淺析多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

張曉鳳

【摘要】多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則更多的是用于含有抽象函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中，這時(shí)必須利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來(lái)求解.本文給出了求導(dǎo)法則通俗易懂的解釋，并結(jié)合實(shí)例，推廣了復(fù)合函數(shù)的中間變量，同時(shí)又作為自變量的應(yīng)用結(jié)果.

【關(guān)鍵詞】多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)關(guān)系圖

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：（1）正確畫出復(fù)合函數(shù)關(guān)系圖；（2）看圖寫法則，因變量到某個(gè)自變量有幾條道路，對(duì)該自變量的（偏）導(dǎo)數(shù)就是幾個(gè)部分之和，每個(gè)部分（對(duì)應(yīng)一條道路）用一元鏈?zhǔn)椒▌t求出因變量對(duì)該自變量的導(dǎo)數(shù)；（3）一元求導(dǎo)用“d”，多元求導(dǎo)用“”；（4）將中間變量的表達(dá)式代入求導(dǎo)結(jié)果表達(dá)式中.

下面結(jié)合例題，分三種情況來(lái)闡述復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則.

一、復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形z=f[u（t），v（t）]

例1 設(shè)z=uv+sint，而u=et，v=cost，求dzdt.

解 （1）正確畫出復(fù)合函數(shù)關(guān)系圖.z是u，v和t的函數(shù)，所以從z出發(fā)分出三條線.u和v都是t的函數(shù)，所以各分出一條線.畫出如下圖所示的復(fù)合函數(shù)關(guān)系圖：

（2）—（4）看圖寫法則，一元求導(dǎo)用“d”，多元求導(dǎo)用“”，最終將中間變量的表達(dá)式代入求導(dǎo)結(jié)果表達(dá)式中.

由復(fù)合函數(shù)關(guān)系圖可以看出因變量z到自變量t有三條道路，分別是z—u—t，z—t，z—v—t，所以因變量z對(duì)自變量t的導(dǎo)數(shù)就是三部分之和，每一部分用一元鏈?zhǔn)椒▌t求出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，最后求出三部分之和就是所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

dzdt=zu·dudt+zv·dvdt+zt

=vet-usint+cost

=etcost-etsint+cost

=et（cost-sint）+cost.

二、復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形z=f[u（x，y），v（x，y）]

例2 設(shè)z=eusinv，而u=xy，v=x+y，求zx和zy.

解 （1）正確畫出復(fù)合函數(shù)關(guān)系圖.z是u和v的函數(shù)，所以從z出發(fā)分出兩條線，u和v分別是x和y的函數(shù)，所以各分出兩條線.畫出如下圖所示的復(fù)合函數(shù)關(guān)系圖：

（2）—（4）看圖寫法則，一元求導(dǎo)用“d”，多元求導(dǎo)用“”，最終將中間變量的表達(dá)式代入求導(dǎo)結(jié)果表達(dá)式中.

由復(fù)合函數(shù)關(guān)系圖可以看出因變量z到自變量x有兩條道路，分別是z—u—x，z—v—x，所以因變量z對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù)就是兩部分之和；因變量z到自變量y有兩條道路，分別是z—u—y，z—v—y，所以因變量z對(duì)自變量y的導(dǎo)數(shù)就是兩部分之和.每一部分用一元鏈?zhǔn)椒▌t求出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，最后求出兩部分之和就是所求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).

zx=zu·ux+zv·vx=eusinv·y+eucosv·1

=eu（ysinv+cosv）=exy[ysin（x+y）+cos（x+y）]，

zy=zu·uy+zv·vy=eusinv·x+eucosv·1

=eu（xsinv+cosv）=exy[xsin（x+y）+cos（x+y）].

三、復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元也有多元函數(shù)的情形

z=f[u（x，y），x，y]，zx=fu·ux+fx，

zy=fu·uy+fy.

對(duì)于此種情形，一種最常見的情況是：復(fù)合函數(shù)的中間變量x和y本身又是復(fù)合函數(shù)的自變量.

例3 設(shè)u=f（x，y，z）=ex2+y2+z2，z=x2siny.求ux和uy.

解 （1）正確畫出復(fù)合函數(shù)關(guān)系圖.u是和x，y和z的函數(shù)，所以從u出發(fā)分出三條線，z是x和y的函數(shù)，所以分出兩條線.畫出如下圖所示的復(fù)合函數(shù)關(guān)系圖：

（2）—（4）看圖寫法則，一元求導(dǎo)用“d”，多元求導(dǎo)用“”，最終將中間變量的表達(dá)式代入求導(dǎo)結(jié)果表達(dá)式中.

由復(fù)合函數(shù)關(guān)系圖可以看出因變量u到自變量x有兩條道路，分別是u—x，u—z—x，所以因變量u對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù)就是兩部分之和；因變量u到自變量y有兩條道路，分別是u—y，u—z—y，所以因變量u對(duì)自變量y的導(dǎo)數(shù)就是兩部分之和.每一部分用一元鏈?zhǔn)椒▌t求出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，最后求出兩部分之和就是所求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).

ux=fx+fz·zx=2xex2+y2+z2+2zex2+y2+z2·2xsiny

=2x（1+2x2sin2y）ex2+y2+x4sin2y，

uy=fy+fz·zy=2yex2+y2+z2+2zex2+y2+z2·x2cosy

=2（y+x4sinycosy）ex2+y2+x4sin2y.

注意：對(duì)于本例，為了避免混淆和保持形式上的一致性，所以將等式右面u對(duì)x，y和z的偏導(dǎo)寫為fx，fy和fz.

例4 （綜合應(yīng)用）若z=f（u，x，y）和u=φ（x，y）都有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求zx，zy.

解 復(fù)合函數(shù)z=f（u（x，y），x，y）可以看作是z=f（u，v，w）中v=x，w=y的特殊情形，這時(shí)z=f（u，x，y）的x，y既是自變量，又是中間變量，要特別注意區(qū)分.

顯然，vx=1，wx=0，vy=0，wy=1.

由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得

zx=fu·ux+fx，zy=fu·uy+fy.

【參考文獻(xiàn)】

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