基于灰色理論-支持向量機(jī)的Gardner模型參數(shù)的預(yù)報(bào)模型

李浩然，樊貴盛(太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院， 太原 030024)

0 引 言

土壤水分特征曲線是表示土壤水勢(shì)與水分含量之間關(guān)系的曲線，是研究土壤水分保持和運(yùn)動(dòng)所用到的基本特性曲線[1]，對(duì)于推求土壤比水容重、田間持水率、凋萎系數(shù)等水力學(xué)參數(shù)具有重要意義，因此準(zhǔn)確獲取土壤水分特征曲線模型參數(shù)是精確推求上述水力學(xué)參數(shù)的關(guān)鍵。而傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)方法(負(fù)壓計(jì)法、壓力膜儀法、砂形漏斗法等)均存在耗時(shí)費(fèi)力，應(yīng)用范圍受限制等問題。土壤傳輸函數(shù)的發(fā)展為土壤水分特征曲線的獲取提供了機(jī)遇，備受眾多學(xué)者關(guān)注。王歡元[2]等通過不同的土壤傳輸函數(shù)對(duì)土壤水力學(xué)參數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，并且精度較高；朱安寧[3]等通過多元逐步回歸分析的方法建立了VG模型的土壤傳輸函數(shù)模型，并且擬合效果較好；韓勇鴻等[4]利用土壤傳輸函數(shù)，建立了關(guān)于田間持水率的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)報(bào)模型。

在眾多的土壤傳輸函數(shù)方法當(dāng)中，支持向量機(jī)對(duì)于處理小樣本、非線性、高維數(shù)等問題表現(xiàn)出較好的運(yùn)算能力，能有效避免在預(yù)測(cè)中出現(xiàn)“過擬合”和“欠學(xué)習(xí)”，是一種基于核展開，將樣本空間通過非線性映射，映射到高維空間解決樣本空間的非線性分類與回歸問題的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，具有較高的預(yù)測(cè)精度，廣泛運(yùn)用于預(yù)測(cè)方面的研究。鄭立華[5]等利用近紅外光譜與支持向量機(jī)對(duì)有機(jī)質(zhì)含量的支持向量機(jī)預(yù)報(bào)模型；呂燁[6]等運(yùn)用支持向量機(jī)對(duì)微咸水灌溉土壤的EC與pH值的變化規(guī)律進(jìn)行了預(yù)測(cè)研究，預(yù)測(cè)效果較好；雷國(guó)慶[7]等通過支持向量機(jī)對(duì)土壤水分入滲參數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)并取得較高的精度。但將支持向量機(jī)運(yùn)用于土壤水分特征曲線模型參數(shù)的預(yù)測(cè)的文獻(xiàn)還鮮有報(bào)道。

支持向量機(jī)模型的輸入因子是決定預(yù)測(cè)參數(shù)精度的關(guān)鍵條件，目前大多數(shù)研究主要是通過定性分析與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)對(duì)輸入因子進(jìn)行選取?；疑P(guān)聯(lián)理論通過數(shù)學(xué)手段在一定程度上量化界定了輸入、輸出因子之間的關(guān)聯(lián)性，有效保證了輸入因子選擇的科學(xué)性。本文試圖在采用灰色關(guān)聯(lián)理論，分析土壤各基本理化參數(shù)與Gardner模型參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)度的基礎(chǔ)上，科學(xué)選定其輸入因子，建立基于土壤基本理化參數(shù)的支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)土壤水分特征曲線Gardner模型參數(shù)的預(yù)測(cè)。

1 材料與方法

1.1 試驗(yàn)區(qū)土壤條件

試驗(yàn)土壤來源于黃土高原區(qū)山西省中西部耕作農(nóng)田，地貌單元包括平原、丘陵、高原和盆地等。試驗(yàn)區(qū)春季、秋季短，夏季潮濕多雨，冬季寒冷干燥，年溫差大。年平均降水量為350～620 mm，降水主要集中在6-9月份，占總降水量的60%以上；年平均蒸發(fā)量達(dá)750～1 250 mm，蒸發(fā)強(qiáng)度高；土壤類型豐富，主要包括黃褐土、栗鈣土、棕壤土；土壤質(zhì)地類型粉砂質(zhì)黏壤土、壤土、粉砂質(zhì)壤土、砂質(zhì)壤土。試驗(yàn)區(qū)土壤各基本理化參數(shù)變化范圍如表1所示。

