高中數(shù)學教學中“與圓相關(guān)的兩類直線”探究

倪偉偉

時下，很多教師對圓x2+y2=r2過點M（x0，y0）的切線方程x0x+y0y=r2的實質(zhì)以及兩圓方程相減所得直線的實質(zhì)進行了廣泛探究.其實，這兩類直線分別是圓的極線和定冪差線，本文試圖對這兩類直線加以介紹，以饗讀者.

一、圓的極線

1.圓的極線與極點的概念.設(shè)圓O是平面上半徑為r的定圓，M是平面上異于點O的任一點，在射線OM上，求一點M′使OM·OM′=r2；過點M′且垂直于OM的直線l叫作點M關(guān)于圓O的極線，M點叫作直線l的極點.

依據(jù)定義很容易得到以下性質(zhì)：

2.圓心O與極點M的連線OM和極線l垂直.

3.設(shè)圓心O到極線l的距離為d，則OM·d=r2.

4.定圓的極線方程：設(shè)定圓O的方程為x2+y2=r2，點M（x0，y0）是平面上異于O點的任一點.則點M（x0，y0）的極線是l：x0x+y0y=r2.

5.點關(guān)于圓的極線的三種位置情形

結(jié)論1 若極點M在⊙O上，則點M的極線是過點M的⊙O的切線（證明略）.

結(jié)論2 若點M在⊙O的外部，則點M的極線是從M向⊙O所作兩切線的切點的連線.

分析 依據(jù)同一法可知，要證明點M的極線是從M向⊙O所作兩切線的切點的連線，即證明從M向⊙O所作兩切線的切點連線的方程亦為x0x+y0y=r2.

由結(jié)論2易知：若點M在⊙O的外部，則點M的極線是圓的一條割線，反之，割線的極點在圓外.

結(jié)論3 若點M在⊙O內(nèi)部，則過點M作兩條割線，兩割線極點的連線即為點M的極線.

分析 依據(jù)同一法可知，要證明點M的極線是從M向⊙O作的兩割線極點的連線，即證明兩割線極點連線的方程亦為x0x+y0y=r2.

命題 若M（x0，y0）在圓x2+y2=r2內(nèi)，過M點作兩條割線CD，EF分別交圓于點C，D，E，F(xiàn)，以C，D為切點的切線交于A點，以E，F(xiàn)為切點的切線交于B點，則直線AB的方程為x0x+y0y=r2.

圖1

證明 直線CD是以A點引出的兩條切線的切點弦，M是其上一點，由結(jié)論2知OM·OA=r2.

同理：OM·OB=r2，

∴OM·（OA-OB）=0，

即OM⊥AB.

∵P是直線AB上一點，

∴OM⊥AP，

∴OM·（OP-OA）=0，即OM·OP=OM·OA=r2，

即直線AB的方程為x0x+y0y=r2（如圖1所示）.

二、定差冪線

1.定差冪線：平面上M動點與兩定點O1、O2距離的平方差等于定值的軌跡，稱為這兩點O1、O2的定差冪線.

2.兩圓方程與兩圓心的定差冪線

命題 設(shè)⊙O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，⊙O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，則直線l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0為O1、O2兩定點的定差冪線.

3.定差冪線與兩圓的連心線O1O2垂直

命題 設(shè)⊙O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，⊙O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，則O1，O2兩定點的定差冪線l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0與O1O2垂直.

證明 O1O2=D22-D12，E22-E12，直線l的法向量為n=（D1-D2，E1-E2），

∴n=-2O1O2，∴O1O2⊥l.

4.定差冪線上任一點與兩圓的冪（切線長）相等

5.定差冪線與兩圓的關(guān)系

（1）若兩圓相交，則定差冪線l為兩圓公共弦所在直線（證明略）.

（2）若兩圓相切，則定差冪線l為兩圓的公切線（證明略）.

（3）若兩圓外離時，任作一圓⊙O，使之與⊙O1，⊙O2都有公共弦，兩公共弦所在直線交于一點M，過點M且與O1O2垂直的直線即為定差冪線.

分析 依據(jù)同一法可知，要證明過點M且與O1O2垂直的直線即為定差冪線，即證明過點M且與O1O2垂直的直線方程亦為（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0即可.

命題 設(shè)⊙O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，⊙O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，任作一圓⊙O：x2+y2+Dx+Ey+F=0，使之與⊙O1，⊙O2都有公共弦l1，l2，兩公共弦所在直線交于一點M，試證明過點M且與O1O2垂直的直線的方程亦為（D1-D2）x+（E1-E2）y+F1-F2=0.

證明 設(shè)M（x0，y0）是公共弦l1，l2的交點，則直線公共弦l1，l2的方程分別是：

l1：（D1-D）x+（E1-E）y+F1-F=0，l2：（D2-D）x+（E2-E）y+F2-F=0，

所以M（x0，y0）滿足：

（D1-D）x0+（E1-E）y0+F1-F=0，（1）

（D2-D）x0+（E2-E）y0+F2-F=0，（2）

兩式相減得：

（D2-D1）x0+（E2-E1）y0+F2-F1=0，

O1O2=D1-D22，E1-E22.

過點M（x0，y0）且與直線O1O2垂直的直線l上異于M點的任一點為P（x，y），MP=（x-x0，y-y0）.

∵O1O2⊥MP，

∴（D2-D1）（x-x0）+（E2-E1）（y-y0）=0，

∴（D2-D1）x+（E2-E1）y=（D2-D1）x0+（E2-E1）y0=F1-F2，

經(jīng)檢驗點M（x0，y0）也適合，∴過點M與O1O2垂直的直線的方程亦為（D2-D1）x+（E2-E1）y+F2-F1=0.

證畢.endprint