一類分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時間控制

邵克勇,韓 峰,郭浩軒

0 引 言

分數(shù)階微積分已有超過三百多年的歷史。近幾十年,分數(shù)階微分方程已被證實比傳統(tǒng)的整數(shù)階方程更加可行[1-4],因此,分數(shù)階微積分已成為工程、數(shù)學(xué)和物理等科學(xué)領(lǐng)域中非常重要的一部分。在許多實際系統(tǒng)中,分數(shù)階混沌可能會導(dǎo)致系統(tǒng)的振蕩或不規(guī)則運動。因此,為消除混沌行為,混沌控制已成為非線性控制領(lǐng)域的重要問題。目前許多控制方法已成功運用到分數(shù)階系統(tǒng)中,如主動控制[5]、T-S模糊控制[6]和滑?？刂频萚7,8]。滑?？刂剖且环N簡單有效的控制方法,因其具有較強的魯棒性和抗干擾能力而被廣泛關(guān)注[9]。

許多研究學(xué)者采用混沌控制消除混沌,通常他們多是考慮系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定,然而有限時間穩(wěn)定可能在某些實際情況下更有意義。20世紀50年代,Kamenkov[10]首次提出了有限時間穩(wěn)定的概念。有限時間穩(wěn)定系統(tǒng)不僅有更快的收斂速度,而且有更好的魯棒性和抗干擾性能[11]。Amato[12]和Garcia[13]研究了連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定問題。文獻[14,15]將有限時間的一些結(jié)果拓展到線性、連續(xù)系統(tǒng)中。Wang等[16]解決了超混沌系統(tǒng)的有限時間控制問題。然而,這些研究主要是針對于整數(shù)階系統(tǒng),而對分數(shù)階系統(tǒng)有限時間控制研究的結(jié)果還很少。筆者針對不確定參數(shù)的分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定問題,通過構(gòu)造全新的李雅普諾夫函數(shù)并設(shè)計自適應(yīng)有限時間控制器,實現(xiàn)了系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時間穩(wěn)定。該方法簡單有效,可使系統(tǒng)的狀態(tài)變量在有限時間內(nèi)收斂到平衡點,具有良好的魯棒性能,并通過數(shù)值仿真驗證了該方法的準確性及有效性。

1 分數(shù)階微積分基本理論

定義1 連續(xù)函數(shù)f(t)的α階Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為[17]

其中n是整數(shù),α為分數(shù)階系統(tǒng)的階次,滿足n-1＜α≤n,Γ(·)是Gamma函數(shù)。

定義2 Gamma函數(shù)定義[18]

考慮如下非線性分數(shù)階混沌系統(tǒng)

其中α∈(0,1),初始條件x(t0)=x0,t0≥0,f:[t0,∞]×Ω→Rn在t上是分段連續(xù)的,并且在[t0,∞]×Ω上滿足局部Lipschitz條件,Rn是n維歐氏空間。同時,Ω?Rn是一個包含原點x=0的區(qū)域。假設(shè)對初始值x(t0)=x0的系統(tǒng)(1)總存在唯一解x(t)∈C1(t0,∞),C1(t0,∞)是在區(qū)間(t0,∞)上的連續(xù)可導(dǎo)的空間。

引理1 若0CDαtx(t)≤0,那么x(t)在[0,+∞)上單調(diào)減少;同理,若0CDαtx(t)≥0,則 x(t)在[0,+∞)上單調(diào)增加[19]。

引理2 ～x=0是系統(tǒng)(1)的平衡點,并且D是一個包含原點的區(qū)域,且D?Rn。若存在Lyapunov函數(shù)V(t,x(t)),且V(t,x(t)):[0,∞]×D→R是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),并且關(guān)于x滿足局部Lipschitz條件,R是實數(shù)集,使

其中t≥0,x∈D,α∈(0,1),αi(i=1,2,3),a和b都是任意正的常數(shù),則系統(tǒng)(1)是Mittag-Leffler穩(wěn)定的。若在Rn上亦滿足式(2)和式(3),則系統(tǒng)(1)是全局Mittag-Leffler穩(wěn)定的[20]。

引理3 Mittag-Leffler穩(wěn)定和全局Mittag-Leffler穩(wěn)定表明系統(tǒng)漸近穩(wěn)定[20]。

定義3 若對任意的初始值x0,存在ε＞0,使對所有t＞t0,有‖x(t)‖≤ε,則階次為α(0＜α＜1)的系統(tǒng)(1)的0解是穩(wěn)定的。此外,當t→∞,有‖x(t)‖→0,則系統(tǒng)(1)的0解是漸近穩(wěn)定的[21]。

引理4 若x(t)∈Rn是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)。則對任意時間常數(shù)t≥0,有[21]

引理5 Jensen不等式

1) α1‖x‖a≤ V(t,x(t))≤ α2‖ x‖ab; 2) kV1/β(t,x(t))≤ α3‖ x‖ab; 3)≤-α3‖x‖ab。

其中α∈(0,1),αi(i=1,2,3),a,b,k和β都是任意的正常數(shù),且β＞1,則系統(tǒng)(1)是有限時間穩(wěn)定的,且系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定時間滿足[20]