1.2 試驗(yàn)設(shè)備與方法

本試驗(yàn)分為土壤基本理化參數(shù)測(cè)定試驗(yàn)和土壤水分特征曲線及其參數(shù)的測(cè)定試驗(yàn)：

(1)土壤基本理化參數(shù)測(cè)定試驗(yàn)。對(duì)試驗(yàn)區(qū)耕作層與犁底層的土壤進(jìn)行粉粒、黏粒、砂粒含量的測(cè)定，通過激光粒度分析儀測(cè)出相應(yīng)的百分比；由于是擾動(dòng)土，將土樣按照1.10～1.70 g/cm3的密度值進(jìn)行配置；有機(jī)質(zhì)的測(cè)定使用重鉻酸鉀容量法測(cè)定土樣中的有機(jī)碳含量，根據(jù)相關(guān)換算得到有機(jī)質(zhì)含量；對(duì)土樣中的八大離子進(jìn)行測(cè)定所用的方法有EDTA標(biāo)液滴定法、火焰光度計(jì)等，并將八大離子的累加和作為全鹽量。

表1 試驗(yàn)區(qū)土壤理化條件

(2)土壤水分特征曲線及其參數(shù)測(cè)定。利用壓力膜儀對(duì)土壤水分特征曲線進(jìn)行測(cè)定。土樣風(fēng)干過篩并均勻裝填在環(huán)刀內(nèi)，放入壓力膜儀中進(jìn)行令其吸水到達(dá)飽和含水率。達(dá)到后按照0.3～15 bar的壓力級(jí)差對(duì)土樣施壓，使得土壤中的水分排出并每隔24 h對(duì)重量進(jìn)行測(cè)定。在同等壓力之下，如果土樣在前后兩次的重量變化小于0.005 g則認(rèn)為土樣水分全部排出，并進(jìn)行下一組試驗(yàn)。最終，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算出體積含水率，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行擬合得到Gardner模型參數(shù)值。

1.3 Gardner模型

Gardner模型是Gardner[8,9]在1970年提出冪函數(shù)持水式，因其經(jīng)驗(yàn)參數(shù)較少而廣泛應(yīng)用于實(shí)際當(dāng)中。 Gardner模型的具體表達(dá)式為：

h=aθ-b

(1)

式中：h代表的是土壤水吸力，cm；θ代表的是土壤體積含水率，%；a、b均為擬合參數(shù)，無單位量綱且均為正數(shù)。其中，參數(shù)a隨著土壤持水能力的增大而增大；參數(shù)b隨著土壤含水率變化速率的增大而增大。

2 土壤基本理化參數(shù)灰色關(guān)聯(lián)分析

2.1 主要影響因素

根據(jù)土壤水分特征曲線的性質(zhì)可知，土壤持水性能影響著Gardner模型的參數(shù)，而土壤持水性與不同的土壤基本理化參數(shù)密切相關(guān)。目前，大多數(shù)研究認(rèn)為，對(duì)于土壤持水性能影響較大的土壤基本理化參數(shù)有土壤質(zhì)地、土壤容重、土壤有機(jī)質(zhì)含量、土壤無機(jī)鹽含量。

(1)參數(shù)a與影響因素的定性關(guān)系。參數(shù)a反映的是土壤的持水能力，對(duì)于土壤而言，不同的土壤基本理化參數(shù)通過改變土壤中的孔隙情況而影響著土壤的持水能力。當(dāng)土壤中的黏粒含量與粉粒含量較多時(shí)，土壤質(zhì)地變重，產(chǎn)生較多的中小孔隙；密度的增加大，代表著土壤變得板結(jié)，從而土體收到擠壓產(chǎn)生中小孔隙；有機(jī)質(zhì)含量的增加使得讓土壤中的孔隙變得更加穩(wěn)定；無機(jī)鹽含量的增加則是改變了土壤分散度，從而大孔隙破壞變?yōu)橹行】紫?。中小孔隙增加不僅使得土壤毛管吸力增加，而且增大了孔隙表面積，使得土體顆粒對(duì)水分的吸附能力增強(qiáng)，從而影響土壤的持水能力，最終影響參數(shù)a的變化。

