利用表象變換求解非厄米量子系統(tǒng)的能量本征值

高慧芬，周小芳

（長治學(xué)院 電子信息與物理系，山西 長治 046011）

初等量子力學(xué)中，我們的研究對象是本征值為實(shí)數(shù)的厄米系統(tǒng)。但是，本征值為實(shí)數(shù)的量子系統(tǒng)也可能是非厄米的。在非厄米系統(tǒng)中，通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，本征態(tài)可以合并，合并點(diǎn)稱為奇異點(diǎn)。自1966年Kota提出奇異點(diǎn)概念以來，奇異點(diǎn)多次在實(shí)驗(yàn)上被驗(yàn)證和研究。例如，圓柱微波腔[1]、聲學(xué)腔、光學(xué)腔[2][3]和耦合電子電路[4]等，這些系統(tǒng)中都可以觀察到奇異點(diǎn)的存在。通過這些實(shí)驗(yàn)，許多由奇異點(diǎn)的產(chǎn)生而誘導(dǎo)的新奇現(xiàn)象得到了驗(yàn)證與研究，如超材料中的相干完美吸收[5]、損耗導(dǎo)致的復(fù)蘇激光[2]等。

理論上，只要知道描寫非厄米系統(tǒng)的哈密頓量，就可以求出系統(tǒng)的本征值，進(jìn)而判斷系統(tǒng)是否存在奇異點(diǎn)以及奇異點(diǎn)產(chǎn)生的條件。但是對于一個(gè)比較復(fù)雜的系統(tǒng)，只通過本征值而獲得完整的奇異點(diǎn)的條件還是比較困難的。

文章介紹一種利用表象變換求解非厄米量子系統(tǒng)本征值的方法，該方法的優(yōu)點(diǎn)是在求解本征值的同時(shí)，可以從不同的表象中看出奇異點(diǎn)是否存在，從而得到完整的奇異點(diǎn)條件。

1 非厄米系統(tǒng)本征值的計(jì)算

1.1 利用表象變換求解2×2非厄米系統(tǒng)的本征值

由兩個(gè)耦合聲學(xué)微腔A和B構(gòu)成的二能級系統(tǒng)，哈密頓算符H可以寫為：

其中t是耦合系數(shù)，γ0是每個(gè)聲學(xué)微腔的內(nèi)部損耗，γ=γ0+Δγ，Δγ是兩個(gè)微腔相互影響導(dǎo)致的損耗。將H寫成

把H變換到H0表象

從（3）式可以看出，當(dāng) Δγ=0，t=0 時(shí)，H＇11=H＇22，此時(shí)存在奇異點(diǎn)。

為了求出系統(tǒng)存在奇異點(diǎn)的完整條件，將H＇再次對角化為：

由（6）可知，系統(tǒng)的本征值為：

因此，系統(tǒng)奇異點(diǎn)存在的條件為：

1.2 利用表象變換求解4×4非厄米系統(tǒng)的本征值

由兩對耦合聲學(xué)微腔構(gòu)成的四態(tài)系統(tǒng)，哈密頓量寫為：

其中γ=γ0+Δγ，k是兩對聲學(xué)微腔之間的耦合系數(shù)，ω1和ω2是每對聲學(xué)微腔的共振頻率。將H寫成

把H旋轉(zhuǎn)到H0表象：

變換矩陣U1為：

為了求出系統(tǒng)存在奇異點(diǎn)的條件，將H＇再次對角化為：

由（15）可知，系統(tǒng)的本征值為：

因此，系統(tǒng)奇異點(diǎn)存在的條件為：

2 總結(jié)

文章利用表象變換求解了2×2和4×4非厄米量子系統(tǒng)的本征值。在求解過程中，利用量子系統(tǒng)在不同表象中本征值不變的性質(zhì)，在定性理解一些奇異點(diǎn)出現(xiàn)的物理本質(zhì)的同時(shí)，求出了奇異點(diǎn)滿足的完整條件。由于該方法涉及到系統(tǒng)哈密頓量在不同表象中的表示形式，從各種表示形式中可以看出一些奇異點(diǎn)出現(xiàn)的條件，因此，該方法在處理更高階的非厄米量子系統(tǒng)時(shí)，得到的奇異點(diǎn)條件更完整。