非典型幾何問題的兩種求解方法

李五明，劉桂仙

（河南理工大學 數(shù)學與信息科學學院，河南 焦作 454000）

引言

柱面方程的求解是高等院校數(shù)學類專業(yè)核心課程《解析幾何》中一個很重要的內(nèi)容。按照呂林根、許子道所編教材[1]，欲求一個柱面的方程，只需要知道準線的方程以及母線的方向數(shù)，根據(jù)“消參數(shù)法”，即可得到柱面的方程。圓柱面作為一種特殊的柱面，由于其特殊的性質(zhì)，在求解其方程時，如果不知道其準線方程，可以不按照常上述規(guī)方法進行求解；同時也可以根據(jù)已知條件求出其準線方程，再按照“消參數(shù)法”求解。很多學生對教材[1]147頁第3題圓柱面方程的求解非常困惑，主要是因為題設(shè)條件并沒有給出圓柱面準線的方程，按照常規(guī)方法表面上看好像無法求解。文章針對這個非典型幾何問題，同時考慮到圓柱面的特殊性質(zhì)，給出其兩種求解方法。

1 圓柱面方程的兩種求解方法

原題如下：

求過三條平行直線 x=y=z，x+1=y=z-1與x-1=y+1=z-2的圓柱面的方程。

解：方法一（非常規(guī)方法）：因為圓柱面是三維空間中到軸線距離相等的點的集合，故可根據(jù)已知條件求出軸線的方程，進而求出圓柱面方程。設(shè)P（x，y，z）為軸上任意一點，則P到三條母線的距離相等，分別設(shè)為 d1，d2，d3，即有：

由點到直線的距離相等可得：

將式（1）（2）（3）代入式（4）化簡后即為

即為圓柱面軸上的點所滿足的方程（軸線方程），化為標準方程即為

化簡整理得

即為所求圓柱面的方程。

方法二（常規(guī)方法）：根據(jù)教材[1]，欲求柱面方程，需要知道其一個準線方程。圓柱面的準線有很多，但是在這里我們考慮求其中與母線垂直的一個準線方程，從幾何上來說，該準線是一個圓，我們用一個球面和一個平面的交線來表示這個圓。已知圓柱面的一條母線為 x=y=z，其過原點（0，0，0）且母線的方向數(shù)為1，1，1；容易得到過原點且與母線x=y=z垂直的平面方程為：

該平面與母線x+1=y=z-1與x-1=y+1=z-2的交點分別為（-1，0，1）和。容易知道，點（1，0，0）與點（0，0，0），（-1，0，1），不共面，所以過這四點存在一個球面，設(shè)這個球面的方程（經(jīng)過原點）為

從而圓柱面的一個準線方程為

而母線的方向數(shù)1，1，1為已知。設(shè)M1（x1，y1，z1）為準線上任意一點，則過點M1的母線為

將式（22）代入式（19）和（20）得

由式（24）得到

將式（25）代入式（23），整理化簡即得圓柱面方程（10）。

應(yīng)當注意，對于方法二，所求的球面方程（16）不是惟一的，也就是說，當我們在決定球面方程時，點（1，0，0）的選擇具有隨機性，只要所選擇的這個點與點（0，0，0），（-1，0，0），不共面，均可作為決定球面方程四個點中的一個，雖然得到的球面方程不同，但并不影響最終的圓柱面方程。特別地，根據(jù)教材[2]，也可以求出平面（11）截圓柱面所得圓的圓心和半徑，進而寫出柱面的準線方程，具體為

根據(jù)上述方法也可以得到柱面方程（10），具體細節(jié)可參考教材[2]。

2 結(jié)束語

柱面方程的求解是解析幾何中的一個重要內(nèi)容，它充分體現(xiàn)了解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題這一數(shù)學思想，具有重要的研究意義。文章針對一個具體的柱面-圓柱面，根據(jù)其特殊的幾何性質(zhì)，采用兩種不同的思想方法求解其方程，對于擴展學生的思維以及理解柱面方程的求解都具有極其重要的意義。