(2)參數(shù)b與影響因素的定性關(guān)系。參數(shù)b反映了土壤持水能力隨著水吸力增大時(shí)的變化速率。當(dāng)黏粒含量與粉粒含量上升時(shí)，中小孔隙增加，高水吸力下的持水性能增強(qiáng)；土壤容重增大，土壤孔隙變小，土壤水力傳導(dǎo)度下降，毛管作用變強(qiáng)，持水性能增強(qiáng)；有機(jī)質(zhì)含量的增加，土壤結(jié)構(gòu)越固結(jié)，從而是的孔隙連通性變差；無機(jī)鹽含量的變化，使得土壤溶質(zhì)勢(shì)發(fā)生變化，從而影響到土壤含水率的變化量。土壤條件的改變會(huì)影響到土壤持水能力的變化情況，最終影響到參數(shù)b的變化。

2.2 主要影響因素的關(guān)聯(lián)度分析

灰色關(guān)聯(lián)分析是一種用灰色關(guān)聯(lián)度順序來描述影響因子間關(guān)系的強(qiáng)弱大小次序的方法[10]。其基本思想是以因素?cái)?shù)據(jù)序列為依據(jù)，然后通過數(shù)學(xué)手段研究其內(nèi)在的幾何對(duì)應(yīng)聯(lián)系。因此，本文將運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)分析對(duì)影響土壤水分特征曲線的主要因素土壤質(zhì)地、土壤體積質(zhì)量、土壤有機(jī)質(zhì)含量、土壤無機(jī)鹽含量進(jìn)行關(guān)聯(lián)度分析及灰色關(guān)聯(lián)排序。具體步驟如下：

(1)首先隨機(jī)抽取試驗(yàn)數(shù)據(jù)中的30組進(jìn)行關(guān)聯(lián)度計(jì)算。然后將因變量模型參數(shù)a、b構(gòu)成參考序列，自變量各土壤基本理化參數(shù)構(gòu)成比較序列。具體如下：

(3)

式中：式(2)為參考序列，y01與y02分別為模型參數(shù)a與模型參數(shù)b的因變量序列；式(3)為比較序列，x01～x05分別為土壤容重、土壤黏粒含量、土壤粉粒含量、土壤有機(jī)質(zhì)含量、土壤無機(jī)鹽含量的自變量序列。

(2)無量綱化處理:具體公式如下：

(4)

(5)

(3)灰色關(guān)聯(lián)系數(shù):具體公式如下：

Δ0i(k)=|y0i(k)-x0i(k)|

(6)

(7)

式中：式(6)為求差序列的公式，差序列為自變量序列與因變量序列相減，取其絕對(duì)值；式(7)位關(guān)聯(lián)系數(shù)計(jì)算公式，式中x0(min)與x0(max)分別為差序列中的最小值與最大值；ε為分辨系數(shù)，一般取0.5。

(4)關(guān)聯(lián)度計(jì)算:

計(jì)算公式如下：

(8)

式中：n為樣本容量，在本次計(jì)算中n=30。

2.3 關(guān)聯(lián)計(jì)算結(jié)果與分析

根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)度計(jì)算，最終得出土壤水分特征曲線Gardner模型參數(shù)a、b與個(gè)土壤基本理化參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)度。具體結(jié)果如表2所示。

表2 Gardner模型參數(shù)與土壤基本理化參數(shù)關(guān)聯(lián)度表

由表2可以看出，對(duì)于Gardner模型參數(shù)a與b而言，土壤容重、土壤黏粒含量，土壤粉粒含量、土壤有機(jī)質(zhì)含量與土壤無機(jī)鹽含量對(duì)模型參數(shù)a、b的關(guān)聯(lián)排序是一樣的，由大到小均為土壤粉粒含量>土壤容重>土壤無機(jī)鹽含量>土壤有機(jī)質(zhì)含量>土壤黏粒含量。

一般認(rèn)為，關(guān)聯(lián)度在0.8以上則認(rèn)為自變量與因變量關(guān)聯(lián)度很好；關(guān)聯(lián)度在0.6～0.8之間則認(rèn)為自變量與因變量關(guān)聯(lián)度好；關(guān)聯(lián)度在0.5以下則認(rèn)為不相關(guān)[11]。根據(jù)結(jié)果可知，各土壤基本理化參數(shù)與Gardner模型參數(shù)關(guān)聯(lián)度均屬于很好或者好。因此，以下以土壤容重、土壤黏粒含量、土壤粉粒含量、土壤有機(jī)質(zhì)含量、土壤無機(jī)鹽含量可以作為重要的影響因素，用于構(gòu)建支持向量機(jī)Gardner模型參數(shù)的預(yù)測(cè)模型。