由引理6中的條件1)和3)可知,系統(tǒng)(1)是Mittag-Leffer穩(wěn)定的。通過引理3可知,系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的。結(jié)合條件2)可得:V(t,x(t))≤-kV1/β(t,x(t))。 因此,只要系統(tǒng)(1)是Mittag-Leffer穩(wěn)定并滿足V(t,x(t))≤-kV1/β(t,x(t)),則系統(tǒng)(1)即為有限時間穩(wěn)定的。

2 自適應(yīng)有限時間控制

考慮分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)

其中x=[x1,x2,x3,x4]T是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,u=[u1,u2,u3,u4]T是待設(shè)計控制器,f(x)是非線性部分,A是帶有未知參數(shù)a,b,c和d的系數(shù)矩陣。由式(5)可見,x=0是系統(tǒng)(5)的平衡點。

當不考慮控制器u時,系統(tǒng)具有分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。通過對分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的離散化及Matlab編程計算,對4個參數(shù)、分數(shù)階階次α及初值變化取值并進行大量計算得到,當參數(shù)a=10,b=8/3,c=28,d=-1,0.9≤α＜1時,系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。選取如上參數(shù)并取α=0.9,任選初值x1(0)=x2(0)=x3(0)=x4(0)=0.1時,分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的相圖如圖1所示。

圖1 階次為0.9時分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的相圖Fig.1 Phase diagram of fractional order hyperchaotic Lorenz system with order 0.9

定理1 系統(tǒng)(5)在控制器

作用下是自適應(yīng)有限時間穩(wěn)定的。其中ki＞0(i=1,2,3,4),^a,^b,^c,^d分別為a,b,c,d的估計值。參數(shù)自

適應(yīng)率設(shè)計如下

證明 選取Lyapunov函數(shù)

由引理4可知

由于 ki＞0(i=1,2,3,4), 故可得CDαV(X,t)＜0。

因CDαV(X,t)＜0,即負定,所以一定存在 α3＞0, 使CDαV(X,t)≤-α3‖X‖2。 故由引理2 可知, 系統(tǒng)(5)是Mittage-Leffler穩(wěn)定。由CDαV(X,t)的負定性可知,0,因此,該控制器保證系統(tǒng)的解是全局有界的。由于CDαV(X,t)＜0,由引理1,V(X,t)關(guān)于時間t是單調(diào)遞減的,因此V(X,t)≤V(X,0),且V(X,t)≥0,0是下界。同時也可得(t)≤2V(X,0)。當x21+x22+x23+x24≤1時,有

定義ˉk=min{ki,1≤i≤4},ˉλ=max{λi,1≤i≤4}。由引理5,當,有

令β=2/(1+ˉλ),則CDαV1≤-δˉk(2V1)1/β。

3 數(shù)值仿真

為證實帶有未知參數(shù)的分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時間控制器(6)及自適應(yīng)控制率(7)的準確性,對其進行數(shù)值仿真,仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。系統(tǒng)的仿真時間為10 s,分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)(5)的參數(shù)值選取如下:a=10,b=8/3,c=28,d=-1,α=0.9;任選初始條件為:x(0)=(3,2,-2,4),^a(0)=^b(0)=^c(0)=^d(0)=0。根據(jù)定理1,為方便計算,選取參數(shù) k1=k2=k3=k4=6(參數(shù)可以不同),λ1=λ2=λ3=λ4=0.5,即 β=4/3。穩(wěn)定時間=3.4 s。

圖2 分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的狀態(tài)變量隨時間變化圖Fig.2 The state variables of the fractional-order hyperchaotic Lorenz systems

由圖2和圖3可見,系統(tǒng)在3 s內(nèi)便可消除混沌,并使系統(tǒng)的狀態(tài)變量在有限時間內(nèi)穩(wěn)定到平衡點O(0,0,0,0),收斂速度很快,同時實現(xiàn)了未知參數(shù)的辨識。

圖3 估計參數(shù)隨時間變化圖Fig.3 The time variations of the estimated parameters

為分析該控制方法的魯棒性,給出擾動模型

其中di(t)=0.5 sin(10xi),i=1,2,3,4。任選初始條件:x(0)=(2,0,6,-4),α=0.95,^a(0)=^b(0)=^c(0)=^d(0)=0。為方便計算,選取參數(shù)k1=k2=k3=k4=8,λ1=λ2=λ3= λ4=0.6, 即 β =1.25。 穩(wěn) 定 時 間=2.87 s。仿真結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4 帶擾動分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的狀態(tài)變量隨時間變化圖Fig.4 The state variables of disturbed fractional order hyperchaotic Lorenz systems

圖5 帶擾動系統(tǒng)的估計參數(shù)隨時間變化圖Fig.5 The time variations of the estimated parameters of the disturbed systems

4 結(jié) 語

筆者基于分數(shù)階微積分引理及有限時間Lyapunov原理,通過設(shè)計控制器及自適應(yīng)法則實現(xiàn)了帶有未知參數(shù)的分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的有限時間控制問題。該方法簡單有效,可使系統(tǒng)的狀態(tài)變量在有限時間內(nèi)收斂到平衡點,收斂速度較快,具有良好的魯棒性能。數(shù)值仿真驗證了該控制的有效性及準確性。

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