，線是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)連接而成的，面是由無數(shù)條線組成的．因此面也是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)形成的．

分析2:將指針指向扇形區(qū)域上的某個(gè)點(diǎn)，作為基本事件，由于扇形區(qū)域上的點(diǎn)有無限多個(gè)，因此有無限多個(gè)基本事件，此時(shí)顯然已不能用古典概型計(jì)算甲獲勝的概率．但是仍有和古典概型相同的地方，即指針指向扇形區(qū)域上的每個(gè)點(diǎn)的可能性相等．

問題2:如果要求甲獲勝的概率，這個(gè)概率會(huì)和什么有關(guān)？

設(shè)計(jì)意圖:突出從有限思維到無限思維的過渡；甲獲勝的概率與扇形區(qū)域B所在的總面積有關(guān)，并且使學(xué)生感知換一個(gè)角度分析與探究問題后，它與古典概型的區(qū)別與聯(lián)系．

圖4 圖5

思考方法三：無限—長度

問題3:能否由扇形區(qū)域面積變成相對應(yīng)的圓弧的長度？

分析3:將指針指向扇形區(qū)域?qū)?yīng)圓弧上的某個(gè)點(diǎn)，作為基本事件．因?yàn)榍€圓弧上有無窮多個(gè)點(diǎn)，且指針指向圓弧上的每個(gè)點(diǎn)等可能，所以基本事件有無限多個(gè)，且等可能．

圖6 圖7

設(shè)計(jì)意圖:對于同一個(gè)問題從三種不同角度，進(jìn)行分析與探究，不僅培養(yǎng)了學(xué)生思維的發(fā)散性、選擇性、靈活性，而且還讓學(xué)生認(rèn)知甲獲勝的概率與字母B所在區(qū)域的位置無關(guān)，只要字母B所在扇形區(qū)域的面積(或圓弧的長度)不變這一本質(zhì)，不管這些區(qū)域是相鄰，還是不相鄰，甲獲勝的概率都是不變的．

2.幾何概型

文字定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．

在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式如下：

符號化定義：公式中的d、D并非肆意選取，而是引用自蘇教版數(shù)學(xué)3(必修)[4]．

設(shè)計(jì)意圖:(1)通過多角度地分析轉(zhuǎn)盤游戲，感悟其中蘊(yùn)含的等可能事件從有限向無限的延伸，經(jīng)歷不斷的從具體到抽象、從特殊到一般的抽象概括活動(dòng)來理解和掌握幾何概型；(2)數(shù)學(xué)符號是人們進(jìn)行數(shù)學(xué)的表示、運(yùn)算、推理和解決問題的工具，具有簡約思維、提高效率、便于交流的功能[6]．在符號意識培養(yǎng)過程中，還需根據(jù)不同學(xué)段的內(nèi)容和要求作進(jìn)一步的細(xì)化說明．故在本教學(xué)設(shè)計(jì)中，將幾何概型概率的計(jì)算公式用特定符號精煉表達(dá)，使其組塊占據(jù)記憶空間少且易于提?。?/p>

(三)范例與練習(xí)

試一試:在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10ml，含麥銹病種子的概率是多少[4]?

設(shè)計(jì)意圖:學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用，通過為學(xué)生提供應(yīng)用幾何概型，解決當(dāng)構(gòu)成事件的區(qū)域?yàn)轶w積的問題，以使同學(xué)們認(rèn)識數(shù)學(xué)知識與實(shí)際的聯(lián)系，并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)知識和方法解決一些實(shí)際問題．

(四)回顧小結(jié)

1.知識結(jié)構(gòu)圖

在知識小結(jié)環(huán)節(jié)，筆者采用李善良[7]的知識結(jié)構(gòu)圖．

2.數(shù)學(xué)思想的提煉

本節(jié)課用了符號化思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、整體思想、模型思想等數(shù)學(xué)思想．

3.反思

反思本節(jié)課還有哪些地方?jīng)]有學(xué)好、沒有學(xué)會(huì)？能提出想進(jìn)一步研究的問題嗎？

設(shè)計(jì)意圖:對知識的脈絡(luò)進(jìn)行整理、加工，構(gòu)造、整理出知識結(jié)構(gòu)圖，可以幫助學(xué)生直觀地掌握方法，勝過許多文字[7]；弗萊登塔爾說：反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力，通過自我提問、反思，使課堂具有反思性和生長性等特點(diǎn)．

(五)課后作業(yè)

1.復(fù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容；

2.作業(yè)：第142頁，習(xí)題A組1，2，3題；

3. 思考題：舉例說明幾何概型中概率為0的事件不是不可能事件，概率為1的事件不是必然事件；

4.預(yù)習(xí)：均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生．

設(shè)計(jì)意圖:及時(shí)復(fù)習(xí)所學(xué)，使其融匯貫通；必要練習(xí)，加深對概念本質(zhì)的理解；思考題是利用本課所學(xué)的幾何概型作為生長點(diǎn)，提出進(jìn)一步研究的問題；預(yù)習(xí)有助于提升教學(xué)質(zhì)量，如果學(xué)生通過預(yù)習(xí)具備了一定的知識基礎(chǔ)，教學(xué)的效率和效益都能夠得到提升，且課堂聽課環(huán)節(jié)更具有針對性．

四、教學(xué)設(shè)計(jì)后的感想

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)是在應(yīng)用一些學(xué)科專家的研究成果和自己的思考下完成的，真感文獻(xiàn)學(xué)習(xí)重要(可以少走彎路，理論指導(dǎo)實(shí)踐)，真感教材研究重要，真感教學(xué)設(shè)計(jì)不易．

[1] 中華人民共和國教育部． 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)) [M]．北京：人民教育出版社，2003．

[2] 葉立軍，王曉楠．中美高中數(shù)學(xué)教材比較研究—以“幾何概型”為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，(2)：49-52．

[3] 孫福明．“幾何概型”教學(xué)必須關(guān)注的三個(gè)問題[J]．教育研究與評論(中學(xué)教育教學(xué)版)，2011，(10)：77-80．(注：人大復(fù)印全文轉(zhuǎn)載)

[4] 單墫，李善良，等． 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)3(必修) [M]．江蘇：鳳凰出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán)，2012：106-110．

[5] 張淑梅，劉紹學(xué)，等．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)3(必修)(A版) [M]．北京：人民教育出版社，2007：135-136．

[6] 唐乃明．淺談如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號意識[J]．小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2015，(12)：38-39．(注：人大復(fù)印全文轉(zhuǎn)載)

[7] 李善良．高中數(shù)學(xué)課堂小結(jié)的現(xiàn)狀分析[J]．課程·教材·教法，2015，(2)：63-68. (注：人大復(fù)印全文轉(zhuǎn)載)