3 Gardner模型參數(shù)的支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型

3.1 建模樣本

基于灰色關(guān)聯(lián)理論分析可得，土壤質(zhì)地、土壤容重、土壤有機(jī)質(zhì)含量、土壤無機(jī)鹽含量與Gardner模型參數(shù)有著較高的關(guān)聯(lián)度。因此，本文最終選取土壤黏粒含量、土壤粉粒含量、土壤容重、土壤有機(jī)質(zhì)含量、土壤無機(jī)鹽含量作為預(yù)測(cè)模型的輸入因子，Gardner模型參數(shù)作為輸出因子，并選取90組土樣數(shù)據(jù)作為建模樣本，10組數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)樣本。建模樣本數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 建模樣本數(shù)據(jù)表

3.2 支持向量機(jī)基本算法

選定輸入因子建立樣本點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…,(xn，yn)，xi∈Rm，y∈{-1，1}。將其映射到高維空間中，建立最優(yōu)分割的超平面。具體方程如下：

Y=f(X)=[ω·φ(X)]+d

(9)

式中：ω為權(quán)系數(shù)向量；d為閾值；φ(x)為建立的高維空間的映射。

為了對(duì)最優(yōu)平面方程進(jìn)行求解，引入懲罰因子C與松弛變量ξ和ξ*。因此，對(duì)最優(yōu)平面方程的轉(zhuǎn)化為求以下方程最小值問題：

min{1/2‖ω‖2+C(∑ni=1ξi+∑ni=1ξ*i)}

(10)

同時(shí)引入不敏感損失函數(shù)ε，從而確定約束條件：

(11)

為了求得式(11)的最小值，引入拉格朗日乘子法對(duì)其進(jìn)行求解：

L(ω,n,ξi,ξ*i)=1/2‖ω‖2+C(∑ni=1ξi+∑ni=1ξ*i)-

αi∑ni=1(ε+ξi-Yi+ωXi+d)-

α*i∑ni=1(ε+ξ*i-Yi+ωXi+d)

(12)

式中：αi，α*i為拉格朗日乘子，αi，α*i≥0；ξi，ξ*i≥0； i=1，2,…，n。

根據(jù)拉格朗日乘子法的原理，對(duì)w，d，ξi，ξ*i偏導(dǎo)數(shù)，并領(lǐng)其偏導(dǎo)等于0。具體方程式如下：

(13)

將以上公式帶入回到式(12)中，并引入核函數(shù)對(duì)其進(jìn)行求解。常用的核函數(shù)一般有多項(xiàng)式核函數(shù)、高斯核函數(shù)以及Sigmoid核函數(shù)3種。本文中使用的核函數(shù)為高斯核函數(shù)，函數(shù)具體方程形式如下：

(14)

最終求出最優(yōu)解即為所建立的支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型表達(dá)式：

f(X)=[ω·φ(X)]+d=∑ni=1(αi-α*i)K(x,xi)+d

(15)

3.3 支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型參數(shù)的選取

對(duì)于支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型而言，參數(shù)的取值對(duì)于模型的精度有著重要的影響。對(duì)于本次所建立的預(yù)測(cè)模型而言，需要確定的參數(shù)有C(懲罰因子)、ε(不敏感損失函數(shù)值)和σ(核函數(shù)參數(shù))。其中，對(duì)于懲罰因子而言，C的大小決定著支持向量機(jī)模型的復(fù)雜程度與預(yù)測(cè)精度，C值過大，則代表著對(duì)干擾誤差的懲罰較大，從而導(dǎo)致模型過于復(fù)雜，而C值過小，則會(huì)導(dǎo)致訓(xùn)練精度的降低，從而誤差過大，影響預(yù)測(cè)結(jié)果；ε的取值則是控制著擬合精度與支持向量的個(gè)數(shù)，ε值過大則會(huì)導(dǎo)致支持向量較少，模型結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，但是擬合誤差相對(duì)較大，ε值過小，模型結(jié)構(gòu)變得相對(duì)復(fù)雜，同時(shí)提高預(yù)測(cè)精度，但是會(huì)影響到擬合的運(yùn)算速率，求解時(shí)間過長(zhǎng)；σ是核函數(shù)參數(shù)，一般取自變量數(shù)量的倒數(shù)附近的數(shù)值，σ值決定了支持向量機(jī)的學(xué)習(xí)程度，σ值過小可能會(huì)導(dǎo)致“過學(xué)習(xí)”、“過擬合”的現(xiàn)象，σ值過大則會(huì)導(dǎo)致學(xué)習(xí)無效。

因此，根據(jù)以上參數(shù)的選取情況，本文采用較為常用的“窮舉法”對(duì)參數(shù)進(jìn)行選取，即通過試算比較并根據(jù)均方根誤差作為指標(biāo)來確定參數(shù)的最優(yōu)值。參數(shù)選取結(jié)果如表4。

表4 支持向量機(jī)模型參數(shù)

3.4 支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型檢驗(yàn)

3.4.1 建模樣本精度分析

最終，經(jīng)過所建立的支持向量機(jī)預(yù)報(bào)模型，得到了90組建模樣本中Gardner模型參數(shù)a與b的預(yù)測(cè)結(jié)果，分析其相對(duì)誤差如表5。

表5 建模樣本誤差分析表

通過表5可以看出，建立的關(guān)于參數(shù)a、b的支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型誤差較小。其中，關(guān)于參數(shù)a最大相對(duì)誤差為17.33%，最小值為0.28%，平均相對(duì)誤差為5.65%；關(guān)于參數(shù)b最大相對(duì)誤差為21.56%，最小值為0.85%，平均相對(duì)誤差為4.87%。建模樣本的相對(duì)誤差均在可控范圍之內(nèi)，說明建立的模型對(duì)于參數(shù)a、b均有較好的預(yù)測(cè)效果。

3.4.2 檢驗(yàn)樣本精度分析

為了驗(yàn)證所得模型的精確度，因此使用隨機(jī)預(yù)留的10組數(shù)據(jù)，對(duì)建立的支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)驗(yàn)證。檢驗(yàn)結(jié)果如表6。

由表6可以看出，對(duì)于Gardner模型參數(shù)a的進(jìn)行檢驗(yàn)的結(jié)果中，相對(duì)誤差最大值為11.55%，最小值為 0.68%，平均相對(duì)誤差為3.96%；對(duì)于Gardner模型參數(shù)b的結(jié)果中，相對(duì)誤差最大值為12.6%，最小值為0.42%，平均相對(duì)誤差為4.68%。通過檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，根據(jù)90組訓(xùn)練樣本所建立的支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度較高，可以為Gardner模型參數(shù)的預(yù)測(cè)提供較好的理論依據(jù)。

4 結(jié) 論

(1)采用支持向量機(jī)的方法，以建立以土壤常規(guī)理化參數(shù)為輸入變量，以土壤水分特征曲線Gardner經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)(a、b)為輸出變量的預(yù)測(cè)模型是可行的。建模樣本的模型參數(shù)(a、b)平均相對(duì)誤差分別為5.65%和4.87%；檢驗(yàn)樣本平均相對(duì)誤差分別為3.96%和4.68%，完全在可接受范圍。誤差小，預(yù)測(cè)精度高。因此所建預(yù)測(cè)模型可信、可行，實(shí)現(xiàn)了土壤水分特征曲線模型過程或參數(shù)的預(yù)測(cè)。

表6 檢驗(yàn)樣本誤差分析表

(2)采用灰色關(guān)聯(lián)分析方法對(duì)預(yù)測(cè)變量影響因素量化選擇是一種有效方法。本文對(duì)土壤質(zhì)地、土壤容重、土壤有機(jī)質(zhì)、土壤無機(jī)鹽進(jìn)行的關(guān)聯(lián)度分析以及排序，定量定義了輸入變量與Gardner模型參數(shù)的關(guān)聯(lián)性和取舍，不妨更多地應(yīng)用于其他多元影響因素的量化選擇中。

本文試驗(yàn)和建模預(yù)測(cè)的結(jié)果表明，運(yùn)用支持向量機(jī)對(duì)土壤水分特征曲線模型參數(shù)的預(yù)測(cè)方面有著良好的表現(xiàn)。但是，在選擇建模參數(shù)的問題上，大多采用的是經(jīng)驗(yàn)選取。在以后的研究中，應(yīng)嘗試不同的方法，比如交叉驗(yàn)證法、梯度下降法、遺傳算法等，以進(jìn)一步提高支持向量機(jī)的預(yù)測(cè)模型精度。

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